2024-2025学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知是单位向量，向量满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边在直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数对任意的，，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.如图，圆柱的母线长为，，分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设函数，其中若，都有则的图象与直线的交点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，满足：，，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是偶函数
C. 若，则
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于
B. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
C. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
D. 若一个样本容量为的样本的平均数为，方差为，现样本中又加入一个新数据，此时样本容量为，平均数不变，方差变小
10.已知函数，则( )
A. 的值域为
B. 图象的对称中心为
C. 当时，在区间内单调递减
D. 当时，有两个极值点
11.我国古代太极图是一种优美的对称图定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是( )
A. 函数是圆：的一个太极函数
B. 对于圆：的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆：的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数是圆：的太极函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线与抛物线相切，则 ______．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上一点，，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______．
14.设函数，若是从，，，四个数中任取一个，是从，，，，，六个数中任取一个，则恒成立的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若的面积为，且，求的最小值．
16.本小题分
已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点，分别为双曲线的左、右焦点．
求的方程；
过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
17.本小题分
如图，侧面水平放置的正三棱台，，侧棱长为，为棱上的动点．
求证：平面；
是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
若无穷正项数列同时满足下列两个性质：
存在，使得，；
为单调数列，则称数列具有性质．
若，，
(ⅰ)判断数列，是否具有性质，并说明理由；
(ⅱ)记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
已知离散型随机变量服从二项分布，，记为奇数的概率为证明：数列具有性质．
19.本小题分
已知函数，且．
令，是的导函数，判断的单调性；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由，
根据正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，结合，可知．
根据题意，的面积，
即，可得，所以．
因为，所以，
两边平方得，
因为，当且仅当时取等号．
所以的最小值为，可知的最小值为．
16.解：根据题意可得，解得，，
所以双曲线的方程为；
根据题意，直线，的斜率都存在且不为，
设直线，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，所以，
联立，得，
设，，
则，
所以
，
同理，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立．
故四边形面积的最小值为．
17.证明：延长三条侧棱交于一点，如图所示，
因为正三棱台的侧棱长为，所以，
而，
所以，即，
同理，，
又，，平面，
所以平面，即平面．
解：由知，，，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设，，
则，
设平面的法向量分别为，则
取，则，所以，
设平面的法向量分别为，则，
取，则，，所以，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，，
整理得，即，解得或舍，
故当点为中点时，使得平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：不具有性质．
理由如下：
因为单调递增，但无上限，即不存在，使得恒成立，
所以数列不具有性质，
因为，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质，
数列具有性质，
理由如下：
，
，
得，
即，
所以，所以数列满足条件，
因为，所以，所以为单调递增数列，满足条件，
综上，数列具有性质．
证明：因为，，，，，
若为奇数的概率为，为偶数的概率为，
由题意离散型随机变量服从二项分布，
所以
，
，
两式相减，即，
所以当时，，故随着的增大而增大，且，
故数列具有性质．
19.解：因为，定义域为，
所以，
可得，
所以在和上单调递增；
若对任意的恒成立，
此时，
即，
解得或，
所以，
令，函数定义域为，
可得，
令，函数定义域为，
可得，
所以在单调递增，
即在单调递增，
又，
所以当时，，单调递减；
当时，，递单调增，
所以，
则，
要证，
需证，
即证，
令，
因为，
若，
则，
所以．
若，对称轴，
所以在递增，
则．
综上所述，的取值范围为．
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