广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

广东省六校联考 2025 届高三上学期 12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 2 < 0}， = { ∣ = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
1 1
A. ( 1,4) B. (0,2) C. ( , 1) D. ( , 2)
2 2
2.命题“ > 0, 2 + > 0”的否定是( )
A. > 0, 2 + > 0 B. > 0, 2 + ≤ 0
C. ≤ 0, 2 + > 0 D. ≤ 0, 2 + ≤ 0
3.已知等边 的边长为1，点 , 分别为 , 的中点，若 = 3 ，则 =( )
1
A.
3 1 5 1 1 3 + B. + C. + D. +
2 4 2 6 2 2 2
1
4.将函数 ( ) = sin (2 )的图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )的图象，
6 2
则在下列区间中，函数 ( )单调递减的是( )
3 3
A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
8 8 4 4 8 8 2
1 1
5.已知 > 0， > 0，且 + 2 = 1，则2 + 的最小值为( )

A. 4 B. 4√ 2 1 C. 6 D. 8
6.将曲线 = 2 ( 为自然对数的底数)绕坐标原点顺时针旋转 后第一次与 轴相切，则tan =( )
A. B. 2 C. 2 D. 2 2
1
7.如图，在已知正方体 1 1 1 1中， 是棱 上的点，且 = .平面 1将此正方体分为两3
部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为( )
13 13 35 35
A. B. C. D.
41 54 127 162
8.已知函数 ( ) = cos3 cos2 ， ∈ (0, )，若 ( )有两个零点 1, 2( 1 < 2)，则cos 1cos 2的值为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 4 2 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数 1、 2对应的向量分别为 1 、 2 ，则下列说法不．正确的是( )
A. | 1 2| = | 1 2 | B. | 1 2| = | 1 2 |
C. 若| 1 2| = | 1 + 2|，则 1 2 = 0 D. 若| 1| = | 2|，则
2
1 =
2
2
10.已知等差数列{ }的首项为 1，公差为 ，前 项和为 ，若 25 < 23 < 24，则下列说法正确的是( )
A. 当 = 24， 最大 B. 使得 < 0成立的最小自然数 = 48

C. | 23 + 24| > | 25 + 26| D. {
}中最小项为 25
25
11.如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2， ⊥ ， 是线段 的中点， 是线段 1上
的动点(含端点)，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥 1 的体积为定值
√ 2
B. 直线 与 所成角的正切值的最小值是
2
C. 在直三棱柱 1 1 1内部能够放入一个表面积为1.44 的球
D. 1 + 的最小值为√ 10 + 2√ 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 1)， = ( , 1)，若2 与 垂直，则| |等于__________．

13.已知数列{ }的前 项和为 ，且

= 2 2( ∈ )， = ( ∈
)，则数列{ }的前 项
( 1)( +1)

和 =______________．
14.若存在 ， ， ∈ [ , 2 ]( , , 互不相等)，满足|sin | + |sin | + |sin | = 3( > 0)，则 的取值范
围为_____________．
四、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
√ 2
在 中，角 ， ， 对应的三边分别是 ， ， ，且 = √ 2cos ．

(1)求角 的值；
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(2)若 = 5，2tan = 3tan ，求 的面积．
16.(本小题12分)
√ 2
已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 1( 1,0)， 2(1,0)，点 (1, )在椭圆 上. 2
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
(2)已知直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ⊥ ，求 面积的取值范围．
17.(本小题12分)
(一)如图所示，已知四棱锥 中， = = = = = = 2，∠ = ∠ = 90 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)当四棱锥 的体积最大时，求二面角 的正弦值．
2
(二)已知函数 ( ) = ln + ( + 1)( ∈ )．

(1)若 = 1，求函数 = ( )的极值；
(2)讨论 ( )的单调性；
1
(3)若 1, 2( 1 < 2)是 ( )的两个极值点，证明： ( 2) ( 1) < √ 4． 2
18.(本小题12分)
给定正整数 ≥ 2，设数列 1, 2, , 是1,2, , 的一个排列，对 ∈ {1,2, , }， 表示以 为首项的递增
子列的最大长度(数．列．中．项．的．个．数．叫．做．数．列．的．长．度．)， 表示以 为首项的递减子列的最大长度．我们规定：
当 后面的项没有比 大时， = 0，当 后面的项没有比 小时， = 0.例如数列： = 3， 1 = 2， 2 = 1，
3 = 3，则 1 = 2， 1 = 2， 2 = 2， 2 = 0， 3 = 0， 3 = 0．
(1)若 = 4， 1 = 1， 2 = 4， 3 = 2， 4 = 3，求 1， 2和∑
4
=1| |；
(2)求证： ∈ {1,2, , 1}，( )
2 + ( +1 )
2
+1 ≠ 0；
(3)求∑ =1| |的最值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
2 +1 2
13.【答案】
2 +1
1
9 5 11
14.【答案】[ , ] ∪ [ ,+∞)
4 2 4
√ 2
15.【答案】解：(1)因为 = √ 2cos ，所以√ 2sin sin = √ 2sin cos ，

则√ 2sin( + ) sin = √ 2sin cos ，
所以√ 2sin cos = sin ，0 < < ，sin ≠ 0，
√ 2
故cos = ，又0 < < ，所以 = ．
2 4
tan 1
(2)若 = 5，2tan = 3tan = 3tan( + ) = 3 × ，
4 1 tan
2tan2
1
5tan 3 = 0解得tan = 3，tan = (舍去)，
2
3√ 10 2√ 5
则tan = 2，所以sin = ，sin = ，由 = ，得 = 3√ 5，
10 5 sin sin
1 1 2√ 5
所以 = sin = × 3√ 5 × 5 × = 15，
2 2 5
所以 的面积为15．
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2 2
16.【答案】解：(1)设椭圆 的方程为 + = 1( > > 0)，
2 2
2 11 2
依题意：{ + = 1解得{
2 = 2
2 2 2
,
= 1
2 = 2 + 1
2∴椭圆 的方程为 + 2 = 1．
2
1
椭圆的离心率为 = = ．
2
(2)当直线 不垂直于坐标轴时，直线 的斜率存在且不为0，
设其方程为 = ( ≠ 0)，
=
由{
2
，
+ 2 2 = 2
2
消去 得 2 = 2 ，
2 +1
2
√ 2 √ 1+
则| | = √ 2 + 2 = √ 1 + 2| | = ，
√ 2 2 +1
1
直线 ： = ，

1 2
√ 2 √ 1+( ) 2
√ 2
√ +1
同理| | = = ，
√ 1 2 2( ) +1 √ 2
+2
1
则△ 的面积 △ = | || | 2
2 + 1
=
√ 2 2 2 + 1 √ + 2
2 + 1
=
√ 2( 2 + 1) 1 √ ( 2 + 1) + 1
1
=
1 2 1
( ) + +2， √ 2 2
+1 +1
1
令 = 2 ∈ (0,1)，
+1
1 1 2 √ 2
则 △ = = ∈ [ , ),
√ 2 √ 1 2 9
3 2
+ +2 ( ) +2 4
当直线 垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令| | = √ 2, | | = 1，
则 √ 2 △ = ， 2
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所以△ 面积的取值范围是 2 √ 2[ , ]．
3 2
17.【答案】(一)
(1)证明：因为 = ，∠ = ∠ = 90 ， = ，所以 △ ≌ △ ，所以 = ，
设 ∩ = ，连接 ，则△ ≌△ ，点 为 的中点，又 = ，所以 ⊥ ，
又∠ = ∠ ，且∠ + ∠ = 180 ，所以 ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面
所以 ⊥平面 ;
(2)解：由(1)可知， ⊥平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，取 的中点为 ，连接
，则 ⊥ ，又平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，过点 作 ⊥ ，
垂足为 ，连接 ，则 ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角，
因为四棱锥 的体积为：
1 1 1 2 2 2 = × × | | = × | | × | | × | | = × 2 × | | × √ = × | | ×3 3 3 3
2 2 2 2
| | 2 4 √ | | | | 4 3 ，当且仅当| | | |√ 3 ( ) = × × (3 ) ≤ × = 2 = 3 ，即| | = √ 6时体积最大，
2 3 4 4 3 2 4 4
此时 1 √ 6| | = | | = ， √ √ 6 √ 6
2 2 | | = (√ 3)
2 ( )2 = ，
2 2
| |
在 △ 中，tan∠ = = 1，所以∠ = 45 ，所以二面角 的大小为45 ，
| |
所以二面角 的正弦值为√ 2．
2
．
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(二)
2
(1)解：若 = 1， ( ) = ln + + ( + 1)，定义域为(0,+∞)，

2
所以 1 2 + 2 ( 1)( +2) ′( ) = 2 + 1 = 2 = 2 . ′( ) = 0，解得： = 1．
当 变化， ′( )， ( )变化情况如下表所示：
故 ( )有极小值，极小值为 (1) = 4，无极大值．
2
(2)解： 1 2 + 2 ′( ) = = ，
2 2
( )当 = 0时， ( )在(0,2)单调递增，(2,+∞)单调递减;
( )当 < 0时， = 1 8 > 0， ′( ) = 0有两根，设 1 √ 1 8 ， 1+√ 1 8 1 = 2 2 =
，
2
则 2 < 0 < 1， ( )在(0, 1)单调递减，( 1, +∞)单调递增;
1
( )当 > 0时， ① = 1 8 ≤ 0，即 ≥ 时， ′( ) ≤ 0，所以 ( )在(0,+∞)单调递减; ② = 1 8 > 0，
8
1
1 1 + 2 = > 0,
即0 < < 时，由韦达定理{ > > 02 得 2 1 ， 8 1 2 = > 0
所以 ( )在(0, 1)和( 2, +∞)单调递减，在( 1, 2)单调递增．
综上所示：当 < 0时， ( )在 1 √ 1 8 单调递减， 1 √ 1 8 (0, ) ( , +∞)单调递增;
2 2
当 = 0时， ( )在(0,2)单调递增，(2,+∞)单调递减;
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1
当 时， ( )在 1 √ 1 8 和 1+√ 1 8 0 < < (0, ) ( , +∞)单调递减，在
1 √ 1 8 1+√ 1 8
( , )单调递增;
8 2 2 2 2
1
当 ≥ 时， ( )在(0,+∞)单调递减．
8
1
1
(3)证明：由(2)可知， 21， 2( 1 < 2)是方程 + 2 = 0的两根，且{
> 0
2 ，解得0 < < ，
= 1 8 > 0 8
1 2
所以 1 + 2 = ， 1 2 = ，
1 1 8 1 2 8 2 要证 ( 2) ( 1) < √ 4 = √ √ 2 = √ √ ( ) = √ √ ( 1 + 2) 4
2 1
1 2 = ， 2 2 2 2 √ 1 2
2 2
即证ln 2 + ( 2 + 1) [ln 1 + ( 1 + 1)] <
2 1
2 1 √
，
1 2
2 2( 1 2) 2 1
只需证ln + ( 2 1) < 1 1 2 √ 1
，
2
2 2( )
需证ln < 2 ( ) +
2 1 = 2 1 + 2 1
2 11 √
，
1 2 1+ 2 √ 1 2

= 2 ( > 1) 1 2( 1)令 ，则需证ln < + ， 1 √ +1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 4 4
设 ( ) = ln ( > 1)，则 1 2 2( 1) 2 2+1
( )
′ ， √ ( ) = 2 = 2 2 = < 0
2
所以函数 ( )在(1,+∞)上单调递减，所以 ( ) < (1) = 0，
1 2( 1) 1 2( 1)
因此ln < ，由 > 1得， > 0，所以ln < + ，
√ +1 √ +1
故 1 ( 2) ( 1) < √ 4，得证， 2
18.【答案】解：(1)以 1为首项的最长递增子列是 1， 3， 4，
以 2为首项的最长递减子列是 2， 3和 2， 4．
所以 1 = 3， 2 = 2．
∑4 =1 | | = |3 0| + |0 2| + |2 0| + |0 0| = 7．
(2)对 ∈ {1,2, , 1}，由于 1， 2， ， 是1，2， ， 的一个排列，故 ≠ +1．
若 < +1，则每个以 +1为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，
得到一个以 为首项的更长的递增子列，所以 > +1;
而每个以 为首项的递减子列都不包含 +1，且 < +1，
故可将 替换为 +1，得到一个长度相同的递减子列，所以 ≤ +1．
这意味着 > +1 +1;
若 > +1，同理有 > +1， ≤ +1，故 < +1 +1．
总之有 ≠ +1 +1，从而 和 +1 +1不能同时为零，
故( )2 + (
2
+1 +1) ≠ 0.
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(3)以 为首项的递增子列最大长度不大于以 为首项子列最大长度，即 ≤ + 1，
以 为首项的递减子列最大长度不大于以 为首项子列最大长度，即 ≤ + 1，
0 ≤ ≤ ，0 ≤ ≤ ，所以| | ≤ max{ , }，
∑
( +2)( 1)
=1 | | ≤ ∑ =1max { , } ≤ ∑
1
=1 ( + 1) + 0 = ， 2
考虑这样一个数列 1， 2 ， ， = ， = 1，2， ， ，
( +2)( 1)此时∑ =1 | | = + ( 1) + + 3 + 2 + 0 = ， 2
( +2)( 1)结合以上两方面，知∑ =1 | |的最大值是 ． 2
根据小问(2)的证明过程知 和 +1 +1不能同时为零，
故| | + | +1 +1| ≥ 1.
按照定义当 = 1，| | + | +1 +1| = 2， = 1，2， ， 2时，| | + | +1 +1| ≥ 1.
情况一：当 为偶数时，设 = 2 ，则一方面有
1 1

∑| | = ∑( | 2 1 2 1| + | 2 2 |) + 2 ≥ ∑ 1 + 2 = + 1 = + 1; 2
=1 =1 =1
= + 1
另一方面，考虑这样一个数列 ， ， ， : { 2 11 2 , = 1,2, , ． 2 = +
= + 2 = + 1
则对 = 1，2， ， ，有{ 2 1 , { 2 1 ．
2 = + 1 2 = + 1

故此时∑ =1 | | = ∑
1
=1 |
1
2 1 2 1| + 2 = ∑ =1 1 + 2 = + 1 = + 1． 2

结合以上两方面，知∑ =1 | |的最小值是 + 1． 2
情况二：当 为奇数时，设 = 2 1，则一方面有
2 2
∑| | = ∑ | | + 2 = ∑( | 2 1 2 1| + | 2 2 |) + | 2 3 2 3| + 2
=1 =1 =1
2 2
+ 1
≥ ∑( | 2 1 2 1| + | 2 2 |) + 2 ≥ ∑ 1 + 2 = = ; 2
=1 =1
1 =
另一方面，考虑这样一个数列 1， 2 ， : { 2 = + , = 1,2, , 1．
2 +1 =
1 = 1 =
则对 = 1，2， ， 1，有{ 2 = , { 2 = + 1．
2 +1 = 2 +1 =
故此时∑ | | = ∑ 2 | 2
+1
=1 =1 2 2 | + 2 = ∑ =1 1 + 2 = = ． 2
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+1
结合以上两方面，知∑ =1 | |的最小值是 ． 2
( +2)( 1) 综上，∑ =1 | |最大值为 ;当 为偶数时，∑

=1 | |的最小值是 + 1; 2 2
+1
当 为奇数时，∑ =1 | |的最小值是 ． 2
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