(共25张PPT)
目录
考点梳理
考点1 解一次方程（组）
考点2 一次方程（组）的实际应用
考点精研
命题点1 解一次方程（组）
命题点2 一次方程（组）的实际应用
第1节 一次方程（组）
考点梳理
1
解一次方程（组）
1. 等式的基本性质
基本性质1：若a＝b，则a±c＝b ；
基本性质2：若a＝b，则ac＝ ， ＝ （c≠0）.
±c
bc
提醒
（1）用等式的基本性质进行等式变形时，“两边都”（加减或乘除），不
能漏项；
（2）等式两边都乘或除以一个数或式子时，必须保证它的值不为0.
2. 一次方程（组）
未知数（元） 的个数 次数 整式方程
的个数
一元一 次方程 1 未知数的次数都
是 1
二元一 次方程 含有未知数的项的次
数都是1 1
二元一次 方程组 2 含有未知数的项的次
数都是 2
1
2
1
3. 一次方程（组）的解法
（1）方程的解析：使方程两边相等的未知数的值（一元方程的解也叫做
根）.
（2）一元一次方程的解法：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项；⑤系数化为1.
（3）二元一次方程组的解法
①代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表
示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为
方程.
②加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后 （或相减）消
去其中一个未知数，化二元一次方程组为 方程.
一元
一次
相加
一元一次
提醒
（1）去分母时，不要漏乘不含分母的项；
（2）原分子是多项式的，去分母后要加括号；
（3）去括号时，不要漏乘；
（4）移项要变号.
1. 下列运用等式的基本性质进行的变形，正确的是（ D ）
A. 如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B. 如果a2＝3a，那么a＝3
C. 如果a＝b，那么 ＝
D. 如果 ＝ ，那么a＝b
D
2. 若（k＋1）x＋8y｜k｜＋3＝0是关于x，y的二元一次方程，则k
＝ .
1
3. 关于x，y的二元一次方程2x＋5y＝17的非负整数解是
.
和
4. 解方程： ＝2－ .
解析：去分母，得5（x－1）＝2×10－2（x＋2），
去括号，得5x－5＝20－2x－4，
移项，得5x＋2x＝20－4＋5，
合并同类项，得7x＝21，
系数化为1，得x＝3.
5. 解方程组：
解析：原方程组整理，得
①×4＋②×3，得25x＝50.
解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝ .
所以原方程组的解是
一次方程（组）的实际应用
1. 列方程（组）解应用题的一般步骤
审 弄清题意，分清题目中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系
设 直接或间接设未知数
列 根据题意寻找等量关系列方程（组）
解 解这个方程（组），求出未知数的值
验 检验方程（组）的解是否符合题意，不符合题意的要舍去
答 写出答案（包括单位名称）
2. 一次方程（组）常考问题及其数量关系
（1）行程问题
相遇问题（相向而行） 两车路程和等于
追及问题（同向而行） 快车路程－慢车路程＝原距离
航行 问题 顺流 顺流速度＝船的速度 水流速度
逆流 逆流速度＝船的速度 水流速度
环形跑 道问题 相向而行 两者路程和＝
远距离
＋
－
跑道长
环形跑 道问题 同向而行 快者路程 慢者路程＝跑道长
火车过 桥问题 通过桥 走过的路程＝桥长 火车长
完全在桥上 走过的路程＝桥长 火车长
－
＋
－
（2）工程问题：工作量＝工作效率× ，通常将工作总量看成
单位 .
（3）利润问题：利润＝售价－ ，售价＝ ×折扣，利润率
＝ ×100％.
（4）配套问题：若a件甲产品和b件乙产品配成一套，则甲产品数的b倍
等于乙产品数的a倍，即 ＝ .
工作时间
1
成本价
标价
1. 一家商店将某种服装按进价提高60％后标价，又以标价的八折卖出，结
果每件服装仍可获利56元，则这种服装每件的进价是多少元？
解析：设这种服装每件的进价是x元.
根据题意，得（1＋60％）x×0.8－x＝56，
解得x＝200.
答：这种服装每件的进价是200元.
2. 小莉在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小
艇，逆流而上，平均速度为8 km/h，到B地后沿原路返回，平均速度增
加50％.已知小莉由B地回到A码头的时间比去时少用了20 min，求A，
B两地的距离.
解析：设A，B两地的距离为x km，
则 － ＝ ，
解得x＝8.
答：A，B两地的距离为8 km.
考点精研
2
解一次方程（组）
1. （2023南通）若实数x，y，m满足x＋y＋m＝6，3x－y＋m＝4，则
代数式－2xy＋1的值可以是（ D ）
A. 3 B. C. 2 D.
D
1
2
3
4
5
6
7
2. （2024苏州）解方程组：
解析：
①－②，得4y＝4，即y＝1，
将y＝1代入①，解得x＝3，
则方程组的解为
1
2
3
4
5
6
7
一次方程（组）的实际应用
3. （2024南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7 200 kg，2023年平均
每公顷产8 450 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量
的年平均增长率为x，则可列方程（ A ）
A. 7 200（1＋x）2＝8 450
B. 7 200（1＋2x）＝8 450
C. 8 450（1－x）2＝7 200
D. 8 450（1－2x）＝7 200
A
1
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7
4. （2024无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题
（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到
南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相
遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ A ）
A. x＋ x＝1 B. x－ x＝1
C. 9x＋7x＝1 D. 9x－7x＝1
A
1
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7
5. （2024宿迁）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测
之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？这段话的
意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，
井外余绳一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为
（ A ）
A. x－4＝ x－1 B. x＋4＝ x－1
C. x－4＝ x＋1 D. x＋4＝ x＋1
A
1
2
3
4
5
6
7
6. （2024扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是
《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有
趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100 m，速度慢的人每分钟
走60 m，现在速度慢的人先走100 m，速度快的人去追他.问：速度快的人
追上他需要 min.
2.5
1
2
3
4
5
6
7
7. （2024连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意
礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把
绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮
费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 1～99 100以上（含100）
邮寄费用 总价的10％ 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把. 重难点拨
1
2
3
4
5
6
7
解析：如果每次购买都是100把，则两次邮购折扇共花费200×8×0.9＝1 440元
≠1 504元，
∴一次购买多于100把，另一次购买少于100把，
设一次邮购折扇x（x＞100）把，则另一次邮购折扇（200－x）把，
则0.9×8x＋8×（1＋10％）（200－x）＝1 504，
∴x＝160，
∴200－x＝40.
答：两次邮购的折扇分别是160把和40把.
1
2
3
4
5
6
7(共36张PPT)
目录
考点梳理
考点1 不等式的有关概念及性质
考点2 解一元一次不等式（组）及解集表示
考点3 一元一次不等式（组）的实际应用
考点精研
命题点1 不等式的性质
命题点2 解一元一次不等式（组）及解集表示
命题点3 一元一次不等式（组）的实际应用
第4节 一元一次不等式（组）
考点梳理
1
不等式的有关概念及性质
1. 不等式的有关概念
（1）不等式：用不等号表示 关系的式子，叫做不等式.常用的不等
号有“＜”“＞”“≤”“≥”“≠”.
（2）不等式的解析：使不等式 的未知数的值，叫做不等式的解.
（3）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等
式的解的集合，叫做这个不等式的解集.
不等
成立
提醒
不等式的解与不等式的解集是个体与整体的关系，二者不能混淆.
（4）解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式.
2. 不等式的性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方
向不变，即如果a＞b，那么a±c b±c.
（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如
果a＞b，且c＞0，那么ac bc（ ）.
（3）不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如
果a＞b，且c＜0，那么ac bc（ ）.
＞
＞
＞
＜
＜
1. 已知a＞b，下列不等式成立的是（ A ）
A. －2a＜－2b
B. a－2＜b－2
C. a＋2＜b＋2
D. 3a＜3b
A
2. 下列说法中，错误的是（ C ）
A. 不等式x＜2的正整数解只有一个
B. －2是不等式2x－1＜0的一个解
C. 不等式－3x＞9的解集是x＞－3
D. 不等式x＜10的整数解有无数个
C
3. 若（a－2） ＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝ .
－2
4. 当a 时，不等式（a＋2）x＞1的解集是x＜ .
＜－2
解一元一次不等式（组）及解集表示
1. 不等式解集在数轴上的表示
（1）定边界点：一般在数轴上只标出原点和边界点.若解集含等号，则边
界点为 点，若解集不含 ，则边界点为空心圈.
（2）定方向：定方向的原则是“小于向 ，大于向 ”.
实心
等号
左
右
2. 解一元一次不等式的一般步骤
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化
为1.
3. 一元一次不等式组的解集情况（假设a＞b）
类型 在数轴上的表示 口诀 解集
同大取大
同小取小 x≤b
大小小大 中间找
大大小小 解不了 无解
x≥a
b≤x≤a
1. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1）5x－4≤2＋7x；
解析：（1）5x－4≤2＋7x，
5x－7x≤2＋4，
－2x≤6，
x≥－3.
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2） ＞ －1.
解析： ＞ －1，
2（x－1）＞3x－6，
2x－2＞3x－6，
2x－3x＞－6＋2，
－x＞－4，
x＜4.
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
2. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
（1）
解析：由2－3x＜3，解得x＞－ ，
由4－2x＞x－2，解得x＜2，
则不等式组的解集为－ ＜x＜2.
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）3＜ ≤5.
解析：由 ＞3，解得x＞5，
由 ≤5，解得x≤8，
则不等式组的解集为5＜x≤8，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
一元一次不等式（组）的实际应用
1. 列不等式（组）解应用题的一般步骤
2. 在实际问题中，常见的关键词与不等号的对应关系如下表：
常见的关键词 符号
大于，多于，超过，高于
小于，少于，不足，低于
至少，不低于，不小于，不少于
至多，不超过，不高于，不大于
＞
＜
≥
≤
为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐
活动，准备向西部山区学校捐赠篮球和足球两种体育用品.已知篮球的单价
为100元，足球的单价为80元.
（1）原计划募捐5 600元，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球
和足球各买多少个？
解析：（1）设篮球买x个，足球买y个.
根据题意，得
解得
答：篮球买40个，足球买20个.
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6 890
元.若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6 890元，那么篮球最多能买多
少个？
解析：（2）设篮球能买a个，则足球能买（80－a）个，
根据题意，得100a＋80（80－a）≤6 890，解得a≤24.5.
∵a为正整数，
∴a的最大值为24.
答：篮球最多能买24个.
考点精研
2
不等式的性质
1. （2024苏州）若a＞b－1，则下列结论一定正确的是（ D ）
A. a＋1＜b B. a－1＜b
C. a＞b D. a＋1＞b
D
2. 若2x－y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 .
＜x＜1
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解一元一次不等式（组）及解集表示
3. 若关于x的不等式组恰有一个整数解，则实数a的取值范
围是（ B ）
A. 2＜a≤3 B. 2≤a＜3
C. 2≤a≤3 D. 2＜a＜3
B
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4. （2023宿迁）不等式x－2≤1的最大整数解是 .
3
5. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜3，则a的取值
范围是 .
a≥3
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6. （1）（2024连云港）解不等式： ＜x＋1，并把解集在数轴上表
示出来；
解析：（1） ＜x＋1，
x－1＜2（x＋1），
x－1＜2x＋2，
x－2x＜2＋1，
－x＜3，
x＞－3.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
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（2）（2024盐城）求不等式 ≥x－1的正整数解.
解析： ≥x－1，
1＋x≥3x－3，
x－3x≥－3－1，
－2x≥－4，
x≤2，
所以此不等式的正整数解为1，2.
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7. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1）（2023盐城）2x－3＜ ；
解析：（1）去分母，得3（2x－3）＜x－4，
去括号，得6x－9＜x－4，
移项、合并同类项，得5x＜5，
系数化为1，得x＜1，
∴原不等式的解集为x＜1.
将不等式的解集表示在数轴上如下：
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（2） （x－1）＜ －x.
解析：去分母，得x－1＜5－2x，
移项，得x＋2x＜5＋1，
合并同类项，得3x＜6，
系数化为1，得x＜2.
将不等式的解集表示在数轴上如下：
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8. 解不等式组：
（1）（2024常州）
解析：（1）
由①得x＜2，由②得x＞－1，
∴不等式组的解集为－1＜x＜2.
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（2）（2024无锡）
解析：
由①得x≤3，由②得x＞－1，
∴原不等式组的解集为－1＜x≤3.
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（3）（2024镇江）
解析：
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＞1，
所以原不等式组的解集是1＜x≤4.
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9. （2023扬州）解不等式组：并把解集在数轴上表
示出来.
解析：
解不等式①，得x＞－1，
解不等式②，得x≤2，
∴原不等式组的解集为－1＜x≤2.
将该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
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10. （2024扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和.
解析：解不等式2x－6≤0，得x≤3，
解不等式x＜ ，得x＞ ，
则不等式组的解集为 ＜x≤3，
所以不等式组的整数解为1，2，3，
故所求的整数解的和为6.
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一元一次不等式（组）的实际
应用
11. 某商品的成本为2 000元，标价为2 800元，如果商店要以利润不低于5％
的价格销售，那么最低可以打 折出售这个商品.
七五
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12. （2024常州）“绿波”是车辆到达前方各路口时，均遇上
绿灯，提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速80 km/h的路段上，某时刻的
导航界面显示：前方第一个路口显示绿灯倒计时32 s，第二个路口显示红灯
倒计时44 s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m.已知第一个路口
红、绿灯设定时间分别是30 s、50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是
45 s、60 s.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速
“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v
（km/h）的取值范围是 .
54≤v≤72
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13. （2024南通）某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能
机器人进行快递分拣.
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用/万元
1 3 260
3 2 360
信息二
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（1）求A，B两种型号智能机器人的单价；
解析：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
由题意得
解得
则A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
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（2）现该企业准备用不超过700万元购买A，B两种型号智能机器人共10
台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
解析：（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10－a）台，
∴80a＋60（10－a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递22a＋18（10－a）＝（4a＋180）万件，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台.
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13(共7张PPT)
目录
类型一 一元一次方程的含参问题
类型二 二元一次方程组的含参问题
类型三 不等式（组）的含参问题
微专题 1 方程（组）与不等式（组）中的含参问题
一元一次方程的含参问题
核心知识
关于x的一元一次方程化为最简方程ax＝b后，解的情况如下：
（1）当a≠0时，有唯一的解x＝ ；
（2）当a＝0且b≠0时，无解；
（3）当a＝0且b＝0时，有无数个解；
（4）当b能被a整除时，方程有整数解.
即时训练
1. 已知关于x的方程a（a－2）x＝4（a－2），回答下列问
题：
（1）a满足 时，方程有唯一的解；
（2）a满足 时，方程无解；
（3）a满足 时，方程有无数个解；
（4）a满足 时，方程的解是正数.
a≠0且a≠2
a＝0
a＝2
a＞0且a≠2
二元一次方程组的含参问题
核心知识
二元一次方程组的解的情况有以下三种：
（1）当 ＝ ＝ 时，方程组有无数个解；
（2）当 ＝ ≠ 时，方程组无解；
（3）当 ≠ （即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解.
即时训练
2. （1）当a 时，关于x，y的方程组有唯
一解；
（2）当a 时，关于x，y的方程组无解；
（3）当m 时，关于x，y的方程组有无数个解.
≠6
＝6
＝4
不等式（组）的含参问题
核心策略
（1）将待定字母看作已知数，求出不等式（组）的含待定字母的解集；
（2）结合已知条件（解的取值范围、整数解的个数等），得到关于待定字
母的方程（组）或不等式（组）；
（3）解方程（组）或不等式（组），求出待定字母的取值（范围）.
提醒
上述策略同样适用于方程（组）的含参问题，解决含参问题可运用整
体思想、转化思想、消元思想等.
即时训练
3. 已知关于x的不等式 ＜7的解也是不等式 ＞ －1的解，则实数a
的取值范围是 .
－ ≤a＜0
4. 已知关于x，y的方程组的解满足不等式－1≤x＋y＜
5，则实数k的取值范围为 .
－3＜k≤1
5. 已知x＝2是不等式（x－5）（ax－3a＋2）≤0的解，且x＝1不是这个
不等式的解，则实数a的取值范围是 .
1＜a≤2 (共26张PPT)
目录
考点梳理
考点1 解分式方程
考点精研
命题点1 解分式方程
命题点2 分式方程的实际应用
第2节 分式方程
考点2 分式方程的实际应用
考点梳理
1
解分式方程
1. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 增根的特点
（1）使最简公分母的值为0；
（2）是由分式方程所化成的整式方程的根.
3. 解分式方程的一般步骤
（1）去分母：方程两边同乘 ，把分式方程转化为 .
（2）解整式方程.
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母.若最简公分母的值不为0，则
是原方程的解；若最简公分母的值为0，则是增根，应舍去.
最简公分母
整式方程
提醒
分式方程无解的两种情况：
（1）把分式方程化为整式方程后，整式方程无解；
（2）去分母后的整式方程有解，但整式方程的解为分式方程的增根.
1. 下列关于x的方程是分式方程的是（ C ）
A. ＝ B. －3＝
C. ＝3 D. x＝1
C
2. 若关于x的方程 ＋ ＝ 有增根，则a＝ .
－6或8
3. 解分式方程：
（1） ＋1＝ ；
解析：原方程去分母，得3＋x＋2＝2x.
移项、合并同类项，得－x＝－5，
系数化为1，得x＝5.
检验：将x＝5代入x＋2，得5＋2＝7≠0.
故原方程的解为x＝5.
（2） － ＝1.
解析：原方程去分母，得2－（x＋1）＝2x－2.
去括号，得2－x－1＝2x－2.
移项、合并同类项，得－3x＝－3.
系数化为1，得x＝1.
检验：将x＝1代入2x－2.得2－2＝0，
则x＝1是分式方程的增根，故原方程无解.
分式方程的实际应用
基本等量关系
工程 问题 一人完成： － ＝ ；
两人对比： － ＝时间差；
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，则 ＝工作
效率
销售 问题 ＝数量， － ＝
时间差
数量差
基本等量关系
行程 问题 ＝时间， － ＝
航行 问题 顺水速度＝静水速度＋ ，
逆水速度＝静水速度－
时间差
水流速度
水流速度
提醒
解应用题时要进行双检验：（1）检验是不是分式方程的解；（2）检
验是否符合生活实际.
1. 为了解决雨季城市内涝的难题，某区政府决定对地下管网按照“雨污分
流”要求进行改造.某施工队负责改造一段长为3 600 m的街道地下管网时，
每天的施工速度比原计划提高了20％，按这样的速度可以比原计划提前10
天完成任务，求实际施工时每天改造地下管网的长度.
解析：设原计划每天改造地下管网x m，
则实际施工时每天改造地下管网（1＋20％）x m.
根据题意，得 － ＝10，
解得x＝60.
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意.
（1＋20％）x＝（1＋20％）×60＝72.
答：实际施工时每天改造地下管网72 m.
2. 为加快公共区域充电基础设施建设，某停车场
计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3
万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
解析：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为（x＋0.3）万元.
根据题意，得 ＝ .
解得x＝0.9.
经检验，x＝0.9是所列方程的解，且符合题意.x＋0.3＝0.9＋0.3＝1.2.
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.
（2）该停车场计划共购买25个A型和B型充电桩，购买总费用不超过26万
元，求至少购买多少个A型充电桩.
解析：（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25－m）个.
根据题意，得0.9m＋1.2（25－m）≤26.
解得m≥ ，
∴m的最小整数值为14.
答：至少购买14个A型充电桩.
考点精研
2
解分式方程
1. （2024无锡）分式方程 ＝ 的解是（ A ）
A. x＝1 B. x＝－2
C. x＝ D. x＝2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 若关于x的方程 ＝ 有增根，则m的值为（ C ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. （2023苏州）分式方程 ＝ 的解为x＝ .
－3
4. 已知关于x的分式方程 ＝1的解为正数，则m的取值范围是
.
m＞－4
且m≠－3
5. 若关于x的方程 －1＝ 无解，则m的值是 － 或－ . 重难
点拨
－ 或－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 解下列方程：
（1）（2024南通） －1＝ ；
解析：（1） －1＝ ，
去分母，得3x－（3x＋3）＝2x，
去括号，得3x－3x－3＝2x，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，3x＋3≠0，
所以原分式方程的解为x＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2）（2024镇江） ＝ .
解析：方程两边同乘x（x＋1），得3（x＋1）＝2x，
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，x（x＋1）≠0，
所以x＝－3是原方程的解.
1
2
3
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5
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8
9
分式方程的实际应用
7. （2024常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以
便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书
画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度
分别是a m，b m，c m，d m.若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，
c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解析：由题意得AB＝1.2＋c＋d＝1.2＋2c＝1.2＋4a，AD＝0.8＋a＋b＝0.8＋2a，
∵AB∶AD＝16∶10，
∴ ＝ ，解得a＝0.1，
经检验，a＝0.1是原方程的解，
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.
1
2
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5
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9
8. （2024扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机
器，A型机器比B型机器每天多处理40 t垃圾，A型机器处理500 t垃圾所用天
数与B型机器处理300 t垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾？
解析：设B型机器每天处理x t垃圾，则A型机器每天处理（x＋40）t垃圾，
根据题意得 ＝ ，
解得x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意.
答：B型机器每天处理60 t垃圾.
1
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9
9. （2023南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运
动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积/m2 每天施工费用/元
甲 x＋300 3 600
乙 x 2 200
信息二
甲工程队施工1 800 m2所需天数与乙工程队施工1 200 m2所需天数相等
1
2
3
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5
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9
（1）求x的值；
解析：（1）根据题意，得 ＝ ，
解得x＝600.
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意.
答：x的值为600.
1
2
3
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5
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7
8
9
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施
工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15 000 m2.该段时间体育中
心至少需要支付多少施工费用？
解析：（2）设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工（22－m）天.
根据题意，得（600＋300）m＋600（22－m）≥15 000，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解得m≥6.
设该段时间体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3 600m＋2 200（22－m），
即w＝1 400m＋48 400.
∵1 400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，为1 400×6＋48 400＝56 800.
答：该段时间体育中心至少需要支付56 800元施工费用.
1
2
3
4
5
6
7
8
9(共45张PPT)
目录
考点梳理
考点1 一元二次方程的概念及根的意义
考点2 解一元二次方程
考点3 一元二次方程根的判别式
考点精研
命题点1 一元二次方程根的意义
命题点2 解一元二次方程
命题点3 一元二次方程根的判别式
命题点4 一元二次方程根与系数的关系
命题点5 一元二次方程的实际应用
第3节 一元一次方程
考点4 一元二次方程根与系数的关系
考点5 一元二次方程的实际应用
考点梳理
1
一元二次方程的概念及根的意义
1. 一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是
的 方程叫做一元二次方程.
一
2
整式
2. 一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2，
bx，c分别叫做二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一
次项系数.
1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ D ）
A. 3x2＋ －1＝0
B. 5x2－6y－3＝0
C. ax2－x＋2＝0
D. 3x2－2x－1＝0
D
2. 若（m＋3）x｜m｜－1－（m－3）x－5＝0是关于x的一元二次方程，则
m的值为 .
3
3. 关于x的一元二次方程（m－1）x2＋3x＋m2－1＝0的一根为0，则m的
值是 .
－1
4. 已知x＝1是方程x2＋ax－b＝0的一个根，则a－b＋2 024＝ .
2 023
解一元二次方程
解法 适用方程类型 步骤
直接开 平方法 形如（x＋a）2＝b
（b≥0）的方程 （1）方程两边同时开方，得x＋a＝
± ；
（2）将方程的解写成x＝± －a的形式
解法 适用方程类型 步骤
配方法 二次项系数化为1
后，一次项系数为偶
数的方程 （1）若二次项系数不为1，则先把系数化
为 ，再配方；
（2）把常数项移到方程的另一边；
（3）在方程两边同时加上一次项系
数 ；
（4）把方程整理成（x＋a）2＝b
（b≥0）的形式；
（5）运用直接开平方法解方程
1
一半的平方
解法 适用方程类型 步骤
公式法 所有一元二次方程 （1）将方程化成ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）的形式；
（2）确定a，b，c的值；
（3）若b2－4ac≥0，
则代入求根公式x＝ ；
若b2－4ac＜0，则方程没有实数根
解法 适用方程类型 步骤
因式 分解法 等号一边化为0后，
另一边能分解成两个
一次因式乘积的方程 （1）将等号一边化为0；
（2）把等号的另一边分解为两个一次因
式的积；
（3）令每个因式分别为0，转化为两个一
元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解
就是原方程的根
用适当的方法解下列方程：
（1）（2x＋3）2－5＝0；
解析：移项，得（2x＋3）2＝5.
开方，得2x＋3＝± .
解得x1＝－ ，x2＝ .
（2）x2＋2x－99＝0；
解析：移项，得x2＋2x＝99.
配方，得x2＋2x＋1＝100，
即（x＋1）2＝100.
开方，得x＋1＝10或x＋1＝－10.
解得x1＝9，x2＝－11.
（3）2x2－x－1＝0；
解析：分解因式，得（2x＋1）（x－1）＝0.
可得2x＋1＝0或x－1＝0.
解得x1＝－ ，x2＝1.
（4）4x（2x－1）＝3（2x－1）.
解析：移项，得4x（2x－1）－3（2x－1）＝0.
分解因式，得（4x－3）（2x－1）＝0.
可得4x－3＝0或2x－1＝0.
解得x1＝ ，x2＝ .
一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式
为 .
b2－4ac
2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
（1）b2－4ac＞0 方程有 的实数根；
（2）b2－4ac＝0 方程有 的实数根；
（3）b2－4ac＜0 方程 实数根.
两个不相等
两个相等
没有
1. 若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝ .
1
2. 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数
k的取值范围是 .
k＞－1且k≠0
3. 已知关于x的方程x2－（2m＋2）x＋m2＋2m＝0.
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
解析：（1）证明：方程x2－（2m＋2）x＋m2＋2m＝0中，
a＝1，b＝－（2m＋2），c＝m2＋2m，
∴Δ＝[－（2m＋2）]2－4×1×（m2＋2m）＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）若方程有一个根为1，求m的值.
解析：（2）∵方程有一个根为1，
∴12－（2m＋2）×1＋m2＋2m＝0，即m2－1＝0，
∴m＝±1.
一元二次方程根与系数的关系
1. 已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，则x1＋x2
＝ － ，x1·x2＝ .
－
2. 使用一元二次方程根与系数的关系的前提条件
（1）要先将一元二次方程化为一般形式；
（2）确定方程的解存在，即满足 .
b2－4ac≥0
提醒
和根与系数的关系有关的变形
（1） ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2；
（2） ＋ ＝ ；
（3）x1 ＋ x2＝x1x2（x1＋x2）；
（4） ＋ ＝ ＝ ；
（5）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；
（6）｜x1－x2｜＝ ；
（7） ＋ ＝ .
1. 已知方程2x2－6x＋1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1·x2
＝ .
3
2. 设方程2x2－mx－4＝0的两个根分别为x1，x2，且满足 ＋ ＝2，则m
的值为 .
－8
一元二次方程的实际应用
类型 基本关系式
平均变化 率问题 a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数.
平均增长率公式：a（1＋x）n＝b（x为平均增长率）；
平均降低率公式：a（1－x）n＝b（x为平均降低率）
销售利 润问题 （原销售价±变化量）×（原销售量±变化量）＝销售额；
（售价－成本价）×销售量＝总利润
类型 基本关系式
图形面 积问题
S阴影＝ S阴影＝
S阴影＝
（a－2x）（b －2x）
（a－x）（b－ x）
x·
1. 某公司前年盈利1 500万元，如果该公司今年与去年盈利的年平均增长率
相同，那么今年可盈利2 160万元.
（1）求今年与去年盈利的年平均增长率；
解析：（1）设今年与去年盈利的年平均增长率为x，则
1 500（1＋x）2＝2 160.
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）
答：今年与去年盈利的年平均增长率为20％.
（2）若该公司盈利的年平均增长率继续保持不变，则预计明年可盈利多少
万元？
解析：（2）根据题意，得2 160×（1＋20％）＝2 592（万元）.
答：预计明年可盈利2 592万元.
2. 如图，在长为32 m、宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路
（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540
m2，求道路的宽.
解析：题图经过平移可转化为下图.
设道路的宽为x m，
根据题意，得（20－x）（32－x）＝540.
整理，得x2－52x＋100＝0.
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2.
答：道路的宽为2 m.
3. 茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出
售，平均每周可售出200 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则
平均每周的销售量可增加40 kg.若该专卖店销售这种品牌茶叶想平均每周获
利41 600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
解析：（1）设每千克茶叶降价x元，则平均每周可售出（200＋ ）kg.
依题意，得（400－240－x）（200＋ ）＝41 600.
整理，得x2－110x＋2 400＝0.
解得x1＝30，x2＝80.
答：每千克茶叶应降价30元或80元.
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该
专卖店应按原售价的几折销售这种品牌茶叶？
解析：（2）为尽可能让利于顾客，故每千克茶叶应降价80元.
×10＝8.
答：该专卖店应按原售价的八折销售这种品牌茶叶.
考点精研
2
一元二次方程根的意义
1. 若关于x的一元二次方程（k－2）x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k
的值是（ A ）
A. －2 B. 2
C. 0 D. －2或2
A
2. （2023镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，
则m＝ .
5
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20
3. 若关于x的一元二次方程mx2－nx－1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则
m－n的值是 .
1
4. 已知a是一元二次方程2x2－3x－5＝0的根，则代数式2a－ 的值
为 .
3
1
2
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4
5
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20
解一元二次方程
5. 一元二次方程x（x＋1）＝3（x＋1）的解是（ C ）
A. x＝－1 B. x＝3
C. x1＝－1，x2＝3 D. 无实数解
C
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2
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20
6. 用配方法将方程2x2－4x－3＝0变形，结果正确的是（ B ）
A. 2（x－1）2－4＝0 B. （x－1）2－ ＝0
C. 2（x－1）2－ ＝0 D. （x－1）2－5＝0
B
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20
7. 方程x（x－1）＝x的解为 .
x1＝0，x2＝2
8. 解方程：
（1）（2024无锡）（x－2）2－4＝0；
解析：（1）（x－2）2－4＝0，（x－2）2＝4，
x－2＝2或x－2＝－2，
解得x1＝4，x2＝0.
1
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20
（2）（2023无锡）2x2＋x－2＝0.
解析：∵a＝2，b＝1，c＝－2，
∴b2－4ac＝12－4×2×（－2）＝17，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
1
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20
一元二次方程根的判别式
9. （2024宿迁）规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋
b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.
若关于x的方程【x，x＋1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的
取值范围为（ D ）
A. m＜ B. m＞
C. m＞ 且m≠0 D. m＜ 且m≠0
D
1
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10. （2024南通）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等
的实数根.请写出一个满足题意的k的值： .
0（答案不唯一）
11. （2024镇江）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实
数根，则m＝ .
9
12. （2024连云港）关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数
根，则c的值为 .
1
2
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20
13. 已知关于x的方程x2－（k＋1）x＋2k－2＝0. 重难点拨
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
解析：（1）证明：∵Δ＝[－（k＋1）]2－4×（2k－2）＝k2－6k＋9＝（k－3）
2≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根.
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（2）若等腰三角形的三边长a，b，c中，a＝3，b，c恰好是这个方程的
两个根，求k的值.
解析：（2）解方程x2－（k＋1）x＋2k－2＝0，
得x＝ ，
∴x1＝k－1，x2＝2.
结合已知，得k－1＝2或k－1＝3，
∴k＝3或4.
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一元二次方程根与系数的关系
14. （2023泰州）关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 .
－ 2
15. 设x1，x2是关于x的方程x2＋3x－m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m
＝ .
－2
16. 若方程x2－2x－2 027＝0的两根分别为x1，x2，则 －4x1－2x2的值
为 .
2 023
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17. 已知关于x的方程x2＋（k＋3）x＋ ＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
解析：（1）∵关于x的方程x2＋（k＋3）x＋ ＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（k＋3）2－4×1× ＝6k＋9＞0，解得k＞－ .
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（2）若方程的两根分别为x1，x2，那么是否存在实数k，使得等式 ＋
＝－1成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
解析：（2）∵方程x2＋（k＋3）x＋ ＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－k－
3，x1x2＝ .
∵ ＋ ＝－1，∴ ＝ ＝－1，
∴ ＝0，
∴k2－4k－12＝0，解得k1＝－2，k2＝6.
∵k＞－ ，∴k＝6.
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一元二次方程的实际应用
18. （2023无锡）2020年～2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长
至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是
（ A ）
A. 5.76（1＋x）2＝6.58
B. 5.76（1＋x2）＝6.58
C. 5.76（1＋2x）＝6.58
D. 5.76x2＝6.58
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19. （2023淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园
ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18 m的篱笆围
成.生态园的面积能否为40 m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说
明理由.
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解析：生态园的面积能为40 m2.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设AB的长度为x m，则BC的长度为 m，
由题意，得x· ＝40，
整理，得x2－18x＋80＝0，解得x1＝10，x2＝8，
∴生态园的面积能为40 m2，AB的长为10 m或8 m.
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20. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，
某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售
出200顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现，
每降价1元，平均每周可多售出20顶.
（1）该商店若希望平均每周获利12 000元，则每顶头盔应降价多少元？
解析：（1）设每顶头盔降价a元，则平均每周可售出（20a＋200）顶.
由题意，得（120－a－80）（20a＋200）＝12 000.
解得a＝10或a＝20.
当a＝10时，120－a＝120－10＝110＞108，不符合题意，舍去；
当a＝20时，120－a＝120－20＝100＜108，符合题意.
答：每顶头盔应降价20元.
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（2）当每顶头盔的售价为多少元时，商店每周获得最大利润？最大利润是
多少？
解析：（2）设商店每周获得的利润为w元，每顶头盔的售价为x元，则平均每周可
售出[20（120－x）＋200]顶，且80≤x≤108，
由题意，得w＝[20（120－x）＋200]（x－80），
整理，得w＝－20（x－105）2＋12 500，
由二次函数的性质可知，在80≤x≤108内，当x＝105时，w取最大值，为12 500.
答：当每顶头盔的售价为105元时，商店每周获得最大利润，最大利润是12 500元.
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