2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷6（PDF版，含答案）

2024-2025 学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（6）
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2,3}， = { |2 1 > 0}，则 ∩ =( )
A. {2,3} B. {1,2,3}
C. {0,1,2,3} D. { 2, 1,0,1,2,3}
2.记 为数列{ }的前 项和．“任意正整数 ，均有 > 0”是“{ }为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数 ( )的部分图象如图所示，则 ( )的解析式可能是( )
1
A. ( ) = ( )

1
B. ( ) = ( + )

1
C. ( ) = ( + )ln| |

1
D. ( ) = ( + )

3 5
4.设 = ( )0.5， = ( )0.4， = 5( 3)，则( )
5 3
3
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.下列说法错误的是( )
A. 线性相关系数| |越接近1，两个变量的线性相关程度越强
B. 独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C. 在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样
的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 甲、乙两个模型的决定系数 2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好

6.设正项等比数列{ +1 }的前 项和为 ，且 < 1，若 3 + 5 = 20， 3 5 = 64，则 4 =( )
A. 63或126 B. 252 C. 120 D. 63
1
7.已知数列{ }满足： 1 = 1， 2 = 2， +1 + 1 = 2 + log2(1 + )( ≥ 2, ∈
)，则
8
=( )
A. 2√ 2 B. 3 C. 4 D. 4√ 2
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1
8.将函数 ( ) = cos( + )( ∈ )的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的2倍，得到
12 2

函数 ( )的图象，若 ( )在(0, )上只有一个极大值点，则 的最大值为( )
2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1
9.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 (1 + ) = ( )，且当 ∈ [0, ]时， ′( ) > ，则不等式 ( ) ≤
2
3 3
在[ , ]上的解集为( )
2 2
3 1 3 1 3
A. [ 1,0] ∪ [1, ] B. [ , ] C. [ , 1] D. [ , 1] ∪ [0,1]
2 2 2 2 2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
2+
10.复数 = 的共轭复数 = ______．
1 2

11.若(√ ) 的展开式的二项式系数和为32，且 2的系数为80，则实数 的值为______．

1 25
12.在1和15之间插入 个数，使得这 + 2个数成等差数列.若这 个数中第1个为 ，第 个为 ，则 + 的

最小值是______．
13.甲、乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球. 同学
从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是______； 同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点
数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么 同
学摸到红球的概率为______．
14.已知△ 内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，2 (√ 2 ) = 2 + 2 2，若△ 为
锐角三角形，且 = 4，求 的取值范围为______．
15.已知函数 ( ) = 2 + 6 3( ∈ )，若关于 的方程 ( ) + | + 3| + 1 = 0有2个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
△ 的内角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，已知2 + = 2 且 = √ 10．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的周长为2√ 3 + √ 10，求△ 的面积；
√ 30
(3)若 = ，求cos(2 )的值．
3
17.(本小题12分)
如图，四棱台 1 1 1 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形， = 2 1 1 = 4，
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， 分别为 ， 的中点，上下底面中心的连线 1 垂直于上下底面，且 1 与侧棱所在直线所成的角为
45°．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求点 1到平面 1 的距离；
(3)在线段 1上是否存在点 ，使得直线 1 与平面 1 所成的角为45°，若存在，求出线段 的长；若
不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
2 2 √ 3 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 ( > > 0)，四点 1(1,1)， 2(0,1)， 3( 1, )， (1, )中恰有三点在椭圆 上． 2 4 2
(1)求 的方程；
(2)设直线 不经过 2点且与 相交于 ， 两点.若直线 2 与直线 2 的斜率的和为 1.证明： 过定点．
19.(本小题12分)
设{ }是等差数列，其前 项和 ，{ }是等比数列，且 1 = 1 = 3， 4 = 2， 3 = 15．
(1)求{ }与{ }的通项公式；
, 为奇数
(2)设 = {(3 4 ) ，求数列{ }的前2 项和 2 ； , 为偶数
1 +1
(3)若对于任意的 ∈ 不等式 ( + 1) ( 1)( + 2) 12 < 0恒成立，求实数 的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( 是自然对数的底数)．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 ( ) = ( 1) + ( )有两个零点分别为 1， 2．
( )求实数 的取值范围；
2
( )求证： 1 2 > ． 1+ 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 2
9
12.【答案】
4
9 2
13.【答案】
14 3
14.【答案】(2√ 2, 4√ 2)
9
15.【答案】( , 0) ∪ (0,+∞)
2
2
2
+ 2
16.【答案】解：(1)因为2 + = 2 ，所以2 + = 2 ，
2
整理可得： 2 + 2 2 = ，由余弦定理可得： 2 + 2 2 = 2 ，
1 2
所以 = ， ∈ (0, )，所以可得 = ；
2 3
(2)由三角形的周长为2√ 3 + √ 10， = √ 10，所以 + = 2√ 3，
由(1)可得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 2 ，
1
而 = ，所以可得10 = 12 2 + ，可得 = 2，
2
1 1 √ 3 √ 3 √ 3
所以 △ = = × 2 × = ，所以△ 的面积为 ． 2 2 2 2 2
√ 30 2
(3)因为 = ， = √ 10， = ，
3 3
√ 30 √ 3 1
由正弦定理可得： = = = ， < ，所以 为锐角，
3√ 10 2 2
√ 3 √ 3 1
所以 = ，所以 2 = 2 = ， 2 = 2 2 1 = ，
2 2 2
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2 1 √ 3 1
所以cos(2 ) = cos(2 ) = 2 + 2 = ，
3 2 2 2
1
所以cos(2 ) = ．
2
17.【答案】解：(1)由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，
由题意 1 1 = 2√ 2， = 4√ 2，
过点 1作 1 垂直 ，
所以 = √ 2，
因为 1与侧棱所在直线成角45°，

所以 1 = =
1 1 = √ 2，
2
所以 √ 2 √ 2 45° = √ 2 × = 1， 45° = √ 2 × = 1，
2 2
故 1(1,1,√ 2)， 1(1,3,√ 2)，
1(3,1, √ 2), (4,4,0), (0,2,0), (2,4,0)，
所以 = (2,2,0), 1 = (1,1, √ 2), 1 = (3,3, √ 2)，
若平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ = 2 + 2 = 0
则{ ，则{ ，
⊥ 1 1 = + + √ 2 = 0
令 = 1，则 = (1, 1,0)，显然 1 = 0，而 1 面 1 ，
所以 1//面 1 ；
(2)由(1)知： 1 1 = (0,2,0)，
| 1 1| |1×0+( 1)×2+0×0| 2所以 1到平面 1 的距离为 = = = √ 2； | | √ 1+1 √ 2
(3)假设在 1上存在点 ，且 = 1 = (3 , 3 , √ 2 )，0 ≤ ≤ 1，
则 = = 1 1 1 1 = (1,3, √ 2) (3 , 3 , √ 2 ) = (1 3 , 3 3 , √ 2 √ 2)，
| 1 | 2 √ 2
直线 1 与平面 1 所成的角为45°，故
= =
| || 1 | √ 2 2 2 2
，
√ 2× (1 3 ) +9(1 ) +2( 1)
2
所以(1 3 )2 + 11( 1)2 = 4，即5 2 7 + 2 = (5 2)( 1) = 0，可得 = 或 = 1，
5
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2
= 时，
6 6 2
= ( , , √ 2)，
5 5 5 5
则 36 36 8 4√ 5 = √ + + = ，
25 25 25 5
= 1时， = (3,3, √ 2)，
则 = √ 9 + 9 + 2 = 2√ 5，
综上， 长为4√ 5或2√ 5．
5
√ 3 √ 3
18.【答案】解：(1)由椭圆的对称性可得：所给的四点中 2(0,1)， 3( 1, )， 2 4(1, )在椭圆上， 2
1 3
可得 = 1，将 3的坐标代入椭圆的方程可得 + = 1，可得
2 = 4，
2 4
2
所以椭圆的方程为： + 2 = 1；
4
(2)证明：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = + ， ≠ 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立{ 2 2 ，整理可得：(1 + 4
2) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
+ 4 = 4
2 2 8 4
2 4
= 64 4(1 + 4 2)(4 2 4) > 0，可得 2 < 1 + 4 2，且 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1+4 1+4
1 1 ( + 1) +( + 1) 2 +( 1)( + ) 2
因为 + =
1 + 2 = 1 2 2 2 =
1 2 1 2 = 2 ，
2 2 1 2 1 2 1 2 +1
2
由题意可得2 = 1，
+1
整理可得： = 1 2 ，当且仅当 ≤ 0时，符合 > 0，
这时直线 的方程为： = 1 2 = ( 2) 1，直线恒过定点(2, 1)；
2 √ 4 2
当直线的斜率不存在时，则 = ， 2 < < 2，且 ≠ 0，代入椭圆的方程可得 2 = 1 ，所以 ≠ ，
4 2
√ 4 2 √ 4 2
设 ( , )， ( , )，
2 2
√ 4 2 √ 4 2
1 1 2
这时为 +
2 2
= + = ， 2 2
2
由题意可得 = 1，

可得 = 2，即直线的方程为 = 2，
显然这时直线也过(2, 1)，
综上所述：可证得直线恒过定点(2, 1)．
19.【答案】解：(1)设数列{ }的公差为 ，数列{ }的公比为 ，
3 + 3 = 3
由题意知{ ，
3 + = 5
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= 3
解之得{ ， = 2 + 1， = 3
．
= 2
(2)当 为奇数时， = (2 + 1)3 ，
设 2 = 1 + 3 + + 2 1 = 3 + 7 × 3
3 + 11 × 35 + + (4 1) × 32 1，
9 3 = 3 × 3 + 7 × 3
5 + 11 × 37 + (4 5) × 32 1 + (4 1) × 32 +1，
3 5 7 2 1 2 +1 27(1 9
1)
两式相减可得 8 = 9 + 4(3 + 3 + 3 + + 3 ) (4 1) × 3 = 9 + 4 × (4 1 9
1) × 32 +1
9 9
= + ( 12 ) × 9 ，
2 2
9 24 9
∴ = + × 9 ， 16 16
(3 4 )3 1 3 3 +2
当 为偶数时， = = ( )， (2 1)(2 +3) 4 (2 1) (2 +3)
1 32 34 34 36 32 32 +2 1 32 32 +2
= 2 + 4 + + 2 = [( ) + ( ) + + ( )] = ( )， 4 3 7 7 11 4 1 4 +3 4 3 4 +3
3 9 +1
∴ = ， 4 4(4 +3)
21 24 9 9 +1
∴ 2 = + = + 9
．
16 16 4(4 +3)
2+ 6
(3)(1 ) 2 + (1 2 ) 6 < 0( ∈ )恒成立，化简得 > 2 ， +2
2+ 6 +6
设 = 2 = 1 ， +2 ( +2)
+7 +6 2+13 +18
+1 = + = > 0， ( +1)( +3) ( +2) ( +1)( +2)( +3)
∴ { }是单调递增数列，
+6
又 2 > 0， +2
+6
∴ = 1 2 < 1，∴ ≥ 1， +2
即实数 的取值范围是[1,+∞)．
20.【答案】解：(1) ′( ) = ，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0， ( )在 上单调递增；
当 > 0时， > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
< 时， ′( ) < 0， ( )单调递增．
综上，当 ≤ 0时， ( )在 上单调递增；
当 > 0时， ( )在( ∞, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增．
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(2)① ( ) = ( 1) + ( ) = ( + ) = ( )( > 0)有两个零点，
令 = ，则 ′ = ( + 1) > 0，在 > 0时恒成立，所以 = 在 > 0时单调递增，
所以 ( ) = ( )有两个零点，等价于 ( ) = 有两个零点．

因为 ′( ) = 1 = ，所以当 ≤ 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，不可能有两个零点；

当 > 0时，令 ′( ) > 0，得 > ， ( )单调递增，
令 ′( ) < 0，得0 < < ， ( )单调递减，所以 ( ) = ( ) = ，
若 ( ) = 0，得 = ，此时 ( )有一个零点；
若 ( ) > 0，得0 < < ，此时 ( ) > 0恒成立，没有零点；
若 ( ) < 0，得 > ，因为 (1) = 1 > 0， ( ) = < 0，
记 ( ) = 2， > ，则 ′( ) = 2 ，
记 ( ) = 2 ， > ，则 ′( ) = 2 > 0，
所以 ( )在( ,+∞)上单调递增，所以 ( ) > ( ) = 2 > 0，即 ′( ) > 0，
故 ( )在( , +∞)上单调递增，所以 ( ) = 2 > ( ) = 2 > 0，
即 ( ) = 2 > 0，
所以 ( )在(1, )，( , )上各存在一个零点，符合题意，
综上， > ，即 的取值范围为( , +∞)．
2
②证明：要证 1 2 > + ，只需证 1 + 2 > 2 ( 1 + 2)， 1 2
即证 1 + 1 + 2 + 2 > 2，即证ln(
1
1 ) + ln( 2
2) > 2，
由(2)中①知 1 = 1
1， = 22 2 ，所以只需证 1 + 2 > 2．
因为 1 = 1， 2 = 2，所以 ( 2 1) = 2 1， ( 2 + 1) = 2 + 1，
2 2 1 2
2+
( +1)ln ( +1)ln
1 所以 2 + 1 = ( ) =
1 1 1 1
2 1
，只需证 > 2．
2 1 2 1 2 1
1 1
1 4
设0 < < ，令 = 21 2 ，则 > 1，所以只需证 > 2 ，即证 + 2 > 0， 1 +1 +1
2
4 1 4 ( 1)
令 ( ) = + 2， > 1，则 ′( ) = 2 = 2 > 0， ( ) > (1) = 0， +1 ( +1) ( +1)
4
即当 > 1时， + 2 > 0成立．所以 + > 2，即 + > 2 ( + )，证毕．
1+1 1 2 1 2 1 2
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