椭圆及其标准方程教学课件-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)

(共54张PPT)
人教版2019高一数学（选修一） 第三章　圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂小结
随堂检测
错因分析
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
学习目标
哈雷彗星(周期彗星表编号:1P/Halley)是每76.1年环绕太阳一周的周期彗星,肉眼可以看到.因英国物理学家爱德蒙·哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.哈雷彗星的轨道周期为76~79年,下次过近日点时间为2061年7月28日.
天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢
原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间.
情景导入
探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：
移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即
由此可得椭圆的定义.
新知探究
1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距.
思考1 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？
① 在平面内----(这是前提条件)；
② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数；
动点M的轨迹是线段F1F2 ；
动点M没有轨迹 .
F1
F2
M


③
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程.
概念归纳
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.
F1
F2
M


x
y
O
如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则
(x,y)
由定义知：
化简整理得
由椭圆定义知：
为了使方程形式更简单：
①
我们把方程①叫做椭圆的标准方程.
思考2 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？
由图可知，
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为
其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.
F1
F2
P


x
y
O
c
a
b
2. 椭圆的标准方程
新知探究
思考3 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
定义 焦点位置
图形
方程
特点 共同点 不同点
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
概念归纳
1. 不同方法求椭圆的标准方程
课本例题
解1: (定义法)
你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．
1.根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
(3)经过点A( ,-2)和点B(-2 ,1).
思路分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
练一练
椭圆方程的求法
(1)利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:
①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.
(2)焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.
归纳总结
设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
由点M是线段PD的中点，得
x
y
P
M
O

D

寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.
利用信息技术, 可以更方便地探究点M的轨迹的形状.
解1：(相关点代入法)
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD,
D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？
为什么？
2. 不同方法求轨迹方程
课本例题
x
y
P
M
O

D

解2：(参数法)
∵ P 在圆 x2 + y2 = 4 上，
∴ 可设P(2cosθ, 2sinθ),
消去参数θ，得
∴点M的轨迹是一个椭圆 .
设 点M的坐标为(x, y),
由题意有
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD,
D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？
思考 由例2我们发现，可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过
“拉伸” 得到椭圆吗 如何 “拉伸” 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗
x
y
P
M
O

D

x
y
P
M
O

D

例3
x
y
B
M
O
A

解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　
归纳总结
2.一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
思路分析两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
练一练
1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.
2.一般步骤:
(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);
(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;
(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.
归纳总结
典例剖析
题型一:根据椭圆方程求参数的取值范围
例(1)若方程 表示椭圆,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25) D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　 .
归纳总结
根据椭圆方程求参数的取值范围
题型二：椭圆中的焦点三角形问题
典例剖析
思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.
即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,
∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
归纳总结
1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不
在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ.
(3)焦点三角形的面积(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
题型三：求与椭圆有关的轨迹问题
典例剖析
例.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上
的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为 (y≠0).
归纳总结
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.
14
课本练习
y
O
F1
F2
x
A
B
(1)由题意
故△AF1B的周长为：
(2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.
仍然成立.
解：


∴△AF1B的周长为：
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M,
且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
分层练习-基础
D
C
B
4．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为__________．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
课堂小结
1．对椭圆定义的三点说明
(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．
2．椭圆定义的两个应用
(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．
(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.
3．椭圆标准方程的特点
(1)方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是“1”，x2，y2的系数均为正且不相等．有时可简记作：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．
(2)焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.
课堂小结