重难点突破01 三角函数中有关ω的范围问题
1.在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2.在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3. 在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4. 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5.已知单调区间，则.
一．选择题（共20小题）
1．（2023 鹰潭一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数在区间恰有3个极值点，2个零点，
即函数在区间恰有3个极值点，且方程有2个解．
，，，求得．
故选：．
2．（2023 镇安县校级模拟）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：根据在区间上单调递减，
得，
可得，
又由，
必有，
可得，
即正数的取值范围为，．
故选：．
3．（2023 全国一模）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为
A． B．， C．， D．
【解答】解：由题意有，可得，
又由，
必有，
可得，即实数的取值范围为，．
故选：．
4．（2023 河北模拟）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A． B．， C． D．
【解答】解：由，得，，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：，
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是．
故选：．
5．（2023 河南模拟）已知函数在，上恰有3个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
因为，，所以，
则，解得．
故选：．
6．（2023 麒麟区校级二模）已知函数，的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数的图象在区间内至多存在3条对称轴，
，，，．
故选：．
7．（2023 安阳模拟）已知函数在，上有且仅有2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：
，
当，时，，
在，内有且仅有2个零点，
，，
的取值范围是．
故选：．
8．（2023 玉树州模拟）已知函数，则关于说法错误的是
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于轴对称
C．的单调递减区间为
D．在，上有3个零点，则实数的取值范围是
【解答】解：．
对于选项，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，选项正确；
对于选项，，
与图象关于轴对称，选项正确；
对于，由，，得，，
即的单调递减区间为，选项正确；
对于，如图为的图象，
由图可知，在，上有3个零点，则，解得，
选项错误．
故选：．
9．（2023 金华模拟）已知函数在，上有且仅有2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：，
因为在，上仅有2个零点，
当，时，，
所以，解得．
故选：．
10．（2023 武功县校级模拟）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为向右平移个单位，得到函数，
所以，
令，则在，，上单调递增，
因为在上为增函数，故由，，得，即，
所以在上为增函数，故，，
当时，，
所以由得，故，
所以，即．
故选：．
11．（2023 武功县校级模拟）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为
A． B． C． D．，
【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，，所以．
故选：．
12．（2023 北海一模）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在，上恰有5个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为，令，由题意在，上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：．
13．（2023 雁塔区校级三模）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是
A．， B． C． D．
【解答】解：，
函数在区间内单调递增，
，
，
，
，
若在区间上单调递增，
则，
解得，
当时，，
当时，，
当取其它值时不满足，
的取值范围为，
故选：．
14．（2023 秦淮区一模）已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是锐角三角形，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：作出函数和的图象，
如图所示：
由图可知，取的中点，连接，则，
因为是锐角三角形，
所以，
则，即，
由，得，，
即，，
则，即点的纵坐标为，
故，
因为，
所以，
所以．
故选：．
15．（2023 涪城区校级模拟）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C．， D．
【解答】解：，，，
，，，
在区间内单调递减，，，，
，
故实数的取值范围是，，
故选：．
16．（2023 成都模拟）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可知，，
，
．
又在上有且仅有3个极值点，
，
解得，
的取值范围为：．
故选：．
17．（2023 绵阳模拟）将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：将的图象横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象．
，
由，，
得，
的增区间为，
若在上单调递增，则，
且，且，
又，当时，，即的取值范围是．
故选：．
18．（2023 鲤城区校级模拟）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围
A． B． C． D．
【解答】解：，其中（取为锐角），
，其中（取为锐角），
设，由，可得．
在区间内没有零点，但有极值点时，，可得．
所以．
因为，，所以．
所以，
所以在上的最大值在取得，故．
又
，
，
所以的取值范围是．
故选：．
19．（2023 成都模拟）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：，，
时，，
要想在区间内无零点，
则要满足，解得，
要想不等式组有解，则要，解得，故或0，
当时，，解得，
当时，，解得，
则的取值范围是．
故选：．
20．（2023 湖滨区三模）已知函数，其中，若函数满足以下条件：
①函数在区间上是单调函数；
②对任意恒成立；
③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是
A．，， B．
C． D．
【解答】解：，且，
，
①若函数在区间上是单调函数，
则，由，可得，
当，可得；
当时，可得，
，，；
②若对任意恒成立；则，
，
③若经过点的任意直线与函数恒有交点，
则，，，
，，，
，，
①当时，则，
②当时，则，
的取值范围是，，．
故选：．
二．多选题（共5小题）
21．（2023 怀仁市校级三模）已知函数，若函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是
A．在，上有且仅有5个零点
B．在，上有且仅有3个极大值点
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【解答】解：，
由，，
则，
函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，
，
解得，
的取值范围是，，
函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，
在，上有5个零点或6个零点，只有3个极大值．
故选：．
22．（2022 海淀区校级模拟）设函数，，下列说法正确的是
A．当时，的图象关于直线对称
B．当时，在，上是增函数
C．若在，上的最小值为，则的取值范围为
D．若在，上恰有2个零点，则的取值范围为
【解答】解：对于函数，，
当时，令，求得，为最大值，
故的图象关于直线对称，故正确；
当时，，，在，上不单调，故错误；
若在，上的最小值为，
且，，
故有，则，故正确；
若在，上恰有2个零点，且，，
则有，则的取值范围为，，故错误，
故选：．
23．（2022 韶关模拟）已知函数，则下列结论中正确的是
A．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在，上单调递增，则的取值范围为，
D．若在，有且仅有3个零点，则的取值范围是
【解答】解：函数，，
若，则，把的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象关于原点对称，故正确；
若，且的最小值为，则，故正确；
若在，上单调递增，，，，
求得，则的取值范围为，，故错误；
若在，有且仅有3个零点，，，，
，故错误，
故选：．
24．（2023 东莞市模拟）已知，函数，下列选项正确的有
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【解答】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，故正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得，故错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，故正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，故正确．
故选：．
25．（2023 镇江三模）已知函数，则
A．若在区间，上为增函数，则实数的取值范围是
B．若在区间，上有两个零点，则实数的取值范围是
C．若在区间，上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是
D．若在区间，上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是
【解答】解：选项，当，时，，若此时为增函数，
则有，解得，故正确；
选项，当，时，，若在此区间上由两个零点，
则有，解得，故错误；
选项，当，时，，若在此区间上有且仅有一个极大值，
则有，解得，故正确；
选项，当，时，，若在此区间上有且仅有一个最大值，
则有，解得，故错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
26．（2023 河南模拟）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是 ．
【解答】解：先将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，
所得图象与函数的图象关于轴对称，
故．
函数在上恰有两个零点，故，解得．
求函数的单调递增区间，
需满足，
整理得．
因为函数在上单调递增，
所以，
所以，解得，
故的取值范围是．
故答案为：．
27．（2023 新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：，，函数的周期为，，可得，
函数在区间，有且仅有3个零点，
可得，
所以．
故答案为：，．
28．（2023 佛山一模）已知函数（其中，．为的最小正周期，且满足．若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意可得：的最小正周期，
，且，则为的一条对称轴，
，解得，
又，则，
故，
，则，
若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，
故的取值范围是．
故答案为：．
29．（2023 重庆模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ，实数的取值范围是 ．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的函数的图象关于点对称，
，即，
因为，则，
若，则，
在区间上单调递增，，
当，，
，且，
即，且，；
若，则，
在区间上单调递增，
，
当，，
，且，
即且，故；
综上可得，，．
故答案为：；．
30．（2023 闵行区校级一模）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），且，
所以，函数在上恰有两个最大值点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题（共5小题）
31．（2023 亭湖区校级三模）已知函数的值域为，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：
，
令，则，，
又，在，上单调递增，
故由题意有：，解得，
，
当，时，单调递增，
解得，，
即的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，，
，当，时，，，
结合正弦函数的图象可知：
当，即时，
函数在区间，上恰有一个零点，
故的取值范围是，．
32．（2023 洪山区校级模拟）已知函数，点是图像上的一个最高点，、为图像的两个对称中心，面积的最小值为．
（1）求的值；
（2）在区间，上有20个极值点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的最小正周期为，
，
又面积的最小值为，
，解得．
（2）由（1）知，，
当，时，，
在区间，上有20个极值点，
，解得，
实数的取值范围是，．
33．（2023 全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由图知：，所以，所以，
所以，
由，且，
所以，
所以；
（2）令得：，
对于，，
则，
由的图像和性质可得：在区间上的值域为，
所以函数在区间上存在零点，有．
34．（2023 香坊区校级三模）已知函数，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，
故，即，即，得，
则．
若选①，函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且，
则，
此时函数关于轴对称，则，，
得，，
，当时，，当时，．
，，则，
则成立，不成立，舍去．
则．
若选②，函数的图像的一个对称中心为且．
则，，
得，，
，当时，，
当时，．
，，
当时，不成立，
故成立，则．
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
则，
，，，，，
函数在区间上恰有3个零点，
，得，
得，
即实数的取值范围是，．
35．（2023 桃城区校级一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．
【解答】解：（1）对于条件②，，
若函数的图象可以由的图象平移得到，
则，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，
可得，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
（2）由（1）可得，
由条件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
时，，
时，，
时，，
又曲线的对称轴只有一条落在区间，上，
所以，
即的取值范围是，．重难点突破01 三角函数中有关ω的范围问题
1.在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2.在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3. 在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4. 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5.已知单调区间，则.
一．选择题（共20小题）
1．（2023 鹰潭一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023 镇安县校级模拟）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为
A． B． C． D．
3．（2023 全国一模）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为
A． B．， C．， D．
4．（2023 河北模拟）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A． B．， C． D．
5．（2023 河南模拟）已知函数在，上恰有3个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2023 麒麟区校级二模）已知函数，的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2023 安阳模拟）已知函数在，上有且仅有2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2023 玉树州模拟）已知函数，则关于说法错误的是
A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为
B．的图象与的图象关于轴对称
C．的单调递减区间为
D．在，上有3个零点，则实数的取值范围是
9．（2023 金华模拟）已知函数在，上有且仅有2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2023 武功县校级模拟）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．（2023 武功县校级模拟）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为
A． B． C． D．，
12．（2023 北海一模）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在，上恰有5个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
13．（2023 雁塔区校级三模）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是
A．， B． C． D．
14．（2023 秦淮区一模）已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是锐角三角形，则的取值范围是
A． B． C． D．
15．（2023 涪城区校级模拟）已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C．， D．
16．（2023 成都模拟）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为
A． B． C． D．
17．（2023 绵阳模拟）将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为
A． B． C． D．
18．（2023 鲤城区校级模拟）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围
A． B． C． D．
19．（2023 成都模拟）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
20．（2023 湖滨区三模）已知函数，其中，若函数满足以下条件：
①函数在区间上是单调函数；
②对任意恒成立；
③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是
A．，， B．
C． D．
二．多选题（共5小题）
21．（2023 怀仁市校级三模）已知函数，若函数的图象在区间，上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是
A．在，上有且仅有5个零点
B．在，上有且仅有3个极大值点
C．的取值范围是
D．的取值范围是
22．（2022 海淀区校级模拟）设函数，，下列说法正确的是
A．当时，的图象关于直线对称
B．当时，在，上是增函数
C．若在，上的最小值为，则的取值范围为
D．若在，上恰有2个零点，则的取值范围为
23．（2022 韶关模拟）已知函数，则下列结论中正确的是
A．若，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在，上单调递增，则的取值范围为，
D．若在，有且仅有3个零点，则的取值范围是
24．（2023 东莞市模拟）已知，函数，下列选项正确的有
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
25．（2023 镇江三模）已知函数，则
A．若在区间，上为增函数，则实数的取值范围是
B．若在区间，上有两个零点，则实数的取值范围是
C．若在区间，上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是
D．若在区间，上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是
三．填空题（共5小题）
26．（2023 河南模拟）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是 ．
27．（2023 新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
28．（2023 佛山一模）已知函数（其中，．为的最小正周期，且满足．若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是 ．
29．（2023 重庆模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ，实数的取值范围是 ．
30．（2023 闵行区校级一模）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），则实数的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
31．（2023 亭湖区校级三模）已知函数的值域为，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围．
32．（2023 洪山区校级模拟）已知函数，点是图像上的一个最高点，、为图像的两个对称中心，面积的最小值为．
（1）求的值；
（2）在区间，上有20个极值点，求实数的取值范围．
33．（2023 全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
34．（2023 香坊区校级三模）已知函数
，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围．
35．（2023 桃城区校级一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．重难点突破02 三角函数大题专项训练
1．（2023 成都模拟）已知函数，（下面①，②中选择一个作为已知条件，解答问题：
（1）求的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
①的最大值为2；②．
注：如果选择①和②分别解答，则按第一个解答计分．
【解答】解：（1）
，，
若选①，因为函数的最大值为2，即，，可得；
若选②，，即，由可得，
解得：；
综上所述：；
（2）由（1）可得，则，，当时，，
所以函数，
由题意可得，
则它的单调递增区间满足，，解得：，．
即函数的单调递增区间为：，，．
2．（2023 湖南模拟）函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．
【解答】解：（1）由图可知，，
函数的最小正周期为，
，
，
，
，
则，
，则，
故；
（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，
则，
当时，，
则，
，
在区间上的值域为．
3．（2023 岳阳县模拟）已知函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图可知，，，，
所以．
当时，，可得．
求的解析式为：；
（2）由（1）知．
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
故，
，
当，即时，有最大值为1；
当，即时，有最小值为；
4．（2023 南昌二模）如图是函数的部分图象，已知．
（1）求；
（2）若，求．
【解答】解：（1）设，，函数的最小正周期为，则，
则，
故，解得（负值舍去），
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，则，
所以，所以．
5．（2023 大观区校级三模）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）．
函数的单调递增区间为，解得，，，
的单调递增区间为，
（Ⅱ）因为，，所以．
当，即时，，
当，即时，．
6．（2023 广州三模）已知函数，．
（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间；
（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．
【解答】解：（1）函数的两条相邻对称轴之间的距离为，，
，．
令，，求得，，
可得它的增区间为，，．
（2）若函数的图象关于对称，
则，，，，
由函数在上单调，，，，
求得．
综上可得，．
7．（2023 亭湖区校级三模）已知函数的值域为，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：
，
令，则，，
又，在，上单调递增，
故由题意有：，解得，
，
当，时，单调递增，
解得，，
即的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，，
，当，时，，，
结合正弦函数的图象可知：
当，即时，
函数在区间，上恰有一个零点，
故的取值范围是，．
8．（2023 安康一模）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，，，，求实数的取值范围以及的值．
【解答】解：（1）由图可得：，得：，
又，所以，所以，
所以．
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以．
（2）图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
当时，，
令，则，
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
且，，
所以，时，．当时，方程恰有三个不相等的实数根．
因为有三个不同的实数根，，，
且，关于对称，，关于对称，
则，
两式相加得：，
即，所以．
9．（2023 青羊区校级模拟）已知函数的最小正周期为，且，
（1）求，；
（2）将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．
【解答】解：（1）函数的最小正周期为，．
再根据，，．
（2）将的图象往右平移个单位后得函数的图象，
故．
当取得最大值1时，
由，，求得，，
故当取得最大值时，值的集合为，．
10．（2023 丰台区一模）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由图象可知：，
，
将点代入得，
，，
，
，
；；
（2），
由得，
当时，即，，
当时，即．
11．（2023 顺义区一模）已知函数的一个零点为．
（1）求和函数的最小正周期；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的一个零点为，
，
，，
；
（2）当时，，，，，
，
，即，．
12．（2023 全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由图知：，所以，所以，
所以，
由，且，
所以，
所以；
（2）令得：，
对于，，
则，
由的图像和性质可得：在区间上的值域为，
所以函数在区间上存在零点，有．
13．（2023 香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
【解答】解：（1）（其中，，，
由题意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式为：，，；
（2）令，则，即，
因为，，则，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
14．（2023 桃城区校级模拟）如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），为线段的中点，记经过秒后（其中，．
（1）求的函数解析式；
（2）将图像上的各点均向右平移2个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．
【解答】解：（1），是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），
经过秒后（其中，
则．
因为，
所以，
所以，
所以．
即．
（2）依题意可知
由，得，
故函数在，上的单调递减区间为，．
15．（2023 南通三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则解析式变为，
则，
当时，，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
在区间上的最大值为；
（2），当时，，
要使在上无零点，则，．
，，，，
当时，；当时，，
当时，舍去．
综上：的取值范围为．
16．（2023 海淀区校级三模）已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．
（1）求的值；
（2）若函数在区间，上是增函数，求实数的最大值．
条件①：；
条件②：最大值与最小值之和为0；
条件③：最小正周期为．
【解答】解：（1）若选条件①③：
由条件③得，，又因为，
所以，
由①知，，所以．
则，
所以；
（2）令，
所以，
所以函数的单调增区间为，
因为函数在区间，上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为；
选条件②③：
由于最小正周期为，
所以，，
由最大值与最小值之和为0，，
故，
解得，
所以，
故；
（2）解法同选条件①③：
令，
所以，
所以函数的单调增区间为，
因为函数在区间，上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为．
说明：不可以选择条件①②：
由①知，，所以；
由②知，，所以，矛盾，
所以函数不能同时满足条件①和②．
17．（2023 建华区校级三模）已知函数在区间上单调，其中，，且．
（1）求的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点在函数的图象上，求函数的表达式．
【解答】解：（1）由函数在区间上单调，
且，可知，
故的图象的一个对称中心的坐标为；
（2）由点在函数的图象上，
有，又由，
，
可知函数在区间上单调递减，
由函数的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由，可得，
则，
又由函数在区间上单调，
有，可得，可得，
故．
18．（2023 松江区校级模拟）设．
（1）求的单调递增区间及对称中心；
（2）当时，，求的值．
【解答】解：（1）由题意得：，
由，可得，
所以的单调递增区间是，
令，，解得：，，此时函数值为，
所以对称中心为；
（2），
，
，，
当时，，
，，
．
19．（2023 香坊区校级三模）已知函数，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，
故，即，即，得，
则．
若选①，函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且，
则，
此时函数关于轴对称，则，，
得，，
，当时，，当时，．
，，则，
则成立，不成立，舍去．
则．
若选②，函数的图像的一个对称中心为且．
则，，
得，，
，当时，，
当时，．
，，
当时，不成立，
故成立，则．
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
则，
，，，，，
函数在区间上恰有3个零点，
，得，
得，
即实数的取值范围是，．
20．（2023 重庆模拟）已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若三角形满足是边上的两点，且，求三角形面积的取值范围．
【解答】解：（1）由已知化简得，
，
由得，，，
又，，，
（2）易得，
由①，②，
又，，
将①②式并结合，可得：，
以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，
则，，
设，则由可得：点的轨迹方程为，
即，当时，取到最大值，
根据几何关系易知三角形面积的取值范围为．
21．（2023 桃城区校级一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．
【解答】解：（1）对于条件②，，
若函数的图象可以由的图象平移得到，
则，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，
可得，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
（2）由（1）可得，
由条件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
时，，
时，，
时，，
又曲线的对称轴只有一条落在区间，上，
所以，
即的取值范围是，．
22．（2023 贺兰县校级四模）已知函数．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间，上有且仅有1个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知，
，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）选择①②：
因为，，所以，
又因为在区间，上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为，，所以，
又因为在区间，上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
23．（2023 南岗区校级三模）已知函数，的图像是由的图像向左平移个单位长度得到的．
（1）若的最小正周期为，求图像的对称轴中心，与轴距离最近的对称轴的方程；
（2）若图像相邻两个对称中心之间的距离大于且，求在上的值域．
【解答】解：（1）函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，
，
，且，，
若的最小正周期为，
，，，
，．
令，可得，，
，求得，，对称中心，，，
取，可得与轴距离最近的对称轴方程为；
（2）若图象相邻两个对称中心之间的距离，则，
且，
．
结合，，可得，
，
当，，，
，，，，
故在的值域为，．
24．（2023 贺兰县校级模拟）已知函数，且满足_____．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）若关于的方程在区间，上有两个不同解，求实数的取值范围．
从①的最大值为1，②的图象过点，这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．（注：如果两个条件都选分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）函数
，
若满足①的最大值为1，则，解得，
所以；
的最小正周期为；
若满足②，因为的图象过点，，
所以，
所以，
所以，
最小正周期．
（2）令，得，
解得，；
即，；
若关于的方程在区间，上有两个不同解，则或；
所以实数的取值范围是，．
25．（2023 鼓楼区校级一模）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．
【解答】解：（1）根据函数图象可得，，，，
，得，，
又，，
，，，得，，
又，，；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变）得到，
再向下平移一个单位得到，
再向左平移个单位得到，，
当时，，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
，，即值域为．
26．（2023 海淀区校级模拟）已知函数．
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得函数，
当取最大值时，即，此时，，即，，
所以的取值集合为，．
（2）由，，
得，，
即，，
所以的减区间，，，
当，得，是一个减区间，且，，
所以，，，
所以，，所以的最大值为．
27．（2023 辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．
【解答】解：（1）由图可知，，解得：，
所以，即：，
将点代入得，
所以，，解得：，，
所以，
所以，
因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，
所以．
（2）因为，所以，
由，得，，
因为，
所以，即：，
所以由，得，
所以由，得，
所以，
由正弦定理，得，
所以的面积．
28．（2023 威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，，，为该函数图象与轴的交点，且为图象的一个最高点．
（1）证明：；
（2）若，，，求的解析式．
【解答】证明：（1）在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，又，
所以．
（2）解：因为，，，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在中，
又，则，所以，
则，
所以，则，
，
所以，
所以．
29．（2023 北京模拟）在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于点对称，③函数的图象经过点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数最小正周期为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）函数在上的最大值和最小值．
【解答】解：，
因为的最小正周期为，所以，解得，
所以，
选择①：（Ⅰ）因为函数的图象关于直线对称，
所以，，则，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，，
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值1．
选择②：（Ⅰ）因为函数的图象关于点对称，
所以，，则，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，，
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值0．
选择③：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，
所以，即，，
所以，，
又，所以，
所以．
（Ⅱ）因为，所以，，
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值1．
30．（2023 西城区二模）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（Ⅰ）选①时，，即，
最小值是，故选条件①时，不存在；
选②时，，
即，
所以，，或，．
即，，或，，
因为，所以；
选③时，，．
即，
即，
整理得，
利用辅助角公式得，即，由选②同理可知；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则，
此时画出在上的图象，如下所示：
由与直线恰有一个公共点可知，或．重难点突破02 三角函数大题专项训练
1．（2023 成都模拟）已知函数，（下面①，②中选择一个作为已知条件，解答问题：
（1）求的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
①的最大值为2；②．
注：如果选择①和②分别解答，则按第一个解答计分．
2．（2023 湖南模拟）函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．
3．（2023 岳阳县模拟）已知函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
4．（2023 南昌二模）如图是函数的部分图象，已知．
（1）求；
（2）若，求．
5．（2023 大观区校级三模）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求在区间，上的最值．
6．（2023 广州三模）已知函数，．
（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间；
（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．
7．（2023 亭湖区校级三模）已知函数的值域为，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围．
8．（2023 安康一模）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，，，，求实数的取值范围以及的值．
9．（2023 青羊区校级模拟）已知函数的最小正周期为，且，
（1）求，；
（2）将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．
10．（2023 丰台区一模）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．
11．（2023 顺义区一模）已知函数的一个零点为．
（1）求和函数的最小正周期；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
12．（2023 全国二模）已知函数的部分图像如图所示，其中的图像与轴的一个交点的横坐标为．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
13．（2023 香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
14．（2023 桃城区校级模拟）如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），为线段的中点，记经过秒后（其中，．
（1）求的函数解析式；
（2）将图像上的各点均向右平移2个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．
15．（2023 南通三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．
16．（2023 海淀区校级三模）已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．
（1）求的值；
（2）若函数在区间，上是增函数，求实数的最大值．
条件①：；
条件②：最大值与最小值之和为0；
条件③：最小正周期为．
17．（2023 建华区校级三模）已知函数在区间上单调，其中，，且．
（1）求的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点在函数的图象上，求函数的表达式．
18．（2023 松江区校级模拟）设．
（1）求的单调递增区间及对称中心；
（2）当时，，求的值．
19．（2023 香坊区校级三模）已知函数
，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_____，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称且；
②函数的图像的一个对称中心为且．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围．
20．（2023 重庆模拟）已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若三角形满足是边上的两点，且，求三角形面积的取值范围．
21．（2023 桃城区校级一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．
22．（2023 贺兰县校级四模）已知函数．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间，上有且仅有1个零点，求的取值范围．
23．（2023 南岗区校级三模）已知函数，的图像是由的图像向左平移个单位长度得到的．
（1）若的最小正周期为，求图像的对称轴中心，与轴距离最近的对称轴的方程；
（2）若图像相邻两个对称中心之间的距离大于且，求在上的值域．
24．（2023 贺兰县校级模拟）已知函数，且满足_____．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）若关于的方程在区间，上有两个不同解，求实数的取值范围．
从①的最大值为1，②的图象过点，这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．（注：如果两个条件都选分别解答，按第一个解答计分．
25．（2023 鼓楼区校级一模）已知函数在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．
26．（2023 海淀区校级模拟）已知函数．
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设函数在区间是减函数，求实数的最大值．
27．（2023 辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．
28．（2023 威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，，，为该函数图象与轴的交点，且为图象的一个最高点．
（1）证明：；
（2）若，，，求的解析式．
29．（2023 北京模拟）在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于点对称，③函数的图象经过点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数最小正周期为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）函数在上的最大值和最小值．
30．（2023 西城区二模）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
