湘教版（2024）七上3.4.1一元一次方程的应用学案

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3.4.1 一元一次方程的应用
学习目标与重难点
学习目标：
1. 掌握用一元一次方程解决简单实际问题的基本步骤，能用一元一次方程解决简单的实际问题。
2. 经历用一元一次方程解决简单实际问题，发展学生逻辑思维和解决问题的能力
3. 感受数学建模的过程，体会数学在实际生活中的应用，发展用数学解决实际问题的意识
学习重点：掌握用一元一次方程解决简单实际问题的基本步骤
学习难点：找出等量关系，列出正确的方程，能用一元一次方程解决简单的实际问题
预习自测
一、单选题
1．李华和赵亮从相距30千米的A、B两地同时出发，李华每小时走4千米，3小时后两个人相遇，设赵亮的速度为千米/时，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．甲，乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．甲在乙前面100米处，两人同时向前面跑，则甲第一次追上乙时，两人一共跑了 米．
3．产品配套问题的基本思路：通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找 关系，建立方程．解决配套问题的思路：
①利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
②利用配套问题中的套数 作为列方程的依据．
4．列一元一次方程的步骤：
①设：恰当的设出 ，用字母x表示问题中的未知量；
②找：寻找实际问题中的 （关键）；
③列：利用实际问题中的相等关系列 ．
教学过程
一、问题提出、导入新课
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需 4 h，逆水航行时需5 h。已知水流速度为2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？
本题的等量关系是：
二、合作交流、新知探究
探究一：一元一次方程的应用
教材第111页
想一想：顺水航行与逆水航行对轮船的速度有影响吗？是如何影响轮船的航行速度的呢？
尝试解这个问题：
练一练：例1：某房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60条，有几张椅子和几条凳子？
本题的等量关系是：
尝试解这个问题：
例2：刺绣是我国民间传统手工艺之一。我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类。若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成。现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣。
试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
本题的等量关系：
完成下表：
工作效率 工作时间 工作总量
甲
乙
尝试解这个问题：
做一做：结合上述 3个实例，用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤，并与同学交流。
三、自主检测
一、单选题
1．某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（ ）
A．200套 B．201套 C．202套 D．203套
2．某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．小华从A地步行到B地，然后从B地骑自行车返回A地，共用了2小时．已知小华骑自行车的速度为，步行的速度为，则A、B两地之间的距离为 ．
三、解答题
4．问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．
分析：
已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变
未知量：大桥的长度、动车速度
等量关系：速度=路程÷时间
难点：根据线段图形分析图得出：
小明上桥到离桥时间=桥长的的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长

合作探究：
请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________．
5．甲乙两个小朋友分别从A、B地相向而行，甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍．
(1)求乙的速度为每分钟多少米？
(2)若甲乙同时出发，当甲所走路程比乙多90米时，两人相距50米，求A、B两地间的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
知识点总结
用一元一次方程解决实际问题的基本步骤：
分析实际题目找出等量关系
设出未知数列出方程
解一元一次方程
检验解的合理性
预习自测参考答案：
1．A
【分析】根据李华和赵亮所走的路程之和等于30千米列出方程即可得．
【详解】解：由题意，所列方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
2．1500
【分析】设甲第一次追上乙用x分钟，则此时两人一共跑了米，根据题意可得，求解即可得到x的值，代入计算即可．
【详解】解：设甲第一次追上乙用x分钟，则此时两人一共跑了米，
由题意得：，
解得：，
∴，
即甲第一次追上乙时，两人一共跑了1500米，
故答案为：1500．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用——追及问题，找到等量关系列方程是解题的关键．
3． 相等 不变
4． 未知数 相等关系 一元一次方程
自主检测参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键．
设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可．
【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，
根据题意得：，解得：（人），
所以每天最多生产的配套零件的套数为：套．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，若分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的人数为人，根据由一个螺栓套两个螺母为等量关系列出关于x的一元一次方程即可．
【详解】解：若分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的人数为人，
根据题意有：，
故选：A．
3．
【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小华从地步行到地所用的时间及从地骑自行车返回地所用的时间是解题的关键．设、两地之间的距离为，则小华从地步行到地用小时，从地骑自行车返回地用小时，于是列方程得，解方程求出的值即可．
【详解】解：设A、B两地之间的距离为，根据题意得，
解得，
故A、B两地之间的距离为．
故答案为：
4．；；
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键在于找到等量关系列出方程．
根据速度=路程时间表示出动车的平均速度，再根据平均速度不变即可列出方程；
【详解】解：设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程x米，
∴动车的平均速度可表示为米/秒．
∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，
∴动车的平均速度还可以表示为．
∵火车的平均速度不变，
∴可列方程：．
故答案为：；；．
5．(1)54分钟/米
(2)A、B两地间的距离为米或米
【分析】本题考查了一元一次方程的行程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍，进行列式计算，即可作答．
（2）甲乙同时出发，且出发分，列式，算出，再进行分类讨论，即甲乙未相遇时或者甲乙相遇后，分别列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵甲的速度为每分钟72米，乙的速度是甲的0.875倍
∴（分钟/米）
（2）解：设甲乙同时出发，且出发分钟时，则甲所走路程比乙多90米时，两人相距50米
∴
∴
∴当甲乙未相遇时，则（米）
∴当甲乙相遇后，则（米）
∴A、B两地间的距离为米或米
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