2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第六次月考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第六次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,2,3,4}， = { ∈ | = ln(9 2)}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3} B. { 1,2} C. {2,3} D. {0,1,2,3,4}
2.已知随机变量 ～ ( , )，若 (2 ) = 2 ( )，则 =( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 8 4 2
3.已知复数 满足(1 ) = 2 ，且 + ( ∈ )为实数，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
1 1
4.已知函数 ( ) = 2( )| | + ，其图象无限接近直线 = 1但又不与该直线相交，则 ( ) > 的解集为( )
2 2
A. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞) B. ( 2,2)
C. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞) D. ( 1,1)
5.函数 = ( )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )
1 1
A. = (1 ) B. = (1 ) C. = (4 2 ) D. = (4 2 )
2 2
6.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口， 于1898年提出
蓄电池的容量 (单位： )，放电时间 (单位： )与放电电流 (单位： )之间关系的经验公式： = ，
其中 为 常数.为测算某蓄电池的 常数 ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 = 30 时，
放电时间 = 15 ；当放电电流 = 40 时，放电时间 = 8 .若计算时取 2 ≈ 0.3， 3 ≈ 0.477，则该蓄电
池的 常数 大约为( )
A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55
2 9
7.若 为锐角，且 = + ，则 =( )
sin +cos 1 5
4 3 7 3
A. B. C. D.
5 5 25 5
8.记 为数列{ }的前 项和，且 1 = 0， 2 = (0 ≤ < 2
1)，则 31 =( )
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A. 26 B. 31 C. 36 D. 40
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5
9.已知函数 ( ) = √ 2cos(2 + )，则( )
4
3
A. ( )的一个对称中心为( , 0)
8
3
B. ( )的图象向右平移 个单位长度后得到的是奇函数的图象
8
5 7
C. ( )在区间[ , ]上单调递增
8 8
5 13
D. 若 = ( )在区间(0, )上与 = 1有且只有6个交点，则 ∈ ( , ]
2 4
10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为 的中点，若一点
在底面 内(包括边界)移动，且满足 1 ⊥ 1 ，则( )
1
A. 1 与平面 1 1 的夹角的正弦值为 3
4√ 2
B. 1点到 1 的距离为 3
C. 线段 1 的长度的最大值为2√ 2
D.
4
与 的数量积的范围是[ , 1]
5
11.已知曲线 ： | | + | | = 4，则下列说法正确的是( )
A. 点(1,1)在曲线 上
B. 直线 ： = 与曲线 无交点
C. 设直线 ： = + 2，当 ∈ ( 1,0)时，直线 与曲线 恰有三个公共点
D. 直线 ： + = 2与曲线 所围成的图形的面积为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若某等腰直角三角形的两个顶点恰为椭圆 的两个焦点，另一个顶点在 上，则 的离心率为______．
13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40 ( ∈ )个人，得到如列
联表.已知 0.05 = 3.841，若根据 = 0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则 的最小值
2
( )
为______.参考公式： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
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是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性 8 12 20
女性 12 8 20
合计 20 20 40
14.已知关于 的方程2 + = 1在[0,2 )内有2个不同的解 ， ，则cos( ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知√ 3 = 1．
(1)求 ；

(2)记△ 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，若 = 3，求 的取值范围．

16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( 2 + ) + 1( < 0)．
(1)试确定函数 ( )的极大值与1的大小关系，并说明理由；
(2)若函数 ( )有3个零点，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 为钝角三角形且 = ，∠ = ∠ =
2∠ = 2∠ = 90°， 是 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若直线 与底面 所成的角为60°，求平面 与平面 夹角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知 ( 1,0)， (1,0)，平面上有动点 ，且直线 的斜率与直线 的斜率之积为1．
(1)求动点 的轨迹 的方程．
(2)过点 的直线与 交于点 ( 在第一象限)，过点 的直线与 交于点 ( 在第三象限)，记直线 ， 的
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斜率分别为 1， 2，且 1 = 4 2．
①求证：直线 过定点；
②试判断△ 与△ 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知 为正整数，数列 ： 1， 2， ， ，记 ( ) = 1 + 2 + + ，对于数列 ，总有 ∈ {0,1}， = 1，
2， ， ，则称数列 为 项0 1数列．
若数列 ： 1， 2， ， ， ： 1， 2， ， ，均为 项0 1数列，定义数列 ： 1， 2， ， ，
其中 = 1 | |， = 1，2， ， ．
(Ⅰ)已知数列 ：1，0，1， ：0，1，1，直接写出 ( )和 ( )的值；
(Ⅱ)若数列 ， 均为 项0 1数列，证明： (( ) ) = ( )；
(Ⅲ)对于任意给定的正整数 ，是否存在 项0 1数列 ， ， ，使得 ( ) + ( ) + ( ) = 2 ，
并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 2
12.【答案】 或√ 2 1
2
13.【答案】3
3
14.【答案】
5
1
15.【答案】解：(1)因为√ 3 = 1，即sin( ) = ，
6 2
因为 ∈ (0, )，

可得 = ，可得 = ；
6 6 3
3
(2)由正弦定理可得 = = 2√ 3 = 2 ，
√ 3
2
可得 = √ 3，
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ，而 = 3，
即 2 + 2 = 9，即( + )2 = 3 + 9，
1 1 1
由三角形等面积法可得： = ( + + ) = (3 + + ) ，
2 2 2
2 2
√ 3 √ 3[( + ) 9] √ 3[( + +3) 6(3+ + )] √ 3
即 = = = = ( + 3)，
2(3+ + ) 6(3+ + ) 6(3+ + ) 6
3
由正弦定理可得 = = = = 2√ 3，
√ 3
2
所以 = 2√ 3 ， = 2√ 3 ，

所以 + = 2√ 3( + ) = 2√ 3[sin( + ) + ]
3
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√ 3 3
= 2√ 3( + )
2 2

= 6 ( + )，
6
2
在△ 中， ∈ (0, )，
3
5 1
所以 + ∈ ( , )，所以sin( + ) ∈ ( , 1]，
6 6 6 6 2
所以 + ∈ (3,6]，可得 + 3 ∈ (0,3]，
1 1
所以 = ( + 3) ∈ (0, ].
6 2
16.【答案】解：(1) ( )的极大值大于1，理由如下：

根据题设导函数 ′( ) = 3 2 + ，令导函数 ′( ) = 0，解得 = ±√ ，
3

当 √ < < √ 时，导函数 ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
3 3

当 < √ 或 > √ 时，导函数 ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
3 3

因此 = √ 时函数 ( )取得极大值，根据单调性知 ( √ ) > (0) = 1，
3 3
因此 ( )的极大值大于1．

(2)根据第一问知，当 = √ 时，函数 ( )有极大值，且极大值为 ( √ ) > 1 > 0，
3 3

由于 → ∞， ( ) → ∞， → +∞， ( ) → +∞且当 = √ 时，函数 ( )有极小值，
3
3
3 √2
要使 ( )有3个零点，应满足 (√ ) < 0，即( + )√ + 1 < 0，解得 < ，
3 3 3 2
3
3 √2
因此实数 的取值范围为( ∞, )．
2
17【. 答案】解：证明：(1)由∠ = ∠ = 2∠ = 2∠ = 90°，得 =
， // ，
则∠ = ∠ = 45°，
所以 = ，∠ = 90°，即 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)如图，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，连接 ，
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因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
则 为 在底面 内的射影，
所以∠ 为直线 与底面 所成的角，即∠ = 60°，
设 = 1，得 = = = √ 2, = 2，
△ 中． √ 2 √ 6 = , = ，
2 2
在△ 中，∠ = 45°，
√ 2
由余弦定理得 = √ 2 + 2 2 45° = ，
2
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
如图，过点 作 // ，则 ⊥底面 ，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 √ 2 √ 6 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 6 (√ 2, 0,0), (0,√ 2, 0), (0, , ), ( , , 0), ( , , )，
2 2 2 2 4 2 4
所以 √ 2 √ 2 √ 6 = (√ 2, 0,0), = ( , , ), = (0, √ 2, 0)，
4 2 4
设平面 和平面 的法向量分别为 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2)，

则{ ⊥ ，{ ⊥

，
⊥ ⊥
= √ 2 1 = 0 = √ 2 2 = 0
则{
√ 2 √ 2 √ 6
, { √ 2 √ 2 √ 6 ，
= 1 1 + 1 = 0 = 2 2 + 2 = 04 2 4 4 2 4
令 = 1， = 1，则 √ 31 2 1 = 0, 1 = , = √ 3, = 0， 2 2 2
所以 √ 3 = (0, , 1), = ( √ 3, 0,1)，
2
| | 1 √ 7
则|cos < , > | = = =| || | 7 ，
2√
7
4
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 √ 7 2 √ 42 = , = √ 1 cos = ，
7 7
故平面 与平面 夹角的正弦值为√ 42．
7
18.【答案】解：(1)设 ( , )，又 ( 1,0)， (1,0)，
且直线 的斜率与直线 的斜率之积为1，
所以
2
= = = 1， +1 1 2 1
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整理得 2 2 = 1，
所以动点 的轨迹方程为 2 2 = 1( ≠ ±1)；
(2)①证明：因为 = 1，且 = 4 ，
1
所以 = ， 4
显然直线 的斜率不为0，
所以设直线 的方程为 = + ( ≠ ±1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立{ 22 2 ，得( 1)
2 + 2 + 2 1 = 0，
= 1
2 2
所以 2 ≠ 1， > 0，且 11 + 2 = 2
，
1 1 2 =
，
2 1
1
所以
2 1 1 2
= = = 2 1 1 1 ( 1+ 1)( 2+ 1) 4
，
整理可得( 2 4) 1 2 + ( 1)( 1 + 2) + ( 1)
2 = 0，
( 2所以 4)(
2 1) 2 2 ( 1)
2 2 + ( 1)
2 = 0，又 ≠ ±1，则 1 ≠ 0，
1 1
( 2所以 4)( +1) 2
2
2 ， 1 2 + ( 1) = 0 1
3
整理可得 = ，
5
3 3
所以直线 方程为 = ，即直线 过定点 ( , 0)，
5 5
3 2 3 8
②由①可得| | = + 1 = , | | = 1 + = ，
5 5 5 5
1 1
此时 △ = | | | |， △ = | | | 2 2 |
，
△ | | 1所以 = = 为定值．
△ | | 4
19.【答案】解：( ) ( ) = 3， ( ) = 1；
( )证明：对于两个0 1数列 ： 1， 2， ， ， ： 1， 2， ， ，
记数列 ： 1， 2， ， ，则对于 (1,2,3, , )，
若 = 1，则此时| | = 1 ， = 1 | | = ，
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若 = 0，则此时| | = ， = 1 | | = 1 ，
故对于数列( ) ： 1， 2， ， ，考虑 的值( = 1,2, , )：
若 = 1，则 = = ，若 = 0，则 = 1 = 1 (1 ) = ，
故( ) 与 是同一数列．
所以 (( ) ) = ( )；
( )若 是奇数，则不存在满足条件的 项0 1数列 ， ， ，使得 ( ) + ( ) + ( ) = 2 ，
证明如下：
对于3个 项0 1数列 ， ， ，记 = 3 | | | | | |( = 1,2, , )：
则 ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 2 + + ，
当 = = 时， = 3 | | | | | | = 3；
当 ， ， 中有一个不同于另外两个时， = 3 | | | | | | = 1，
∴ 是奇数， ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 2 + + 为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为2 ，
若 是偶数，即 = 2 ( ∈ )，可构造： ： 1, 1, 1 1， ： 1, 1, 1 1， ：0 , 0 , ,0， 1, 1, 1 1，
个 个 个 个
此时数列 为 1, 1, 1 1，数列 ， 相同，都是： 0, 0 , ,0， 1, 1, 1 1，
个 个 个
所以有 ( ) + ( ) + ( ) = + + = 2 ，
综上所述，当 为偶数时， ( ) + ( ) + ( )可能为2 ，当 为奇数时，不可能成立．
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