湘教版（2024）七上3.1等量关系和方程学案

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3.1 等量关系和方程
学习目标与重难点
学习目标：
1. 理解方程、一元一次方程及方程的解的概念
2. 会根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程
3. 感受数学建模的过程，体会一元一次方程模型在生活中的应用，通过观察、思考等过程，培养学生归纳总结的能力
学习重点：理解方程、一元一次方程及方程的解的概念，能根据等量关系构建方程
学习难点：根据实际问题建立正确的方程模型
预习自测
一、单选题
1．下列四个式子中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．在方程①；②；③；④中，为一元一次方程的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
4．①含有未知数的 叫做方程．
②在一个方程中只含 未知数且未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程．
③使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解．
教学过程
一、创设情境、导入新课
（1）为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分。问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相等式？
（2）如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8m 。其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？二、合作交流、新知探究
探究一：引入方程、一元一次方程的概念
教材第96页
（1）中蕴含的等量关系是： 。
（2）中蕴含的等量关系是： 。
想一想：（1）中还有其他等量关系吗？（学生思考）
前面我们已经学习了用字母表示数，是否可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法。
对于（1），设该队胜了x场，则该队输了（14 - x ）场，可得： 。
对于（2），若设包装盒底面的宽是 y m ，则根据题意可得： 。
思考：我们刚刚列出的等式有什么特点？（学生思考，教师总结）
想一想：是一元一次方程吗？（学生思考，教师点播）
探究二：建立一元一次方程模型
教材第97页：
做一做：《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷，下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的"鸡兔同笼"问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
（1）找出上述趣题中的等量关系；
（2）适当设未知数，列出一元一次方程。
探究三：方程的解
教材第97页
把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值。
议一议：如何找到一个数，使方程左、右两边多项式的值相等？
想一想：x是否有取值范围，为什么？
完成表格：
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94相比较
第1次估算 10 90 小了
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
做一做：分别检验 x 的下列值是否是方程的解。
（1） ; （2） 。
自主检测
一、单选题
1．已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
2．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ．
4．若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ．
三、解答题
5．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解
(1)；
(2)．
知识点总结
1. 方程：含有未知数的等式叫做方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程。
3.一元一次方程：只含有一个未知数；未知数的次数是1；等号两边都是整式（分母中不含未知数）
4. 列一元一次方程的一般步骤：
（1）找等量关系
（2）设未知数
（3）列方程
5. 方程的解：能使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
6. 解方程：求方程的解的过程叫解方程。
预习自测参考答案：
1．C
【分析】此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义依次判断即可，正确理解一元一次方程的定义是解题的关键
【详解】解：A.没有等号不是方程，故不符合题意；
B.未知数的最高次数是2次，不符合定义，故不符合题意；
C.方程化简后为，符合定义，故符合题意；
D.不是整式方程，不符合定义，故不符合题意；
故选：C
2．D
【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键．
【详解】、，不是方程，不符合题意；
、是代数式，不是方程，不符合题意；
、是不等式，不符合题意；
、是方程，符合题意；
故选：．
3．D
【分析】只含有一个未知数(元)并且未知数的指数是1 (次)的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0 (a， b是常数且a≠0)，根据此定义判断即可．
【详解】①；是一元一次方程，故①正确；
②；不是一元一次方程，故②错误；
③；不是一元一次方程，故③错误；
④不是一元一次方程，故④错误；
为一元一次方程的有1个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的识别，注意三个要点：只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
4． 等式 一个 1 相等
自主检测参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意；
（2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意；
（3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意；
（4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意；
（5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意；
（6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3个．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3．
【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，，
故答案为：
4．或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解：关于的方程是一元一次方程，
可考虑三种情况，
①当且时，
即且，
则，解得：，
此时，故排除；
②当且时，
即且，
，符合条件；
③当即时，
，符合条件；
综上：的值为或，
故答案为：或．
5．(1)是
(2)否
【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是；
（2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是．
【详解】（1）解：当时，
左边，
右边，
左边右边，
∴是该方程的解．
（2）解：当时，
左边，
右边，
左边右边，
∴不是方程的解．
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