(共18张PPT)
目录
类型一 “一线两点”型
类型二 “一点两线”型
类型三 “两定两动”型
微专题9 利用“两点之间，线段最短”求最
“一线两点”型
1. 求线段和的最小值
核心知识
（1）两点在一条直线异侧
问题：如图1，点A，B在直线l两侧，
直线l上有一动点P，求PA＋PB的最小值.
解法：如图2，连接AB，与直线l交于点P，此时PA＋PB有最小值，最小
值为AB的长.
（2）两点在一条直线同侧
问题：如图1，点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P，求PA＋PB
的最小值.
解法：如图2，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l交于点P，此时PA＋PB有最小值，最小值为AB1的长.
即时训练
1. 已知线段MN＝16 cm，点P为任意一点，那么线段MP与NP和的最小值
是 cm.
16
2. 已知两点A（－2，4），B（－4，0），在y轴上有一点P使PA＋PB的
值最小，则最小值为 .
2
3. 如图，E是正方形ABCD边AD上一点，AE＝2 cm，DE＝6 cm，P是对
角线BD上的一动点，则AP＋PE的最小值是 cm.
10
2. 求线段差的最大值
核心知识
（1）两点在一条直线同侧
问题：如图1，点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P，求｜PA－
PB｜的最大值.
解法：如图2，作直线AB与直线l交于点P，此时｜PA－PB｜有最大值，最大值为AB的长.
（2）两点在一条直线异侧
问题：如图1，点A、B在直线l两侧，直线l上有一动点P，求｜PA－
PB｜的最大值.
解法：如图2，作点B关于直线l的对称点B1，直线AB1与直线l交于点P，
此时｜PA－PB｜有最大值，最大值为AB1的长.
即时训练
4. 如图，点A，B在直线MN的同侧，点A到MN的距离AC＝
8，点B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，
则PA＋PB的最小值为 ，｜PA－PB｜的最大值为 .
第4题图
5
5. 如图，A，B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM＝4，点B到直
线的距离BN＝2，且MN＝4，P为直线上的动点，｜PA－PB｜的最大值
为 .
第5题图
2
6. 已知点A（1，5），B（3，－1），点M在x轴上，当｜AM－BM｜最
大时，点M的坐标为 .
（ ，0）
“一点两线”型
核心知识
问题：如图1，点P在∠AOB的内部，M为OA上一动点，N为OB上一动
点，求△PMN周长的最小值.
解法：如图2，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，与
OA，OB的交点分别为M，N，此时△PMN周长的最小值为P1P2的长.
针对训练
7. 如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为
∠AOB内一点，且OP＝5，则△PMN的周长的最小值为 .
第7题图
5
8. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°，P为AB边上一定点，M，N
分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数
是 .
第8题图
80°
9. 如图，已知锐角△ABC中，∠B＝45°，AC＝ ，△ABC的面积为 ，
D，E，F分别为AB，BC，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值
为 .
“两定两动”型
核心知识
问题：如图1，P，Q是∠AOB内两定点，在OA上找一点C，OB上找一
点D，使四边形PQDC的周长最小.
解法：如图2，分别作点P关于OA，点Q关于OB的
对称点P'，Q'，连接P'Q'，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所
求.PC＋CD＋DQ的最小值为线段P'Q'的长，则四边形PQDC的周长的最
小值为P'Q'＋PQ的长.
即时训练
10. 如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q
分别是边BC，CD上的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长
的最小值是 .
第10题图
2＋2
11. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝3，E，F分别为AB，DC
上的两个动点，则AF＋FE＋EC的最小值为 .
第11题图
15
12. 如图，在直角坐标系中，A（－3，－1），B（－1，－3）.若D是x轴
上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值
是 .
6 (共57张PPT)
目录
考点梳理
考点1 矩形的性质及判定
考点2 菱形的性质及判定
考点3 菱形的性质及判定
考点精研
命题点1 矩形的性质及判定
命题点2 菱形的性质及判定
命题点3 正方形的性质及判定
第2节 矩形、菱形、正方形
考点梳理
1
矩形的性质及判定
1. 定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
直角
2. 性质
图
示
边 对边平行且 ，即AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝
BC
角 四个角都是 ，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°
对
角
线 对角线 且相等，即AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO
相等
直角
互相平分
对
称
性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有 条对称轴
面
积 矩形的面积＝长×宽，即S矩形ABCD＝ab
2
3. 判定
（1）有一个角是直角的 是矩形（定义法）.
（2）有 个角是直角的四边形是矩形.
（3）对角线 的平行四边形是矩形.
平行四边形
三
相等
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，
BO＝DO. 添加下列条件，可以判定四边形ABCD是矩形的是（ B ）
A. AB＝AD B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. ∠ABO＝∠CBO
第1题图
B
2. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥AC于点E，若
∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °.
第2题图
35
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠ADB＝30°，
AB＝3，则AC为 .
第3题图
6
4. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（5，12），则AC的长是 .
第4题图
13
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质及判定
2. 性质
图
示
边 （1）四条边都 ，即AB＝BC＝CD＝AD.
（2）对边平行，即AB∥CD，BC∥AD
相等
角 对角相等，即∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠BCD
对
角
线 （1）对角线互相 ，即AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
（2）每一条对角线平分一组对角，即AC平分∠DAB和∠BCD，BD
平分∠ABC和∠ADC
垂直平分
对
称
性 既是轴对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴
面
积 （1）菱形的面积＝底×高，即S菱形ABCD＝AB·h.
（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝ mn
中心
2
提醒
对于对角线互相垂直的四边形，都适用于菱形的面积公式S＝ mn
（m，n分别是对角线的长）.
3. 判定
（1）有一组邻边 的平行四边形是菱形（定义法）；
（2）四条边都 的四边形是菱形.
（3）对角线 的平行四边形是菱形.
相等
相等
互相垂直
1. 已知 ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是
（ C ）
A. AB＝ AC B. AB＝CD
C. 对角线互相垂直 D. ∠A＋∠C＝180°
C
2. 如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条
件 （填一个条件）时，能够判定四边形ACED
为菱形.
AC＝BC（答案不唯一）
3. 菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的面积是 cm2.
24
4. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则
线段DH的长为 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（－1，0），B（2，0），菱形
ABCD的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为 .
（－3， ）
正方形的性质及判定
1. 定义：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2. 性质
图
示
边 （1）四条边都 ，即AB＝BC＝CD＝AD.
（2）对边平行，即AB∥CD，AD∥BC
角 四个角都是 ，即∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠DAB＝90°
相等
直角
对
角
线 （1）对角线互相 且相等，即AC⊥BD，AC＝BD，OA
＝OB＝OC＝OD.
（2）每一条对角线平分一组对角（对角线与边的夹角为 ），
即AC平分∠DAB和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
对
称
性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有 条对称轴
面
积 （1）正方形的面积＝边长×边长，即S正方形ABCD＝a2.
（2）正方形的面积等于对角线平方的一半，即S正方形ABCD＝ l2
垂直平分
45°
4
3. 判定
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义
法）.
（2）一组邻边相等的 是正方形.
（3）一个角是直角的 是正方形.
矩形
菱形
拓展
中点四边形
原四边形对角线
间的关系 中点四边形
不垂直也不相等 平行四边形
互相垂直 矩形
相等 菱形
互相垂直且相等 正方形
1. 已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加条件
（一个即可）可使菱形ABCD成为正方形.
AC＝BD
（答案不唯一）
2. 如图，要使矩形ABCD成为正方形，可添加的一个条件为
.
第2题图
AB＝BC（答
案不唯一）
3. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边三角形CDE，则
∠AEC＝ °.
第3题图
45
4. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BC＝BE，则
∠BEC＝ °.
67.5
考点精研
2
矩形的性质及判定
1. （2023南通）如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线
段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD. 若AB
＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（ C ）
A. B. C. D.
第1题图
C
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2. （2023苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点
C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC. 动点E，F分别从点
O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿OA，BC向终点A，C
移动.当移动时间为4 s时，AC·EF的值为（ D ）
A. B. 9 C. 15 D. 30
第2题图
D
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3. （2024无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE.
求证：
（1）△ABE≌△DCE；
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS）.
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（2）∠EAD＝∠EDA.
证明：（2）由（1）知△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA.
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4. （2023宿迁）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别
为E，F. 求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
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菱形的性质及判定
5. （2024无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中
点，则 sin ∠EBC的值为（ C ）
A. B. C. D.
C
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6. （2024南通）若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱形的
高为 cm.
7. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，
在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足
为F，若DF＝ ，则对角线BD的长为 2 .（结果保留根号）
重难点拨
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8. （2024宿迁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝
DC＝ BC，E是BC的中点.下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形.
请选择一名同学的结论给予证明.
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解析：若选择甲，则证明如下：
如图1，
∵AD＝ BC，E是BC的中点，
∴CE＝ BC＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
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∵AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形.
若选择乙，则证明如下：
如图2，连接AE，DE，DE交AC于O，
∵AD＝ BC，E是BC的中点，
∴BE＝CE＝ BC＝AD，
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∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，四边形ABED是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形.
∴AC⊥DE，∴∠EOC＝90°，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴DE∥AB，
∴∠BAC＝∠EOC＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
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9. （2024扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边
形ABCD.
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
解析：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G，
∵两个纸条为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝AB·CH＝ AD·CG，且CH＝CG，
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形.
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（2）已知矩形纸条宽度为2 cm，将矩形纸条旋转至如图2所示的位置时，
四边形ABCD的面积为8 cm2，求此时直线AD，CD所夹锐角∠1的度数.
解析：（2）如图2，过A作AM⊥CD，垂足为M，
∵S菱形ABCD＝CD·AM＝8 cm2，且AM＝2 cm，
∴CD＝4 cm，
∴AD＝CD＝4 cm，
在Rt△ADM中， sin ∠1＝ ＝ ，
∴∠1＝30°.
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10. （2024盐城）如图1，E，F，G，H分别是 ABCD各边
的中点，连接AF，CE交于点M，连接AG，CH交于点N，将四边形
AMCN称为 ABCD的“中顶点四边形”. 重难点拨
（1）求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
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解析：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵点E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点，
∴AE＝ AB＝ CD＝CG，AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
同理可得四边形AFCH为平行四边形，
∴AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形.
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（2）①如图2，连接AC，BD交于点O，可得M，N两点都在BD上，当
ABCD满足 时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的
直尺和圆规作出该平行四边形.（保留作图痕迹，不写作法）
AC⊥BD
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解析：（2）①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时，中顶点四边形AMCN是菱形，
由（1）得四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴MN⊥AC，
∴中顶点四边形AMCN是菱形，故答案为AC⊥BD.
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②如图1所示，即为所求，
连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND＝2ON，MB＝
2OM，然后连接AB，BC，CD，DA即可，
∴点M和N分别为△ABC和△ADC的重心，符合题意.
证明：∵四边形AMCN为矩形，
∴AC＝MN，OM＝ON，
∵ND＝2ON，MB＝2OM，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
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分别延长CM，AM，AN，CN交四边于点E，F，G，H如
图2所示：
∵四边形AMCN为矩形，
∴AM∥CN，MO＝NO，
由作图得BM＝MN，∴△MBF∽△NBC，
∴ ＝ ＝ ，∴点F为BC的中点，
同理，得点E为AB的中点，点G为DC的中点，点H为AD的
中点.
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11. （2022南京）如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点
B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD. 求证：四边形ABCD
是菱形.
证明：∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BAM，∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，∴AD＝BC，
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形.
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正方形的性质及判定
12. （2024南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所
示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个
大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）.若小正方
形的面积为5，（m＋n）2＝21，则大正方形的面积为（ B ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
B
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13. （2024常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线
AC，BD相交于原点O. 若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是
.
（－
2，－1）
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14. （2022南京）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐
标是（－1，0），点D的坐标是（－2，4），则点C的坐标是 .
（2， 5）
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15. （2024南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5.正
方形DEFG的边长为 ，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则
BG的长为 .
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16. 如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD
上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形.
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17. （2024扬州）已知点A，B，M，E，F依次在直线l
上，点A，B固定不动，且AB＝2，分别以AB，EF为边在直线l同侧作正
方形ABCD，正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直角
边MN恒过点H. 重难点拨
（1）如图1，若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
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解析：（1）由题易得∠CBM＝∠CMH＝∠HEM＝90°，
∵∠CMB＋∠BCM＝∠CMB＋∠HME＝90°，
∴∠BCM＝∠HME，∴△MCB∽△HME，
∴ ＝ ，
∵BC＝AB＝2，EH＝EF＝12，BE＝10，
∴ ＝ ，解得BM＝4或6，
∴点M与点B之间的距离是4或6.
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（2）如图1，若BE＝10，当点M在点B，E之间运动时，求HE的最大
值；
解析：（2）由（1）知 ＝ ，设EH＝y，BM＝x，
∵BE＝10，∴EM＝10－x，∴ ＝ ，
∴y＝－ x2＋5x＝－ （x－5）2＋12.5，
∵－ ＜0，∴当x＝5时，ymax＝12.5，
即HE的最大值为12.5.
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（3）如图2，若BF＝22，当点E在点B，F之间运动时，点M随之运动，
连接CH，点O是CH的中点，连接HB，MO，则2OM＋HB的最小值
为 .
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解析：（3）∵∠CMH＝90°，O是CH中点，
∴CH＝2OM，∴2OM＋HB＝CH＋BH，
∴求2OM＋HB的最小值就是求CH＋BH的最小值即可.
如图，连接FH，则点H在∠EFG的平分线上，作B关于FH的对称点B'，连接
B'C交FH为H'，则H'即为所求H位置，B'C长度即为CH＋HB最小值.
过点C作CQ⊥B'F于Q.
∵∠BFH＝∠B'FH＝45°，∴B'在FG的延长线上，
∵∠CBF＝∠BFQ＝∠FQC＝90°，
∴四边形CBFQ为矩形，∴FQ＝BC＝2，
∵BF＝B'F＝22，∴B'Q＝B'F－QF＝20，
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在Rt△B'CQ中，B'C2＝ ＝2 ，
即CH＋BH的最小值为2 ，
∴2OM＋HB的最小值为2 .
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17(共25张PPT)
目录
考点梳理
考点1 多边形的性质
考点精研
命题点1 多边形的性质
命题点2 平行四边形的性质与判定
第1节 多边形与平行四边形
考点2 平行四边形的性质与判定
考点梳理
1
多边形的性质
内角和 n（n≥3）边形的内角和等于
外角和 任意多边形的外角和等于
对角线 过n（n＞3）边形的一个顶点可引（n－3）条对角线，把这
个n边形分成（n－2）个三角形，n（n＞3）边形共有对角
线 条
（n－2）·180°
360°
n（n－3）
不稳定性 n（n＞3）边形具有不稳定性
正多边形 的性质 （1）正n（n＞3）边形的各边长度相等，各角度数也相等，
每个外角的度数都为 .
（2）正多边形都是 对称图形，边数为偶数的正多边形
还是中心对称图形
轴
1. 正十二边形的外角和为 .
360°
2. 若从一个多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数
为 ，它的内角和等于 度.
6
720
3. 正八边形每个外角的度数为 .
45°
4. 若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是 .
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平行四边形的性质与判定
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 性质
图示
边 对边 ，即AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC
角 （1）对角 ，即∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠BCD.
（2）邻角 ，即∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠ADC
＝180°，∠ADC＋∠DAB＝180°，∠DAB＋∠ABC＝180°
平行且相等
相等
互补
对
角
线 对角线 ，即AO＝CO，BO＝DO
对
称
性 是中心对称图形，对称中心是
面
积 （1）平行四边形的面积＝底×高，即S平行四边形ABCD＝AB·DE.
（2）同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等
互相平分
对角线的交点
3. 判定
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边 的四边形是平行四边形
对
角
线 对角线互相 的四边形是平行四边形
平行且相等
平分
提醒
一组对边平行，另一组对边相等不能证明四边形是平行四边形（例如
等腰梯形）.
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能
判定这个四边形是平行四边形的是（ B ）
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB∥DC，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO
D. AB＝DC，AD＝BC
B
2. 如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB＝3，AE＝
1，则BC＝ .
4
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝14，AB
＝4，则△OCD的周长为 .
11
考点精研
2
多边形的性质
1. 正八边形的每一个内角都是（ B ）
A. 120° B. 135°
C. 140° D. 150°
B
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2. （2024无锡）正十二边形的内角和等于 °.
1 800
3. （2023宿迁）七边形的内角和是 °.
900
4. （2023扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的
边数为 .
6
5. 如图，在五边形ABCDE中，∠A＝125°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度
数是 .
305°
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平行四边形的性质与判定
6. （2024苏州高新区二模）如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝7，BE平
分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，则EF等于（ D ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
D
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7. （2022南京）如图， ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，
l1∥l2，若∠1＝33°，∠B＝65°，则∠2＝ °.
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8. 如图所示，在 ABCD中，点E在边AD上，且EC平分
∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为 .
50
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9. （2024苏州工业园区二模）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长
为 .
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10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为边AB上的一
动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ的最小值
为 . 重难点拨
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11. （2023南京）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，
且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F，求证：BE＝DF.
证明：如图，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AM∥CN，∴∠EAC＝∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，
∴BO－OE＝OD－OF，∴BE＝DF.
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12. （2023镇江）如图，点B是线段AC的中点，点D，E在AC同侧，AE
＝BD，BE＝CD.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
证明：（1）∵B是AC的中点，∴AB＝BC，
在△ABE与△BCD中，
∴△ABE≌△BCD（SSS）.
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（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形.
证明：（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠ABE＝∠BCD，∴BE∥CD，
∵BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
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13. （2023扬州）如图，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的
中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N.
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
解析：（1）证明：∵点E，F，G，H分别是平行四边形
ABCD各边的中点，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN，
同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形.
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（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积.
解析：（2）如图所示，连接AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，∴S△ACN＝ S△ACH，
又∵CH是△ACD的中线，∴S△ACN＝ S△ACD，
又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角
线，∴S AMCN＝ S ABCD，
又∵S AMCN＝4，∴S ABCD＝12.
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