2024-2025学年江苏省南京市某中学高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市某中学高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线和直线平行，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
2.过点作圆的切线，切点为，则切线段长为( )
A. B. C. D.
3.设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.设为各项均不为零的等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
7.已知数列的前项和为，且则( )
A. B. C. D.
8.函数在的导数为，且，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：与圆：交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段的垂直平分线所在的直线方程为
B. 直线的方程为
C.
D. 若点是圆上的一点，则面积的最大值为
10.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B. 的单调递增区间为
C. 的极小值为
D. 若关于的方程恰有个不等的实根，则的取值范围为
11.在数列中，若，则下列结论正确的有( )
A. 为等比数列 B. 的前项和
C. 的通项公式为 D. 的最小值为
12.设为抛物线：的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则( )
A. B.
C. 直线的斜率为 D. 的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点且与圆：相切的直线方程为______．
14.数列满足，则数列的第项为______．
15.“当时，函数在区间上单调递增”为真命题的的一个取值是______符合题意的一个值即可
16.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
求圆的方程；
过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆，直线：．
求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点；
直线与椭圆交于，两点，且，求的值．
20.本小题分
已知数列满足，．
记，证明：是等比数列，并求的通项公式；
求数列的前项和．
21.本小题分
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中，，，均在该抛物线上经测量，直路段长为米，抛物线的顶点到直路的距离为米以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
求该段抛物线的方程；
当长为多少米时，等腰梯形草坪的面积最大？
22.本小题分
设函数为非零常数．
若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
讨论函数的单调性．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.答案不唯一，或也可
16.
17.解：，，线段的中点，，
可得线段的垂直平分线的方程：，化为：．
联立，解得圆心．
．
圆的方程为：；
直线的斜率不存在时，直线的方程为：，
则圆心到直线的距离，可得弦长为，满足条件；
直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，
则圆心到直线的距离，
可得弦长，解得．
，解得，可得直线的方程为：．
综上可得直线的方程为：或．
18.解：由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，，
则由题意有，，解得，，
所以和的通项公式分别为；
设数列的前项和为，
由可得，
所以，
，
两式相减得，
所以数列的前项和为．
19.解：将直线的方程代入椭圆方程中，得
，
该一元二次方程根的判别式，
所以直线与椭圆总有两个不同交点．
设，，则有，
因为，
所以
，
所以的值为．
20.解：证明：由，，
可得，
由，可得，
则是首项为，公比为的等比数列．
所以；
由可得，
．
21.解：以路所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，
则，，．
曲线的为抛物线的一段弧，可设抛物线的解析式为．
将点代入得：，即．
抛物线的解析式为；
设等腰梯形的面积为，
则，
，
，令，得或舍去．
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
当时，有最大值为．
答：当为米时，等腰梯形草坪的面积最大，其最大值为平方米．
22.解：函数，求导得：，则有，
而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为．
函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是．
第1页，共1页