2024-2025学年重庆市育才中学高二（上）联考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市育才中学高二（上）联考
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角大小( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5.在四面体中，棱，，长度相等且两两互相垂直，棱中点为，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若椭圆上存在四个点到的距离相等，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，则下列选项正确的是( )
A. 直线过定点 B. 直线的一个方向向量是
C. 若，则 D. 若，则
10.在直三棱柱中，，点为线段中点，点为棱上的动点则下列选项正确的是( )
A. 平面
B. 四棱锥的体积为
C. 的最小值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.直线：与轴的交点为抛物线：的焦点，若点为坐标原点，与交于、两点则( )
A.
B.
C. 重心横坐标的最小值为
D. 以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时满足下列条件的双曲线方程为______．
中心在原点，焦点在轴上；
两条渐近线互相垂直；
焦距大于．
13.已知，，，四点共面，则 ______．
14.已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于、两点当时， ______；当时，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线：的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且．
求焦点的坐标；
若过点的直线与只有一个交点，求的方程．
16.本小题分
已知点在圆：上，点关于直线的对称点在圆内求圆的圆心坐标和半径；
求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为正三角形，．
求证：；
求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，动点的轨迹满足：为过点的两条互相垂直的直线，与交于，两点点在第一象限，与交于，两点点在第一象限记点，分别为线段，的中点，点为直线与的交点．
求动点的轨迹方程；
设：．
求实数的取值范围；
从下列三个问题中选择一个问题作答作答时在答题卡上注明所选问题番号，若选择多个问题作答，则以第一个作答计分．
求；
记直线与直线的斜率分别为，，求；
记与四边形的面积分别为，，求．
19.本小题分
已知曲线：．
点在曲线上，求点的横坐标的取值范围；
为坐标原点，直线与曲线交于、两点．
若：，求面积的最大值；
若，求证：与圆心为的定圆相切．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：因为抛物线：，
又位于第一象限的点在抛物线上，
所以，
所以，
可得：，
所以焦点的坐标．
因为点在抛物线上，
所以，
又位于第一象限，
所以，
所以，
过点的直线与只有一个交点，
则直线斜率不存在不合题意；
设直线：，
联立，
得，
当时，，
即，
即，
当时，，
则，只有一个根符合题意；
所以的方程为或，
即或．
16.解：由题：点代入圆：整理得：，
所以：，
即，
所以圆心坐标为，半径为．
设点关于直线的对称点在圆内，
所以，解得，
所以，所以，
解得：，故实数的取值范围为．
17.解：证明：如图所示：
作平面，连接，
因为为正三角形，
所以为的中心，也是的垂心，
所以，，又平面，平面，且，
所以平面，又平面，
所以；
建立如图所示空间直角坐标系，
因为 为正三角形，，
所以，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，则，
所以；
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，则，
所以，
设平面与平面所成的角为，
所以．
18.解：因为，
所以动点的轨迹是以和为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
可得，，
则，
故动点的轨迹方程为；
设，，易知直线，斜率均存在且不为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
解得，
因为直线与曲线也有两个交点，且，
此时直线的斜率为，
可得，
解得，
则实数的取值范围为；
若选择：由知，，
所以
，
因为，
所以，
因为，
所以；
若选：由知，，
所以，
即，
同理得，
则；
若选：连接，取线段中点为，
因为，分别为，中点，
所以，
此时，
同理，
设五边形的面积为，
此时，
解得．
则．

19.解：法一：由方程配方得，
则，解得．
法二：由：，，解得．
设，
由得所以．
由，有．
则．
所以．
当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．
当直线斜率为时，设：．
由，
整理得：．
所以，；
由，化简得．
由，有，
即．
即即，满足成立．
且到的距离满足：，则为定值．
当直线斜率不存在时，由，，
得．
故到的距离始终为，即始终与定圆相切．

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