湘教版（2024）七上3.5认识二元一次方程组学案

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3.5 认识二元一次方程组
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握二元一次方程、二元一次方程组的基本概念，理解二元一次方程组解的意义。能根据实际情况列出正确的二元一次方程组，能正确判断一组解是否是二元一次方程组的解。
2.学会用类比的方法迁移知识，感受数学知识间的系统性和连贯性。
3.经历观察、对比等过程，培养学生归纳概括的能力，体会实际生活中数学的价值。
学习重点：掌握二元一次方程、二元一次方程组的基本概念，理解二元一次方程组解的意义
学习难点：能根据实际情况列出正确的二元一次方程组，能正确判断一组解是否是二元一次方程组的解
预习自测
一、单选题
1．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．一元二次方程的解：满足方程的 的值叫做一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做 ．
教学过程
一、问题提出、导入新课
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400年前后，传本共有上、中、下三
卷 . 下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一
个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？
（1） 找出上述趣题中的等量关系；
（2） 适当设未知数，列出一元一次方程.
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程、二元一次方程组
教材第117页
思考：前面我们已经知道本章3. 1节的“鸡兔同笼”趣题中存在两个等量关系，并运用一元一次方程知识予以解决.若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？列出的方程还是一元一次方程吗？
该“鸡兔同笼”趣题中存在的等量关系：
设兔有x只，鸡有y只，则根据上述两个等量关系可列出以下两个方程：
想一想：列出的方程还是一元一次方程吗？他们有什么区别呢？
探究二：二元一次方程组的解
教材第118页
做一做：对于二元一次方程组
（1）把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表：
x …
y …
（2）上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出.
练一练：小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花1元.
（1）设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组.
（2）是列出的二元一次方程组的一个解吗？
三、自主检测
一、单选题
1．一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
4．已知是二元一次方程，则 ；
三、解答题
5．小明用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯．如果20元钱刚好用完，有几种购买方式？每种方式能买可乐和奶茶各多少杯？
知识点总结
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程.
2.二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组.
3.二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值.
(注意：一个二元一次方程一般有无数组解.)
4.方程组的一个解：对于未知数为 x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数，代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ，）叫作这个方程组的一个解.习惯上记作
5.解方程组：求方程组的解的过程.
预习自测参考答案：
1．D
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把各项中与的值代入方程检验即可．
【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；
B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；
C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；
D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟记“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”是解题关键．
【详解】解：A、不是二元一次方程，不符合题意；
B、中，所含未知数的项的次数最高为2，不是二元一次方程，不符合题意；
C、，是二元一次方程，符合题意；
D、中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
故选：C．
3．未知数
4．二元一次方程组
自主检测参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，设需租座的小船条，则需租座的小船条，利用一元一次方程求出人数，再设租座的小船条，座的小船条，可得二元一次方程，根据解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设需租座的小船条，则需租座的小船条，
依题意得，，
解得，
∴人数，
设租座的小船条，座的小船条，
依题意得，，
∴，
∵均为非负整数，
∴当时，
当时，；
当时，；
当时，；
∴共有种租船方案，
故选：．
2．C
【分析】本题考查二元一次方程的解及解一元一次方程，根据题意，将代入方程得到，解方程即可得到答案，熟记二元一次方程解的定义及解一元一次方程方法步骤是解决问题的关键．
【详解】解：若是关于的二元一次方程的一组解，
，解得，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案．
【详解】解：将代入二元一次方程组可得：，
解得：，
，
故选：D．
4．
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
5．有4种购买方式：方式1：买10杯可乐；方式2：买7杯可乐，2杯奶茶；方式3：买4杯可乐，4杯奶茶;方式4：买1杯可乐，6杯奶茶．
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，设购买可乐x杯，奶茶y杯，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出各购买方案；
【详解】解：设买可乐和奶茶分别为x杯、y杯．
根据题意，得，
所以.
要使x为非负整数，y的取值必是偶数，且，
所以；
把y的值分别代入，得
，，，
故有4种购买方式：
方式1：买10杯可乐；
方式2：买7杯可乐，2杯奶茶；
方式3：买4杯可乐，4杯奶茶；
方式4：买1杯可乐，6杯奶茶．
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