湘教版（2024）七上3.5认识二元一次方程组（同步探究学案）

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3.5 认识二元一次方程组
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握二元一次方程、二元一次方程组的基本概念，理解二元一次方程组解的意义。能根据实际情况列出正确的二元一次方程组，能正确判断一组解是否是二元一次方程组的解。
2.学会用类比的方法迁移知识，感受数学知识间的系统性和连贯性。
3.经历观察、对比等过程，培养学生归纳概括的能力，体会实际生活中数学的价值。
学习重点：掌握二元一次方程、二元一次方程组的基本概念，理解二元一次方程组解的意义
学习难点：能根据实际情况列出正确的二元一次方程组，能正确判断一组解是否是二元一次方程组的解
预习自测
1.若方程ax-3y=2x+6是二元一次方程，则a必须满足（ ）
A．a≠2 B．a≠-2 C．a=2 D．a=0
2.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x-2y=4z B．6xy+9=0 C．4x=y-1 D．
3.养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进20头大牛和35头小牛，这时1天约用饲料1250kg．求每头大牛和小牛1天各约用饲料多少千克？设每头大牛和小牛1天各约用饲料xkg和ykg，则可列二元一次方程组为（　　）
A.
B.
C.
D.
教学过程
一、问题提出、导入新课
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400年前后，传本共有上、中、下三
卷 . 下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一
个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？
（1） 找出上述趣题中的等量关系；
（2） 适当设未知数，列出一元一次方程.
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程、二元一次方程组
教材第117页
思考：前面我们已经知道本章3. 1节的“鸡兔同笼”趣题中存在两个等量关系，并运用一元一次方程知识予以解决.若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？列出的方程还是一元一次方程吗？
该“鸡兔同笼”趣题中存在的等量关系：
设兔有x只，鸡有y只，则根据上述两个等量关系可列出以下两个方程：
想一想：列出的方程还是一元一次方程吗？他们有什么区别呢？
探究二：二元一次方程组的解
教材第118页
做一做：对于二元一次方程组
（1）把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
x …
y …
（2）上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
练一练：小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
（1）设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组.
（2）是列出的二元一次方程组的一个解吗？
三、自主检测
1.若方程mx-2y=3x+4是关于、的二元一次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m≠-3 D．m≠2
2.方程3x－y＝1写成用含x的代数式表示y的形式为__________________
3.写出二元一次方程2x+3y=20的所有的正整数解是___________________
4.一根长80厘米的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米．
（1）正常情况下，当挂着千克的物体时，弹簧的长度是多少厘米？
（2）正常情况下，当挂物体的质量为6千克时，弹簧的长度是多少厘米？
（3）正常情况下，当弹簧的长度是120厘米时，所挂物体的质量是多少千克？
（4）如果弹簧的长度超过了150厘米时，弹簧就失去弹性，问此弹簧能否挂质量为40千克的物体？为什么？
5.你知道数学中的整体思想吗 解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体加减，能使问题迅速获解.
例题：已知x2+xy=4，xy+y2=-1.求代数式x2-y2的值.
解：将两式相减，得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1)，即x2-y2=5；请用整体思想解答下列问题：
（1）在例题的基础上求(x+y)2的值；
（2）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值.
知识点总结
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程.
2.二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组.
3.二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值.
(注意：一个二元一次方程一般有无数组解.)
4.方程组的一个解：对于未知数为 x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数，代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ，）叫作这个方程组的一个解.习惯上记作
5.解方程组：求方程组的解的过程.
答案
预习自测
1.【答案】A
【解析】方程ax-3y=2x+6是二元一次方程，移向得ax-3y-2x-6=0，合并同类项目得（a-2）x-3y-6=0，由二元一次方程定义可知x系数不能为0，即a-2≠0，即a≠2，故选A
2.【答案】C
【解析】A、3x-2y=4z是三元一次方程，故本选项错误；B、6xy+9=0是二元二次方程，故本选项错误；C、x在分母上，不是二元一次方程，故本选项错误；D、4x=y是二元一次方程，故本选项正确.故选D.
3.【答案】C
【解析】【解析】
① 设每头大牛每天用饲料x kg，每头小牛每天用饲料ykg。根据题意，原有30头大牛和15头小牛，每天的饲料消耗为675 kg，可以列出第一个方程:30x+15y=675
② 一周后，养牛场购进了20头大牛和35头小牛，此时大牛总数为30 -20 = 50头，小牛总数为15+ 35 = 50头。此时每天的饲料消耗为1250 kg,可以列出第二个方程:50x+50y=1250
③ 整理第二个方程，可以将其简化为:x+y=25
④ 结合第一个方程30x+15y=675，我们可以通过代入法或消元法解这个方程组，最终求出x和y的值。
自主检测
1.【答案】B
【解析】方程mx-2y=3x+4是二元一次方程，移向得mx-2y-3x-4=0，合并同类项目得（m-3）x-2y-4=0，由二元一次方程定义可知x系数不能为0，即m-3≠0，即m≠3，故选B
2.【答案】y＝3x－1
【解析】移项即可得到答案
3.【答案】，，
【解析】非负整数解，即x,y的值都为非负整数;因此从y=0开始查找，将y=0代入方程，解方程，得x=10;依次将y=1，y=2,……···，y=6分别代入;当y=7时x=停止查找，将符合条件的整数解列出即可
4.【答案】（1）弹簧的长度是（80+2x）厘米；（2）92厘米；（3）20千克．（4）此弹簧不能挂质量为40千克的物体．
【解析】（1）由题意得：y=80+2x（2）∵y=80+2x∴当x=6时，y=80+2×6=92（3）∵y=80+2x，∴当y=120时，120=80+2x ∴x=20（4）∵y=80+2x ∴当x=40时，y=80+2×40=160（厘米）＞150（厘米） ∴此弹簧不能挂质量为40千克的物体．
5.【答案】（1）3 （2）3
【解析】（1）∵x2+xy=4，xy+y2=-1 ∴x2+xy+xy+y2=4-1 ∴(x+y)2=3
（2） ①-②得：4x-x+y+2y=10k-4k ∴3x+3y=6k ∴x+y=2k ∵x+y=6 ∴2k=6 ∴k=3
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