2023-2024学年河南省周口市西华第三高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省周口市西华第三高级中学高三（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中各项系数和为，则展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
4.不论为任何实数，直线恒过定点，若直线此定点，其中，是正实数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.九章算术卷五商功中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，则“方亭”的上、下底面边长之比为( )
A. B. C. D.
6.若，为锐角，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上，，圆：，直线与圆相交于，两点，直线与圆相交于，两点，若四边形的面积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲种杂交水稻近五年的产量单位：数据为：，，，，，乙种杂交水稻近五年的产量单位：数据为：，，，，，则( )
A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D. 甲种的样本百分位数小于乙种的样本百分位数
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11.已知函数的定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的有( )
A. 函数的极大值点有个
B. 函数在上是减函数
C. 若，的最大值是，则的最大值为
D. 当时，函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在抛物线：上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点若，点的横坐标为，则 ______．
13.设，，分别为的内角，，的对边，已知，则的值为______．
14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍寻找“完全数”用到函数：，为的所有正因数之和，如，则 ______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角．
若，求的大小；
求的最小值．
16.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，，．
求；
在数列的每相邻两项，之间依次插入，，，，得到数列：，，，，，，，，，，，求的前项和．
17.本小题分
某市家级旅游景区，在年元旦节日期间，接待人数和门票收入大幅增长该市某旅行社随机调查了市区位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性
女性
总计
利用以上数据，判断能否依据小概率值的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？
将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取人进行访谈，记这人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，．
求证：平面平面；
若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ设，讨论函数在上的单调性；
Ⅲ证明：对任意的，，有．
参考答案
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15.解：由余弦定理可得，可得，
再由正弦定理可得，，
所以，
在三角形中，可得，而，
可得；
由可得，
在三角形中，可得或，
即，即，可得，与角不是直角矛盾，
或，可得，
所以，当且仅当时取等号，即时取等号，
所以的最小值为．
16.解：因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合上式，
所以，．
方法因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：，，，，，，，，，，，
设，则，
因为，所以．
所以的前项是由个与个组成．
所以．
方法设，则，
因为，所以．
根据数列的定义，知
．
17.解：零假设：喜欢旅游与性别无关，
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜欢旅游与性别有关；
任取一人喜欢旅游的概率，
由题意可知：，的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：证明：，，，
，，，平面，
平面，
平面，平面平面；
取的中点连接、，
由知平面，
平面，，
如图，过点作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，、平面，平面，
，为的中点，
，又，，
平面，为直线与平面所成角，
由知，又，，
，，，
则，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：Ⅰ对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为，故，化简得：；
Ⅱ由Ⅰ有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在上单调递增，又因为，
故在上恒成立，故，
故在上单调递增；
Ⅲ证明：由Ⅱ有在上单调递增，又，
故在恒成立，故在上单调递增，
设，，
由Ⅱ有在单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
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