湘教版（2024）七上3.2.1等式的基本性质学案

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3.2.1 等式的基本性质
学习目标与重难点
学习目标：
1. 理解等式的基本性质概念，能用等式的基本性质解决简单的实际问题
2. 能够熟练运用等式的基本性质进行简单的数学推理和计算
3. 引导学生通过观察、比较、归纳等思维活动，自主发现等式的基本性质，培养学生的发现问题和解决问题的能力，发展学生的数学思维能力。
学习重点：理解等式的基本性质概念，能运用等式的基本性质进行简单的数学推理和计算
学习难点：抽象归纳出等式的基本性质
预习自测
一、单选题
1．等式的基本性质是解方程的基础，很多方程的解法都运用到等式的基本性质，下列根据等式的基本性质变形错误的是（ ）
A．由，得到 B．由，得到
C．由，得到 D．由，得到
2．把方程变形为的依据是（ ）
A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质
二、填空题
3．根据等式的性质填空：若，则 ．
4．已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号）
教学过程
一、复习引入、回顾旧知
在小学时，我们已经学习过了两个等式的基本性质，你还记得吗？
等式的基本性质Ⅰ：
等式的基本性质Ⅱ：
二、问题提出、导入新课
如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等,图(1)(2)所示的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置几个球呢 亲爱的同学们,你知道答案吗 下面就让我们一起来学习吧!
三、合作交流、新知探究
探究一：等式的基本性质1
教材第100页
（1）中设数 a 是方程的解，则。
根据小学所学的等式的基本性质 ，两边都 ，得 。
因此， 是方程的 。
又是方程 的唯一解，
因此，方程与的解 。
想一想：由到 有什么变化？
由此受到启发，是否可以总结出对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质1:
探究二：等式的基本性质2
教材第101页：
（2）设数 b是方程的解，则。
根据小学所学的等式的基本性质 ，两边都 ，得
因此， 是方程的 。
又因为15是方程 的唯一解，
因此，方程与方程 的解 。
想一想：由到 有什么变化？
由此受到启发，是否可以总结出对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质2:
探究三：等式基本性质的简单应用
教材第101页
练一练：
例1：（1）如果,那么 ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果,那么 ；
例2：判断下列等式变形是否正确，并说明理由。
（1）如果，那么
（2）如果，那么
自主检测
一、单选题
1．运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知等式，下列变形不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3．如果，那么 ，其依据是 ．
4．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）．
三、解答题
5．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
知识点总结
1.等式的基本性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等。
2.等式的基本性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等。
注意：（1）等式的性质1是加法或减法运算,等式的性质2是乘法或除法运算。
（2）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。
（3）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
（4）等式两边都不能除以0，即0不能作除数或分母。
预习自测参考答案：
1．C
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立．根据等式的性质求解即可．
【详解】解：A、两边都加2，得到，故A正确，不符合题意；
B、两边都减3，得到，故B正确，不符合题意；
C、当，由，不一定能得出 ，也可能，故C错误，符合题意；
D、两边都乘，得，故D正确，不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查等式的基本性质，等式基本性质1：等式两边同时加上/减去同一个数，等式不变；等式基本性质2：等式两边同时乘以/除以（不为0的数）同一个数，等式不变，结合题意，将方程变形为需要等式两边同时乘以3，从而得到答案，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为，
的依据是把方程变形为的依据是等式的基本性质2，
故选：C．
3．
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
4． ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤
【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可．
【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程，
①是等式；
②是多项式，既不是等式也不是方程；
③既是等式也是方程；
④既是等式也是方程；
⑤既是等式也是方程，
故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤．
【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
自主检测参考答案：
1．B
【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意；
B、若，则，原变形正确，符合题意；
C、若，则，原变形错误，不符合题意；
D、若，则，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
3． 等式的基本性质1
【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可．
【详解】解：
故答案为：，等式的基本性质1
4．①④⑤
【详解】①若，则，变形正确；②若，则，原变形不正确；③若，则，原变形不正确；④若，则，变形正确；⑤若，则，变形正确．
5．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键
（1）等式两边同时除以即可得到答案；
（2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案；
（3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案；
（4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案．
【详解】（1）解：等式两边同时除以得，；
（2）解：等式两边同时减去得，，
等式两边同时减去得，，
等式两边同时除以得，；
（3）解：等式两边同时加上得，，
等式两边同时加上得，，
等式两边同时除以得，；
（4）解：等式两边同时减去得，，
等式两边同时减去得，，
等式两边同时除以得，．
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