湘教版（2024）七上3.4.2一元一次方程的应用（同步探究学案）

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3.4.2 一元一次方程的应用
学习目标与重难点
学习目标：
1. 体会用一元一次方程解决问题的关键是找出等量关系。
2. 经历用一元一次方程解决实际问题的过程，感受数学在实际生活中的应用价值，提高数学的应用意识。
3. 培养学生观察、分析和推理的能力，引导学生关注生活实际。
学习重点：找出等量关系，列出正确的方程
学习难点：找出等量关系，列出正确的方程，用一元一次方程实际问题
预习自测
1.甲、乙两人骑自行车同时从相距48千米的两地相向而行，1.5小时相遇，若甲比乙每小时多骑2千米，则乙每小时行驶 ( )
A.12.5千米 B.15千米
C.17千米 D.20千米
2.甲、乙两人在一条笔直的跑道上练习跑步，已知甲跑完全程需要4分钟，乙跑完全程需6分钟，如果两人分别从跑道的两端同时出发，相向而行，那么两人相遇所需的时间是 ( )
A.2.4分钟 B.2.5分钟
C.2.6分钟 D.3分钟
3.《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安，五日至齐;乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢 译文:甲从长安出发，5日到齐国;乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问多久后甲、乙相逢 设乙出发x日，甲、乙相逢，则可列方程 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
教学过程
一、问题提出、导入新课
为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆 . 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑 10 km，他在上午 10 时到达，小华每小时骑15 km，他在上午 9 时 30 分到达.
他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？
本题的等量关系：
三、合作交流、新知探究
探究一：一元一次方程的应用
教材第111页
想一想：怎样表示小楠和小华各自的时间呢？
尝试解这个问题：
练一练：例3：现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽 1棵，并且相邻两棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5 m栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5. 5 m栽1棵，则树苗正好用完.
根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段公路的长度.
本题的等量关系是：
完成下表：
方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m
一
二
尝试解这个问题：
例4：某校七年级甲班有 45 人，乙班有 39 人 . 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多 1 人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2倍 .
请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？
试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
本题的等量关系：
尝试解这个问题：
三、自主检测
1.某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟;如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，那么甲、乙两地的距离是 ( )
A.120千米 B.110千米
C.100千米 D.90千米
2.一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是 ( )
A.60秒 B.30秒 C.40秒 D.50秒
3.甲、乙两地相距2240 km，复兴号高铁从甲地开往乙地，平均每小时行320 km;和谐号动车从乙地开往甲地，平均每小时行240 km.
(1)若两车同时出发，多长时间相遇
(2)如果和谐号动车行了1小时后复兴号高铁才出发，那么复兴号高铁出发多长时间后与和谐号动车相遇
4.新一代标准动车组“复兴号”是中国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车，是中国科技创新的又一重大成果.一列“复兴号”动车正在匀速行驶中，经过某长度为200 m的大桥用时18 s，桥头一监测仪监测到该动车通过监测仪正前方所用时间为3.6 s.
(1)求该动车的长度;
(2)该动车通过大桥的速度是多少千米/时
5.已知甲沿周长为300米的环形跑道按逆时针方向跑步，速度为a米/秒，与此同时在甲后面100米的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3米/秒.设运动时间为t秒.
(1)若a=5，求甲、乙两人第1次相遇的时间;
(2)当t=50时，甲、乙两人第1次相遇.
①求a的值.
②若a>3时，甲、乙两人第1次相遇前，当两人相距120米时，求t的值.
知识点总结
解决生活中常见的实际问题，找出正确的等量关系：
1. 相遇问题：路程=速度×时间；
2. 植树问题：路长 = 相邻两树的间隔 ×（种植的树苗数 － 1）。
答案
预习自测
1.【答案】B
【解析】设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2)千米，根据两人的速度之和×时间=两地之间的距离，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2)千米，根据题意得：(x+x+2)×1.5=48，解得：x=15．故选：B．
2.【答案】A
【解析】设两人相遇所需要的时间是x分钟，根据题意得：，解得x=2.4，故选A
3.【答案】D
【解析】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x-2）日，故可列方程为：+=1．故选：D．
自主检测
1.【答案】A
【解析】解：设两地的距离为x千米，根据题意列方程得=，解得x=120，故选A
2.【答案】D
【解析】解：设这列火车完全通过隧道所需时间是x秒，则得到方程：15x=600+150，解得：x=50，答：这列火车完全通过隧道所需时间是50秒．故选D．.
3.【答案】见解析
【解析】(1)设两车同时出发，x小时相遇，根据题意，得
320x+240x=2 240，解得x=4.
答:两车同时出发，4小时相遇.
(2)设复兴号高铁出发y小时后与和谐号动车相遇，根据题意，得320y+240y+×240=2 240，解得y=.
答:复兴号高铁出发小时后与和谐号动车相遇.
4.【答案】见解析
【解析】(1)设动车的长度为S m，根据题意得=，S=50.
答:该动车的长度为50 m;
(2) m/s=50 km/h.
答:该动车通过大桥的速度是50 km/h.
5.【答案】见解析
【解析】(1)由题可列方程5t-3t=200，
解得t=100.
答:若a=5，甲、乙两人第1次相遇的时间为100秒.
(2)①有两种情况:当a>3时，则50a-3×50=200，解得a=7，
当0所以a=1或7.
②当a>3时由①可知a=7，根据题意可列方程:7t-3t=120-100，或7t-3t=200-120，
解得t=5或20.
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