2023-2024学年广东省中山市中山一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省中山一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为( )
A. B. C. 或 D.
3.直线：与直线：的位置关系是( )
A. 垂直 B. 相交且不垂直 C. 平行 D. 平行或重合
4.若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.在长方体中，，，，是的中点，则直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中，，其前三项的和，则数列的公比等于( )
A. B. C. 或 D. 或
7.若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，则下列说法正确的是( )
A. 点，关于平面对称 B. 点，关于轴对称
C. ，，三点构成直角三角形 D. ，，三点构成钝角三角形
10.已知直线：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的圆心坐标为
C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若，直线被圆截得的弦长为
11.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数互素是指两个整数的公约数只有，例如，，，下列说法正确的是( )
A.
B. 数列为递增数列
C. 数列为等比数列
D. 数列的前项和为，则
12.在正三棱柱中，已知，空间点满足，则( )
A. 当时，为正方形对角线交点
B. 当时，在平面内
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当，且时，有且仅有一个点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，其中，，若，则的值为______．
14.数列的通项公式为，，其前项和为，则的最大值为______．
15.已知点，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．
16.设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是，，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆经过点和且圆心在直线上．
求圆的方程；
若点为圆上的任意一点，求点到直线：距离的最大值和最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，已知侧棱平面，设点为棱的中点．
证明：平面；
若，求点到平面的距离．
19.本小题分
已知数列的前项和，且，，其中．
证明：数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
20.本小题分
马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了根绳子、、、供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到、、中的某一根绳子上．
当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，若动点到点的距离比它到轴的距离大的轨迹为曲线设直线过点且与曲线交于，两点，且，，．
求曲线的方程；
若点是直线上任意一点，设直线，，其斜率都存在的倾斜角依次为，，，求证：．
22.本小题分
对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中，．
已知数列的通项公式为，数列的前项和为．
求；
记数列的前项和为，数列的前项和为，且，求实数的值．
北宋数学家沈括对于上底有个，下底有个，共有层的堆积物堆积方式如图，提出可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”试证明上述求和公式．
参考答案
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17.解：设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为，
由已知可得，，解得，
所以圆的标准方程为；
由知，圆心为，半径，
圆心到直线：的距离，
所以直线与圆相离，
所以点到直线：距离的最大值为，最小值为．
18.解：证明：取中点连接，，又点为棱的中点，
，且，又易知，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
根据题意，以，，所在直线为轴，建系如图，
则根据题意可得，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
点到平面的距离为．
19.证明：对于，，当时，，，
当时，由得，两式相减得，由于，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
解：当为奇数时，，，，
所以．
当为偶数时，；
所以．
所以．
20.解：证明：因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，则，
同理可证，
又，，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直．
如图，以为原点，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
设直线和平面所成的角为，
则，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处．
21.解：根据已知：动点到点的距离比它到轴的距离大的轨迹为曲线，
那么相当于动点到点的距离与它到的距离相等．
那么根据抛物线的定义可知：的方程为．
证明：根据题意易知直线的斜率存在，设直线斜率为，那么的方程为，
联立直线方程和椭圆方程可得，解得，
所以根的判别式恒成立，
如图，根据第一问可得，，
因此，且，则，
因为点是直线上任意一点，设直线，，其斜率都存在的倾斜角依次为，，，
所以设，那么，
因此
．
又因为，
因此．
22.解：由题意，，
所以，，
即．
由题意知，，
所 ，
即，所以；
证明：设数列的通项公式为，
则由题意知，需证明的公式中，即为数列的前项和，即为数列的第项，且，．
又 ，
且，，
由知 ，
所以，，
所以 ，
又，，
则 ，
所以 成立．
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