(共14张PPT)
目录
类型一 函数图像共存
类型二 以实际问题为背景判断函数图像
类型三 以几何问题为背景判断函数图像
微专题3 三种函数图像的分析与判断
函数图像共存
核心策略
理解并掌握三种函数表达式的系数与图像的关系是解决此类问题的关键，
解题时，一般由函数图像及特殊点的坐标得出表达式中未知数的值或取值
范围，再结合三种函数的性质判断所求函数的大致图像.
即时训练
1. 在同一直角坐标系中，函数y＝ax＋a和函数y＝ax2＋x＋2（a是常
数，且a≠0）的图像可能是（ D ）
D
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝ax＋b和反
比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的图像可能是（ A ）
第2题图
A
3. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图
像如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx－c的图像可能是（ C ）
第3题图
C
4. 如图，一次函数y＝x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像相交于P，Q
两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图像可能是（ A ）
A
以实际问题为背景判断函数图像
核心策略
解决此类型问题时，要做到如下“四关注”：
（1）关注横轴与纵轴所表示的函数变量；
（2）关注拐点：图像上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的
起点，反映函数图像在这一时刻开始发生变化；
（3）关注水平线：水平线的出现，意味着函数值随自变量的变化而保
持不变；
（4）关注交点：交点的出现，意味着两个函数的自变量与函数值分别对应
相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”.
即时训练
5. 甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量分别记
为y甲，y乙，y丙（单位：g），它们随溶液温度t（单位：℃）的变化如图所
示，某次实验中需要y乙＞y甲＞y丙，则溶液温度t的范围应控制在
（ C ）
A. t＜t1 B. t1＜t＜t2
C. t2＜t＜t3 D. t＞t3
C
6. 九年级体能测试中，小苏和小林参加4×30 m折返跑，在如图1所示的跑
道上进行，在整个测试过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑
步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示.下列叙述正确的是（ D ）
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小林跑全程的平均速度大于小苏跑全程的平均速度
C. 小林前9 s跑过的路程大于小苏前9 s跑过的路程
D. 小苏在跑最后60 m的过程中，与小林相遇2次
D
以几何问题为背景判断函数图像
核心策略
此类问题的解题思路有两种情形：
（1）列函数关系式判断函数图像
先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再结合已知条件，找出因变量
与自变量之间存在的函数关系并列出关系式（注意分类讨论时自变量的取
值范围），最后根据各段函数关系式找相应的函数图像.
（2）不列函数关系式判断函数图像
①观察几何图形，找出运动的起点和终点，由运动元素的移动范围确定自
变量取值范围；
②关注特殊位置（如起点、拐点、终点）处的函数值，以及函数的最大
（小）值；
③关注每段运动过程中函数值的变化规律，与图像上升（下降）的变化趋
势作对比；
④结合以上信息，判断函数图像.
即时训练
7. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°.点D在BC上，延
长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，过点B作BF⊥BE，交射线AC于
点F，设CD＝x，BF2＝y，则y关于x的函数图像大致为（ A ）
A
8. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中
点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA＋PE＝y.图2是y关于x的函
数图像，其中H是图像上的最低点.那么a＋b的值为（ B ）
A. 4 B. 7 C. 7 D. 9
B
9. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2
是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图像，其中M是曲线
部分的最低点，则△ABC的面积是 .
84 (共23张PPT)
目录
类型一 利用增减性比较大小
类型二 特定范围内求最值
微专题4 二次函数性质的综合
利用增减性比较大小
核心知识
（1）对于开口向上的抛物线，离抛物线对称轴的距离越远的点，对应的函
数值越大；
（2）对于开口向下的抛物线，离抛物线对称轴的距离越远的点，对应的函
数值越小.
即时训练
1. 已知点A（ ，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在抛物线y＝－ax2
＋3ax＋c（a＜0）上，若x2＜x3，x2＋x3＝2，且x2与x3在对称轴的两
侧，则y1，y2，y3的大小关系是（ B ）
A. y1＞y3＞y2 B. y2＞y3＞y1
C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3
B
2. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y＝ax2－2ax＋4
（a≠0）上，若x1＜x2，x1＋x2＝1＋a，则（ B ）
A. 当a＞1时，y1＞y2 B. 当a＞1时，y1＜y2
C. 当a＜1时，y1＜y2 D. 当a＜1时，y1＞y2
B
3. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2＋4ax（a＜0）
上，若｜x1＋2｜＞｜x2＋2｜，则y1 y2.（填“＞”“＝”或
“＜”）
＜
4. 直线y＝t（t是常数，且－1≤t≤2）交抛物线y＝a（x＋1）（x－5）
于P，Q两点，若线段PQ的长不小于3，请求出a的取值范围.
解析：∵PQ的长不小于3，
∴点P和点Q到对称轴x＝2的距离不小于 ，
∴当a＞0时，y＝a（ ＋1）（ －5）≤－1，解得a≥ ；
当a＜0时，y＝a（ ＋1）（ －5）≥2，解得a≤－ .
综上，a的取值范围为a≥ 或a≤－ .
特定范围内求最值
核心知识
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0），且p≤x≤q.
分类情况 结论
p＜q＜－ 当x＝p时，y有最大值；
当x＝q时，y有最小值
－ ＜p＜q 当x＝p时，y有最小值；
当x＝q时，y有最大值
p＜－ ＜q 当x＝－ 时，y有最小值；比较当x＝p和x＝q时
y的值，较大的值就是最大值
提醒
解此类问题时，常涉及有关抛物线对称轴的分类讨论，要注意求出参
数值后的检验.
即时训练
5. （2024无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜
n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）.我们将
m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”.例如：函数y＝2x，存在m＝
1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x
的“2级关联范围”.下列结论：
①1≤x≤3是函数y＝－x＋4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”；
④函数y＝－x2＋2x＋1不存在“4级关联范围”.
其中正确的为（ A ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
A
③函数y＝ （k＞0）总存在“3级关联范围”；
6. 已知y＝－2x2－4x＋7.
（1）当－3≤x≤－2时，x＝ 时，二次函数y有最小值，为y
＝ ；x＝ 时，二次函数y有最大值，为y＝ .
（2）当－3≤x≤0时，x＝ 时，二次函数y有最大值，为y
＝ ；x＝ 时，二次函数y有最小值，为y＝ .
（3）当－3≤x≤3时，x＝ 时，二次函数y有最大值，为y
＝ ；x＝ 时，二次函数y有最小值，为y＝ .
（4）当0≤x≤3时，x＝ 时，二次函数y有最大值，为y＝ ；x
＝ 时，二次函数y有最小值，为y＝ .
－3
1
－2
7
－1
9
－3
1
－1
9
3
－23
0
7
3
－23
7. 函数y＝x2－2ax－2在－1≤x≤4有最小值－5，则实数a的值是
.
－2或
8. 已知函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图像经过点（0，3），
（6，3）.
（1）求b，c的值；
解析：（1）∵函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图像经过点（0，3），
（6，3），
∴c＝3，y＝x2＋bx＋3，
将（6，3）代入，得3＝62＋6b＋3，解得b＝－6，
∴b＝－6，c＝3.
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
解析：（2）y＝x2－6x＋3＝（x－3）2－6，
当0≤x≤4时，
①当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3－3）2－6＝－6；
②当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0－3）2－6＝3.
3－（－6）＝9，
∴当0≤x≤4时，y的最大值与最小值之差为9.
（3）当k－4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.
解析：（3）当k－4≤x≤k时，y＝x2－6x＋3＝（x－3）2－6，
①若k－4≤x≤k≤3，即k≤3，
则当x＝k时，y取得最小值，此时y＝k2－6k＋3；当且仅当x＝k－4时，y取得
最大值，此时y＝（k－4）2－6（k－4）＋3.
由（k－4）2－6（k－4）＋3－（k2－6k＋3）＝8，解得k＝4，
∵k≤3，∴k＝4不符合题意.
②若k－4≤3且k≥3，即3≤k≤7，则y的最小值为－6，
若3－（k－4）≥k－3，即k≤5，则当x＝k－4时，y取得最大值，
此时y＝（k－4）2－6（k－4）＋3，
由（k－4）2－6（k－4）＋3－（－6）＝8，
解得k＝7±2 ，
∵3≤k≤5，7＋2 ＞7，3＜7－2 ＜5，
∴k＝7＋2 不符合题意，k＝7－2 符合题意.∴k＝7－2 ；
若3－（k－4）≤k－3，即k≥5，则当x＝k时，y取得最大值，此时y＝k2－6k＋3，
由k2－6k＋3－（－6）＝8，解得k＝3±2 ，
∵5≤k≤7，5＜3＋2 ＜7，3－2 ＜5，∴k＝3＋2 符合题意，k＝3－
2 不符合题意，
∴k＝3＋2 .
③若3≤k－4≤x≤k，即k≥7，
则当x＝k－4时，y取得最小值，此时y＝（k－4）2－6（k－4）＋3；当x＝k
时，y取得最大值，此时y＝k2－6k＋3.
由k2－6k＋3－[（k－4）2－6（k－4）＋3]＝8，解得k＝6，
∵k≥7，∴k＝6不符合题意.
综上所述，k的值为7－2 或3＋2 .
9. （2024连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1
（a，b为常数，a＞0）.
（1）若抛物线与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点，求抛物线的函
数表达式；
解析：（1）∵抛物线与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点，
∴分别将A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝ x2－ x－1.
得解得
（2）如图，当b＝1时，过点C（－1，a），D（1，a＋2 ）分别作y
轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD. 求证：MD平分
∠CMN；
解析：（2）证明：连接CN，如图1，
∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1，
当x＝－1时，y＝a－2，∴M（－1，a－2），
当x＝1时，y＝a，∴N（1，a），
∵C（－1，a），N（1，a），
∴CN＝2，CM＝a－（a－2）＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴MN＝ ＝2 ，
∵DN＝a＋2 －a＝2 ，∴DN＝MN，
∴∠NDM＝∠NMD，∵DN∥CM，
∴∠NDM＝∠CMD，∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN.
（3）当a＝1，b≤－2时，过直线y＝x－1（1≤x≤3）上一点G作y轴的
平行线，交抛物线于点H. 若GH的最大值为4，求b的值.
解析：（3）当a＝1时，y＝x2＋bx－1，
设G（m，m－1），则H（m，m2＋bm－1），1≤m≤3，
由x2＋bx－1＝x－1，解得x1＝0，x2＝1－b.
∵b≤－2，∴x2＝1－b≥3，
∴点G在H的上方，如图2，
设GH＝t，则t＝－m2＋（1－b）m，
其对称轴为m＝ ，且 ≥ ，
①当 ≤ ≤3，即－5≤b≤－2时，
由图3可知，当m＝ 时，t取得最大值，
则 ＝4，解得b＝－3或b＝5（舍去），
②当 ＞3时，得b＜－5，
由图4可知，当m＝3时，t取得最大值，
则－9＋3－3b＝4，解得b＝－ （舍去），
综上所述，b的值为－3.(共24张PPT)
目录
考点梳理
考点1 二次函数的图像与性质
考点2 二次函数图像的平移
考点精研
命题点1 二次函数的图像与性质
命题点2 二次函数图像的平移
第5节 二次函数（1）
考点梳理
1
二次函数的图像与性质
1. 二次函数的概念：形如y＝ （a，b，c是常数，a≠0）
的函数.
ax2＋bx＋c
2. 二次函数的图像及性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）
a的符号 a＞0 a＜0
图像
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
顶点坐标 （－ ， ）
开口大小 ｜a｜越大，开口越 ；｜a｜越小，开口越
x＝－
小
大
增减性 x＜－ 时y随x的增大而 ； x＞－ 时，y随x的增大而 x＜－ 时y随x的增大而 ；
x＞－ 时，y随x的增大
而
最值 y最小值＝ y最大值＝
减小
增大
增大
减小
提醒
确定二次函数图像中几个要素的常用方法
（1）利用顶点式y＝a（x－h）2＋k找出函数图像的顶点坐标；（2）利
用交点式y＝a（x－x1）（x－x2）找出图像与x轴的交点坐标；（3）利
用一般式y＝ax2＋bx＋c中的c值找出图像与y轴的交点坐标.
1. 关于二次函数y＝（x－2）2＋3，下列说法正确的是（ C ）
A. 函数图像开口向下
B. 函数图像与y轴交点坐标为（0，3）
C. 函数图像的对称轴为直线x＝2
D. 当x＞2时，y随x的增大而减小
C
2. 已知A（－1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝ax2－
2ax＋1（a＜0）的图像上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（ D ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2
D
3. 下列函数：①y＝1－x2；②y＝ ；③y＝x（x－3）；④y＝ax2＋bx
＋c；⑤y＝2x＋1.其中，是二次函数的有 .（填序号）
①③
4. 将二次函数y＝x2－2x－3化为y＝（x－h）2＋k的形式，得
.
y＝（x
－1）2－4
5. 二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是 .
6. 已知二次函数y＝（x－1）2－3，当0＜x＜3时，y的取值范围是
.
-3≤y＜1
二次函数图像的平移
提醒
（1）点坐标平移的规律是“左减右加，上加下减”，函数图像的平移规律
是“左加右减，上加下减”，二者要区分开；（2）求平移后的抛物线表达
式时，尽量将抛物线化成顶点式.
在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－ x2＋1向上平移2个单位长度，再向
左平移3个单位长度，则所得抛物线的函数表达式是 .
y＝－ （x＋3）2＋ 3
考点精研
2
二次函数的图像与性质
1. （2023扬州）已知二次函数y＝ax2－2x＋ （a为常数，且a＞0），下
列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过
第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大
而增大.其中所有正确结论的序号是（ B ）
A. ①② B. ②③
C. ② D. ③④
B
1
2
3
4
5
2. （2024镇江）对于二次函数y＝x2－2ax＋3（a是常数），下列结论：
①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当a
＝－1时，这个函数的图像在函数y＝－x图像的上方；③若a≥1，则当x
＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.
其中正确的是 .（填写序号）
①②④
1
2
3
4
5
二次函数图像的平移
3. （2024南通）将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度后，得到新
抛物线的顶点坐标为（ D ）
A. （－4，－1） B. （－4，2）
C. （2，1） D. （2，－2）
D
1
2
3
4
5
4. （2023徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x＋1）2＋3的图
像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函
数表达式为（ B ）
A. y＝（x＋3）2＋2 B. y＝（x－1）2＋2
C. y＝（x－1）2＋4 D. y＝（x＋3）2＋4
B
1
2
3
4
5
5. （2024宿迁）如图1，已知抛物线y1＝x2＋bx＋c与x轴交于两点O
（0，0），A（2，0），将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物
线y2，点P是抛物线y1在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y2
于点Q.
1
2
3
4
5
解析：（1）∵抛物线y1＝x2＋bx＋c与x轴交于两点O（0，0），A（2，0），
∴解得
∴y1＝x2－2x＝（x－1）2－1，
∵抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2，
∴y2＝（x－1－2）2－1＝（x－3）2－1＝x2－6x＋8，
即y2＝x2－6x＋8.
（1）求抛物线y2的函数表达式；
1
2
3
4
5
（2）设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求xQ－xP的值；
解析：（2）设点P的坐标为（p，p2－2p），设直线AP的函数表达式为y＝kx＋q，
把点A和点P的坐标代入y＝kx＋q，
得解得
∴直线AP的函数表达式为y＝px－2p，
联立y＝px－2p与y2＝x2－6x＋8，得x2－6x＋8＝px－2p，
解得x1＝2，x2＝4＋p，
∴xQ＝4＋p，则xQ－xP＝4＋p－p＝4.
1
2
3
4
5
（3）如图2，若抛物线y3＝x2－8x＋t与抛物线y1＝x2＋bx＋c交于点C，
过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M，N（M，N均不与点C重
合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断｜m－n｜是不是
定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.
1
2
3
4
5
解析：（3）由（1）可得，y1＝x2－2x，
与y3＝x2－8x＋t联立，
得x2－2x＝x2－8x＋t，
解得x＝ t，∴yC＝（ t）2－2× t＝ t2－ t，
∴点C的坐标为（ t， t2－ t），
∵点M的横坐标为m，且M在抛物线y1＝x2－2x上，
∴yM＝m2－2m，
即点M的坐标为（m，m2－2m）.
设直线CM的函数表达式为y＝rx＋s，
把点C和点M的坐标代入，
得
1
2
3
4
5
解得
∴直线CM的函数表达式为y＝（m＋ t－2）x－ tm，
与y3＝x2－8x＋t联立，
得（m＋ t－2）x－ tm＝x2－8x＋t，
整理，得x2－（m＋ t＋6）x＋（1＋ m）t＝0，
则xC＋xN＝m＋ t＋6，
即 t＋n＝m＋ t＋6，
即n－m＝6，∴｜m－n｜＝6，
∴｜m－n｜为定值，这个定值为6.
1
2
3
4
5(共31张PPT)
目录
考点梳理
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
考点2 函数及自变量的取值范围
考点3 函数图像的判断与分析
考点精研
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
命题点2 函数及自变量的取值范围
命题点3 函数图像的判断与分析
第1节 平面直角坐标系与函数
考点梳理
1
平面直角坐标系中点的坐标特征
1. 点的坐标特征
（1）点在象限内
如图1，第一象限：x＞0，y＞0；
第二象限： ；
第三象限： ；
第四象限： .
x＜0，y＞0
x＜0，y＜0
x＞0，y＜0
（2）点在坐标轴上
如图2，x轴上的点A1的 坐标为0；y轴上的点A2的 坐标为0.
纵
横
（3）点在平行于坐标轴的直线上
如图3，平行于x轴的直线m上的点的 坐标相同；平行于y轴的直线n
上的点的 坐标相同.
纵
横
（4）点在各象限的角平分线上
如图4，点B1（x1，y1）在第一、三象限的角平分线上，则x1＝y1；点B2
（x2，y2）在第二、四象限的角平分线上，则 .
x2＝－y2
2. 点的距离特征
内容 图示
如右图，点P的坐标是（x，y），则点P到y轴的距离是
，即线段 的长度； 点P到x轴的距离是 ，即线段 的长度； 点P到原点的距离是 ，即线段 的长度
如右图，其中PH∥y轴，QH∥x轴，则PH＝ ， QH＝ ， PQ＝
｜ x｜
PM
｜y｜
PN
PO
｜yP－yH｜
｜xQ－xH｜
3. 点的平移与对称
平移 对称
口诀：左减右加，上加下减 口诀：关谁谁不变，无关便相反，原点对称
都相反
1. 已知P（m＋3，2m＋4）.
（1）如果点P在第四象限，则m的取值范围为 ；
（2）如果点P在y轴上，则点P的坐标为 ；
（3）如果点P在第二、四象限的角平分线上，则m的值为 ；
（4）点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 .
－3＜m＜－2
（0，－2）
－
1
2. 如果点A的坐标为（－2，－1），点B的坐标为（1，3），那么A，B
两点的距离等于 .
5
3. 在平面直角坐标系中，线段AB经过平移后得到线段CD，已知点A（－
3，2）的对应点为C（1，－2）.若点B的对应点为D（0，1），则点B的
坐标为 .
（－4，5）
4. 点P（－3，5）关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴
对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点的坐标为 .
（－3，－5）
（3，5）
（3，－ 5）
函数及自变量的取值范围
1. 函数的相关概念
（1）变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终 的
量为常量.
（2）函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有 确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，
y是x的函数.
不变
唯一
提醒
函数不是数，函数是一个变化过程.
（3）函数的表示方法：①表达式法；②列表法；③图像法.
2. 函数自变量的取值范围
函数类型 自变量的取值范围
整式型函数 全体实数
分式型函数 使分母不为零的实数
二次根式型 使被开方数大于等于零的实数
零指数幂、 负整数指数幂型函数 使底数不为零的实数
实际问题中的函数 使实际问题有意义，且符合题目要求的实数
1. 下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
D
2. 圆的半径为r，圆的面积S与半径r之间有如下关系：S＝πr2.在这个关
系中，常量是 ，变量是 .
π
S，r
3. 函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 .
x≤1
4. 函数y＝ ＋（x－3）－2中，自变量x的取值范围是 .
x≠±3
5. 有一个等腰三角形的周长为24，则底边长y与腰长x之间的函数关系式
为 ，自变量x的取值范围是 .
y＝24－2x
6＜x＜12
函数图像的判断与分析
1. 函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应
值分别作为点的 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就
是这个函数的图像.
横、纵
2. 画函数图像的一般步骤：（1）列表；（2） ；（3） .
描点
连线
3. 识图“四看”
（1）看“意义”－－看图像横、纵坐标的实际意义；
（2）看趋势－－从左到右看，图像是上升、下降、还是水平的；
（3）看细节－－看图像的特征点，如起点、终点、交点、最高点、最
低点等；
（4）看“速度”－－看倾斜程度，变化快的线条陡，变化慢的线条缓.
如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间
的关系图，下列说法错误的是（ C ）
C
A. A地与B地之间的距离是180 km
B. 前3 h汽车行驶的速度是40 km/h
C. 汽车中途共休息了5 h
D. 汽车返回时的速度是60 km/h
考点精研
2
平面直角坐标系中点的坐标特征
1. （2024扬州）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称
点P'的坐标为（ A ）
A. （－1，－2） B. （－1，2）
C. （1，－2） D. （1，2）
A
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14
2. 在平面直角坐标系中，点P（－3，a2＋1）所在象限是
（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
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14
3. 在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与
点A2关于y轴对称.已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（ D ）
A. （－2，1） B. （－2，－1）
C. （－1，2） D. （－1，－2）
D
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14
4. （2024宿迁）点P（x2＋1，－3）在第 象限.
四
5. （2023宿迁）平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴对称的点的坐
标是 .
（2，－3）
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14
6. （2023连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴
上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角
度分别为30°，60°，90°，120°，…，330°的射线，这样就建立了
“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A，B，C
的坐标分别表示为A（6，60°），B（5，180°），C（4，330°），则
点D的坐标可以表示为 .
（3，150°）
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14
7. （2022南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按
如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，
1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），
（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第
个点. 重难点拨
99
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14
8. （2023宿迁）如图，△ABC是正三角形，点A在第一象限，点B（0，
0），C（1，0）.将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP1；将线
段BP1绕点B按顺时针方向旋转120°至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方
向旋转120°至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120°至
CP4；……以此类推，则点P99的坐标是 .
（－49，50 ）
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14
函数及自变量的取值范围
9. （2024无锡）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ D ）
A. x≠3 B. x＞3
C. x＜3 D. x≥3
D
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14
10. （2023无锡）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ C ）
A. x＞2 B. x≥2
C. x≠2 D. x＜2
C
11. （2024常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表
达式为 .
y＝10－2x
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14
函数图像的判断与分析
12. （2024南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间
的路程为20 km.两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：
h）之间的对应关系如图所示.根据图像信息，下列说法正确的是（ D ）
D
A. 甲比乙晚出发1 h
B. 乙全程共用2 h
C. 乙比甲早到B地3 h
D. 甲的速度是5 km/h
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14
13. （2023盐城）如图，关于x的函数y的图像与x轴有且仅有三个交点，
坐标分别是（－3，0），（－1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y
＞0时，－3＜x＜－1；②当x＞－3时，y有最小值；③点P（m，－m－
1）在函数y的图像上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图像向右平
移1个或3个单位长度后经过原点.其中正确的结论有 重难点拨
（ C ）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
C
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14
14. （2023南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20.点
D从点A出发沿折线A－C－B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足
为E. 设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如
图2所示，则a－b的值为（ B ）
A. 54 B. 52
C. 50 D. 48
B
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14(共24张PPT)
目录
考点梳理
考点 利用一次函数解决实际问题
考点精研
命题点1 利润（费用）最值问题
命题点2 行程（工程）问题
命题点3 方案选取问题
第3节 一次函数的实际应用
考点梳理
1
利用一次函数解决实际问题
1. 一次函数的实际应用关键在于通过建立一次函数模型解决实际问题，其
基本解题思路如下：
问题情境→建立模型→解决问题→拓展应用
2. 对于利润（费用）最值问题，常涉及一次函数的增减性与解不等式，解
题时主要要结合实际意义确定自变量的取值范围.
3. 对于行程（工程）问题，常涉及一次函数图像的性质以及分段函数，要
关注转折点、交点（两直线的交点或与坐标轴的交点）等特殊点，并弄清
横轴、纵轴以及特殊点坐标的实际意义.
4. 对于方案选取问题，要注意结合自变量的取值范围列出所有可行方案，
再挑选最佳方案.
考点精研
2
利润（费用）最值问题
1. （2024无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两
种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动 用品/件 B型劳动 用品/件 合计金额/元
第一次 20 25 1 150
第二次 10 20 800
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3
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5
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（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
解析：（1）设A型劳动用品的单价为x元，B型劳动用品的单价为y元，
则解得
答：A型劳动用品的单价为20元，B型劳动用品的单价为30元.
1
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5
6
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动
用品购买数量不少于10件且不多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要
多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
（2）设购买A型劳动用品a件，则购买B型劳动用品（40－a）件，
根据题意可得10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
则W＝20a＋30（40－a）＝－10a＋1 200，
∵－10＜0，∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝－10×25＋1 200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元.
1
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3
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5
6
2. （2024宿迁）某商店购进A，B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念
品B的单价高10元.用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数
量相同.
（1）求纪念品A，B的单价分别是多少元；
解析：（1）设纪念品A的单价为x元，则纪念品B的单价为（x－10）元，
则 ＝ ，解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴x－10＝20.
答：纪念品A，B的单价分别是30元和20元.
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6
（2）商店计划购买纪念品A，B共400件，且纪念品A的数量不少于纪
念品B数量的2倍，若总费用不超过11 000元，如何购买这两种纪念品
使总费用最少？
解析：（2）设纪念品A购进a件，总费用为y元，
则y＝30a＋20（400－a）＝10a＋8 000，
∵
∴ ≤a≤300，
∵10＞0，∴y随a的增大而增大，
∵a为整数，
∴当a＝267时，购买这两种纪念品使总费用最少，此时纪念品A购进267件，纪念
品B购进400－267＝133件.
1
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6
3. （2023扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔
需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头
盔30只，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
解析：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得解得
答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元.
1
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5
6
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促
销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只
降价6元出售.如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一
半，那么应购进多少只甲种头盔，才能使此次购进头盔的总费用最
小？最小费用是多少元？
1
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6
解析：（2）设此次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥ （40－m），解得m≥ ，
w＝65×0.8m＋（54－6）（40－m）＝4m＋1 920，
∵4＞0，∴w随m的增大而增大，
又∵m是正整数，∴当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4＋1 920＝1 976（元）.
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1 976元.
1
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6
行程（工程）问题
4. （2023淮安）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行
驶，快车到达乙地卸装货物用时30 min，结束后，立即按原路以另一速度匀
速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70 km/h.两车之间的距离y
（km）与慢车行驶的时间x（h）的函数图像如图所示.
（1）请解释图中点A的实际意义；
解析：（1）点A的实际意义是出发3 h，快车到达乙地，
此时快车与慢车相距120 km.
1
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5
6
（2）求出图中线段AB所表示的函数表达式；
解析：（2）∵点B的横坐标为3＋ ＝3.5，点B的纵坐标为120－ ×70＝85，
∴点B的坐标为（3.5，85）.
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kx＋b，
将A（3，120），B（3.5，85）代入，
得解得
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝－70x＋330（3≤x≤3.5）.
1
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6
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求快车还需多
长时间才能到达甲地.
解析：（3）快车从返回到遇见慢车所用的时间为4－3.5＝0.5（h），
∴快车从乙地返回甲地时的速度为85÷0.5－70＝100（km/h），
∵4×70÷100＝2.8（h），
∴两车相遇后，快车以返回的速度继续向甲地行驶，还需2.8 h才能到达甲地.
1
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6
方案选取问题
5. 某市童话乐园门票价格如图所示，甲、乙两校计划在“国庆”黄金周期
间组织员工及家属到该景点游玩.两校组织游玩人数之和为90，乙校组织游
玩人数不超过40，设甲校组织游玩人数为x.如果甲、乙两校分别购买门
票，两校门票之和为W元.
1
2
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4
5
6
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
解析：（1）∵两校组织游玩人数之和为90，乙校组织游玩人数不超过40，
∴50≤x＜90，
当50≤x≤80时，W＝90x＋100（90－x）＝－10x＋9 000；
当80＜x＜90时，W＝70x＋100（90－x）＝－30x＋9 000.
∴W＝
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6
（2）若甲校人数不超过80，请说明甲、乙两校联合购票比分别购票最多可
节约多少钱；
解析：（2）甲、乙两校联合购票需90×70＝6 300（元），
∵甲校人数不超过80，∴50≤x≤80，
由（1）可得，W＝－10x＋9 000，
当x＝50时，W取最大值，为8 500，
∵8 500－6 300＝2 200（元），
∴最多可节约2 200元.
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（3）“国庆”黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数
不超过40时，门票价格不变；人数超过40但不超过80时，每张门票降
价a元；人数超过80时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若
甲、乙两校“国庆”黄金周之后去游玩，联合购票比分别购票最多可
节约3 500元，求a的值.
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解析：（3）甲、乙两校联合购票需90（70－2a）元，甲、乙两校分别购票需100
（90－x）＋（90－a）x＝[（－10－a）x＋9 000]元.
∵最多可节约3 500元，
∴当节约的钱数最多时，x＝50，
∴50（90－a）＋100×（90－50）－90（70－2a）＝3 500，
解得a＝10.
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6
6. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3 km～10 km的出行市
场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图像反映了收费y（元）与
骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的
收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）说出图中函数y1，y2的图像交点P表示的实际意义；
解析：（1）由图像可得，P（20，8），
交点P表示的实际意义是当骑行时间为20 min时，
A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元.
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5
6
（2）求y1，y2关于x的函数表达式；
解析：（2）设y1＝k1x，将（20，8）代入，得20k1＝8，
解得k1＝0.4，∴y1＝0.4x（x＞0）.
由图像可知，当0＜x≤10时，y2＝6，
设当x＞10时，y2＝k2x＋b，
将（10，6），（20，8）代入，得
解得∴当x＞10时，y2＝0.2x＋4，
∴y2＝
1
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6
（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上
班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300 m/min，小明家到工
厂的距离为9 km，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱；（填“A”
或“B”）
②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？
解析：（3）②当0＜x≤10时，y2－y1＝3，
∴6－0.4x＝3，解得x＝7.5；
当x＞10时，y2－y1＝3或y1－y2＝3，
∴0.2x＋4－0.4x＝3或0.4x－（0.2x＋4）＝3，
解得x＝5（舍去）或x＝35.
综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元.
B
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3
4
5
6(共46张PPT)
目录
考点梳理
考点1 反比例函数的图像和性质
考点2 反比例函数表达式的确定
考点3 反比例函数系数k的几何意义
考点4 反比例函数的实际应用
考点精研
命题点1 反比例函数的图像和性质
命题点2 反比例函数表达式的确定
命题点3 反比例函数系数k的几何意义
命题点4 反比例函数的实际应用
第4节 反比例函数
考点梳理
1
反比例函数的图像和性质
1. 反比例函数的概念
一般地，形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.
提醒
反比例函数的表达式除了y＝ 外，也可以写成y＝kx－1或xy＝k
（k≠0）.
2. 反比例函数的图像和性质
函数 反比例函数y＝ （k是常数，k≠0）
图像 k＞0 k＜0
所在 象限 第 象限 第 象限
增减性 在每一象限内，y随x的增大
而 在每一象限内，y随x的增大
而
一、三
二、四
减小
增大
与坐标 轴关系 双曲线的每个分支都无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.｜k｜
越大，图像离坐标轴越远
对称性 （1）轴对称图形：对称轴为直线y＝ 和y＝ ；
（2）中心对称图形：关于 成中心对称，如双曲线一支上
的点A（a，b）关于原点的对称点A'（－a，－b）在双曲线的另一支上
x
－x
原点
提醒
理解反比例函数的增减性时，“在每一象限内”这一条件不能少.
1. 下列函数中，能表示y是x的反比例函数的是（ A ）
A. y＝－ B. y＝
C. y＝ D. y＝ －2
A
2. 关于反比例函数y＝－ 的图像，下列说法正确的是（ C ）
A. 图像经过点（1，1）
B. 两个分支关于x轴成轴对称
C. 两个分支分布在第二、四象限
D. 当x＜0时，y随x的增大而减小
C
3. 若点A（－3，a），B（－1，b），C（2，c）都在反比例函数y＝
的图像上，则a，b，c的大小关系为（ B ）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
B
4. 已知函数y＝（m－1） 是反比例函数，则m的值为 .
－1
5. 已知反比例函数y＝ 的图像位于第一、三象限，则常数k的取值范
围是 .
k＞
反比例函数表达式的确定
用待定系数法确定反比例函数表达式的步骤
（1）设反比例函数的表达式为y＝ （k≠0）；
（2）找出反比例函数图像上的一点P（a，b）；
（3）将P（a，b）代入表达式，得k＝ab；
（4）确定反比例函数的表达式为y＝ .
1. 某反比例函数的图像过点（－1，6），则该反比例函数的表达式为
.
y＝
－
2. 已知y与x－1成反比例，并且当x＝3时，y＝4，则y与x之间的函数表
达式为 .
y＝
反比例函数系数k的几何意义
如图，在反比例函数y＝ 的图像上任取一点P（x，y），过这一点分别
作x轴，y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝
PM·PN＝ ＝ .
｜y｜·｜x｜
｜k｜
提醒
常见反比例函数图像上有关的图形面积
图示 图形面积
S△AOB＝ ｜ab｜＝ ｜k｜
S△ABC＝ ｜ab｜＝ ｜k｜
图示 图形面积
S△ABC＝｜ab｜＝｜k｜
S△ABC＝2｜ab｜＝2｜k｜
图示 图形面积
S ABCD＝｜ab｜＝｜k｜
S ABCD＝2｜ab｜＝2｜k｜
1. 如图，A是反比例函数y＝ 的图像上一点，AB⊥y轴于点B，若
△ABO的面积为2，则k的值为 .
4
2. 如图，直线x＝2与反比例函数y＝ 和y＝－ 的图像分别交于A，B两
点，若点P是y轴上任意一点，连接PA，PB，则△PAB的面积是 .
5
反比例函数的实际应用
反比例函数是实际生活和生产中的一类问题的数学模型.解决这类问题时，
需要先列出符合题意的反比例函数表达式，然后利用反比例函数的性质，
以及综合运用方程、方程组、不等式等相关知识求解，常见的问题有行程
问题、工程问题以及与实际情境结合的分段函数问题.
考点精研
2
反比例函数的图像和性质
1. （2024扬州）在平面直角坐标系中，函数y＝ 的图像与坐标轴的交点
个数是（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
B
2. （2024无锡）某个函数的图像关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增
大而增大.请写出一个符合上述条件的函数表达式： .
y＝－ （答案不唯一）
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3. （2024无锡）在探究“反比例函数的图像与性质”时，小
明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标
系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图
所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度
后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y＝ 的图像上，则a的值为 .
2或3
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4. （2024连云港）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋1
（k≠0）的图像与反比例函数y＝ 的图像交于点A，B，与y轴交于点
C，点A的横坐标为2.
（1）求k的值；
解析：（1）∵点A在函数y＝ 的图像上，
又当x＝2时，y＝ ＝3，∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝kx＋1，得k＝1.
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（2）利用图像直接写出kx＋1＜ 时x的取值范围；
解析：（2）由（1）知，一次函数的表达式为y＝x＋1，
由解得或
∴A（2，3），B（－3，－2），
根据图像可知，x的取值范围为x＜－3或0＜x＜2.
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（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度，与函数y＝ （x＞
0）的图像交于点D，与y轴交于点E，再将函数y＝ （x＞0）的图像沿
AB平移，使点A，D分别平移到点C，F处，求图中阴影部分的面积.
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解析：（3）由（1）及已知得，C（0，1），CE＝4.
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，连接AD，CF，
∵CE＝4，又易知∠CEG＝45°，∴CG＝2 .
∵A（2，3），C（0，1），∴AC＝2 .
由平移性质可知，阴影部分面积与 ACFD的面积相等，
∴阴影部分的面积为2 ×2 ＝8.
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反比例函数表达式的确定
5. （2024扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点
B在反比例函数y＝ （x＞0）的图像上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝
30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像
上，则k的值为 .
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解析：（1）∵一次函数y＝kx＋b的图像与反比例函数y＝ 的图像相交于点A
（－1，n），B（2，1），
∴m＝2×1＝－1·n，∴m＝2，n＝－2，
∴反比例函数的表达式为y＝ ，A（－1，－2），
将A（－1，－2），B（2，1）代入y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝x－1.
6. （2024常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的
图像与反比例函数y＝ 的图像相交于点A（－1，n），B（2，1）.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
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（2）连接OA，OB，求△OAB的面积.
解析：（2）设直线AB与y轴交于点C，如图，
对于y＝x－1，当x＝0时，y＝－1，
∴C（0，－1），
∴△OAB的面积＝ OC·｜xB－xA｜＝ ×1×（2＋1）＝ .
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7. （2024镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y
＝2x＋m的图像与x轴、y轴交于A（－3，0），B两点，与反比例函数y
＝ （k≠0）的图像交于点C（1，n）.
（1）求m和k的值；
解析：（1）∵一次函数y＝2x＋m的图像过A（－3，0），
∴2×（－3）＋m＝0，∴m＝6，
∵C（1，n）在函数y＝2x＋6的图像上，
∴n＝2×1＋6＝8，
∵C（1，8）在函数y＝ 的图像上，∴k＝8.
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（2）已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y＝
（k≠0）的图像上.当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标.
解析：（2）P的坐标是（6， ）；
当P在反比例函数y＝ （k≠0）图像的左半支上时，
设P的坐标是（b， ），
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴ OB·（－b）＝ OB2，∴b＝－OB＝－6，
∴ ＝－ ，∴P的坐标是（－6，－ ）.
综上，P的坐标为（6， ）或（－6，－ ）.
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8. （2024盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，
并把矩形直尺放在上面，如图.
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数的表达式；
解析：（1）由题图可知点A的坐标为（－3，2），
设反比例函数的表达式为y＝ ，
∵反比例函数的图像过点A，
∴k＝－6，∴反比例函数的表达式为y＝－ .
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（2）点C的坐标.
解析：（2）易得直线OA的函数表达式为y＝－ x，
由图像可知，直线OA向上平移3个单位长度得到直线BC，
∴直线BC的函数表达式为y＝－ x＋3，
由解得或
∴C（－ ，4）.
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9. （2024苏州）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（－2，
0），C（6，0），反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图像与AB交于点
D（m，4），与BC交于点E. 重难点拨
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解析：（1）∵A（－2，0），C（6，0），∴AC＝8.
又∵AC＝BC，∴BC＝8.
∵∠ACB＝90°，∴B（6，8）.
设直线AB的函数表达式为y＝ax＋b，
将A（－2，0），B（6，8）代入y＝ax＋b，
得解得
∴直线AB的函数表达式为y＝x＋2.
将D（m，4）代入y＝x＋2，得m＝2，∴D（2，4），
将D（2，4）代入y＝ ，得4＝ ，解得k＝8.
（1）求m，k的值；
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（2）点P为反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）图像上一动点（点P在D，
E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过
点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求
出此时点P的坐标.
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解析：（2）如图，延长NP交y轴于点Q，交AB于点L.
∵AC＝BC，∠BCA＝90°，∴∠BAC＝45°，
∵PN∥x轴，∴∠BLN＝∠BAC＝45°，∠NQM＝90°，
∵AB∥MP，∴∠MPL＝∠BLP＝45°，∠QMP＝∠QPM＝45°，
∴QM＝QP，
设点P的坐标为（t， ），则PQ＝t，PN＝6－t，MQ＝PQ＝t，
∴S△PMN＝ PN·MQ＝ （6－t）t＝－ （t－3）2＋ ，
∵2＜t＜6，
∴当t＝3时，S△PMN有最大值，为 ，此时P（3， ）.
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反比例函数系数k的几何意义
10. （2024苏州）如图，点A为反比例函数y＝－ （x＜0）图像上的一
点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝ （x＞0）的图像交
于点B，则 的值为（ A ）
A. B. C. D.
A
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11. （2024宿迁）如图，点A在双曲线y1＝ （x＞0）上，连接AO并延
长，交双曲线y2＝ （x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，
连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
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反比例函数的实际应用
12. （2024连云港）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力
臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F N，动力臂为l
m，则动力F关于动力臂l的函数表达式为 .
F＝
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13. （2024南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电
流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，函数图像如图
所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10 A，那么用
电器可变电阻R应控制的范围是 .
R≥3.6
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14. （2023南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单
位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图像如图所示.
若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30 m/s，则所受阻力F为 N.
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500
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15. 小丽家饮水机中原有水的温度为20 ℃，通电开机后，饮水机自动开始
加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（min）满足一次函数关系，当
加热到100 ℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）
与开机时间x（min）成反比例关系，当水温降至20 ℃时，饮水机又自动开
始加热，……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答
问题： 重难点拨
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（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（min）的函数关系式；
解析：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（min）的函数关系式为y
＝kx＋b，
依据题意，得
解得
∴此函数关系式为y＝8x＋20.
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（2）求图中t的值；
解析：（2）当10≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（min）的函数表达式为y＝ ，
依据题意，得100＝ ，解得m＝1 000，
故y＝ ，当y＝20时，20＝ ，解得t＝50.
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（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70 min回到家
时，饮水机内的水温约为多少摄氏度.
解析：（3）∵70－50＝20＞10，∴当x＝20时，y＝ ＝50.
答：小丽散步70 min回到家时，饮水机内的水温约为50 ℃.
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15(共36张PPT)
目录
考点梳理
考点1 一次函数的图像与性质
考点2 一次函数表达式的确定
考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系
考点精研
命题点1 一次函数的图像与性质
命题点2 一次函数表达式的确定
命题点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系
第2节 一次函数
考点梳理
1
一次函数的图像与性质
1. 一次函数与正比例函数的概念
（1）一次函数：形如y＝ （k，b是常数，k≠0）的函数.
（2）正比例函数：形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数.
kx＋b
kx
2. 一次函数图像的特征
（1）一次函数y＝kx＋b的图像与y轴交于点（0， ），与x轴交于点
（ ，0），画一次函数图像时，通常找出图像与x轴、y轴的交点，
再连线.
b
－
（2）一次函数图像的平移
平移前的表达式 平移方式（m＞0） 平移后的表达式 简记
y＝kx＋b （k≠0） 向左平移m 个单位长度 y＝k（x ）＋b 左加
右减
向右平移m 个单位长度 y＝k（x ）＋b
向上平移m 个单位长度 y＝kx＋b 上加
下减
向下平移m 个单位长度 y＝kx＋b 上加
下减
＋m
－m
＋m
－m
提醒
一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积
图形 面积
一条直 线与坐标轴 S△AOB＝ AO·BO＝ ｜xA｜·｜yB｜
图形 面积
两条直 线与x轴 S△ABC＝ BC·AD＝ ｜xC－xB｜·｜yA｜
图形 面积
两条直 线与y轴 S△ABC＝ BC·AD＝ ｜yB－yC｜·｜xA｜
3. 一次函数图像和性质
对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），其图像与性质如下：
k的符号 k＞0
b的符号 b＞0 b＝0 b＜0
图像
图像分 布象限 第 象限 第 象限 第
象限
图像性质 y随x的增大而
k的符号 k＜0
b的符号 b＞0 b＝0 b＜0
一、二、三
一、三
一、三、四
增大
图像
图像 分布象限 第 象限 第 象限 第
象限
图像性质 y随x的增大而
一、二、四
二、四
二、三、四
减小
1. 下列关于一次函数y＝－2x＋2的说法中，错误的是（ B ）
A. 函数图像经过第一、二、四象限
B. 函数图像与x轴的交点坐标为（2，0）
C. 当x＞0时，y＜2
D. y的值随着x值的增大而减小
B
2. 已知函数y＝（m＋1） ＋m＋2是正比例函数，则m的值是 .
－2
3. 将直线y＝2x－5向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式为
.
y＝
2x－2
4. 函数y＝2x－3的图像与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点
坐标是 ，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 .
（ ，0）
（0，－3）
5. 当k 时，函数y＝（2k－3）x＋（1－m）随x的增大而减小.
＜1.5
6. 已知一次函数y＝－4x＋2，当－1≤x≤4时，y的最大值是 .
6
一次函数表达式的确定
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
设 设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）
列 找到两个已知点的坐标，并代入所设函数表达式，得到关于
k，b的方程组
解 解方程组，求出k，b的值
代 把得到的k，b的值代入y＝kx＋b中，写出一次函数的表达式
1. 已知y与x－2成正比例，且当x＝1时，y＝－2，则y与x的函数表达式
是 .
y＝2x－4
2. 根据下列条件，分别确定一次函数的表达式：
（1）图像过P（1，－4），Q（－3，4）；
解析：（1）设一次函数的表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴一次函数的表达式为y＝－2x－2.
（2）图像与直线y＝3x－2平行，且过点（1，6）.
解析：（2）设一次函数的表达式为y＝3x＋b，
则3×1＋b＝6，解得b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝3x＋3.
一次函数与方程（组）、不等式的关系
1. 一次函数与方程（组）的关系
如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A，与函数y＝k1x＋b1的图
像交于点B.
（1）一次函数的表达式就是一个二元一次方程；
（2）点A的横坐标是方程 的解；
（3）点B的横、纵坐标的值是方程组 的解.
kx＋b＝0
2. 一次函数与不等式的关系
如图1，一次函数y＝kx＋b（k＜0）的图像与x轴交于点A（x1，y1）；
如图2，一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图像交于点B
（x2，y2）.
（1）①一次函数y＝kx＋b的图像位于x轴上方部分所对应x的取值范围
不等式 的解集，即x＜x1；
②一次函数y＝kx＋b的图像位于x轴下方部分所对应x的取值范围 不等
式kx＋b＜0的解集，即 ；
kx＋b＞0
x＞x1
（2）①一次函数y＝k1x＋b1的图像在一次函数y＝k2x＋b2的图像下方部
分所对应x的取值范围 不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集，即 ；
②一次函数y＝k1x＋b1的图像在一次函数y＝k2x＋b2的图像 方部分
所对应x的取值范围 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集，即 .
x＜x2
上
x＞x2
1. 已知函数y＝ax＋b的图像如图所示.
（1）方程ax＋b＝0的解是 ；
（2）不等式ax＋b＞0的解集是 ；
（3）不等式ax＋b≤0的解集是 .
x＝－3
x＞－3
x≤－3
2. 直线y1＝k1x＋a与y2＝k2x＋b的图像如图.
（1）当x 时，k1x＋a＝k2x＋b；
（2）当x 时，k1x＋a＞k2x＋b；
（3）当x 时，k1x＋a＜k2x＋b.
＝2
＞2
＜2
考点精研
2
一次函数的图像与性质
1. （2024泰州三模）若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像经过点（2，
3），（3，m），则下列结论正确的是（ A ）
A. 若k＞0，则m＞0 B. 若k＞0，则m＜0
C. 若k＜0，则m＞0 D. 若k＜0，则m＜0
A
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2. （2023无锡）将函数y＝2x＋1的图像向下平移2个单位长度，所得图像
对应的函数表达式是（ A ）
A. y＝2x－1 B. y＝2x＋3
C. y＝4x－3 D. y＝4x＋5
A
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3. （2024宿迁泗洪三模）已知关于x的一次函数为y＝mx＋4m＋3，那么
这个函数的图像一定经过（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
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4. （2023无锡）请写出一个一次函数的表达式，使得它的图像经过点（2，
0）： .
y＝x－2（答案不唯一）
5. （2024镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x＋1的图像
上，则y1 y2（用“＜”“＝”或“＞”填空）.
＜
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6. （2024泰州姜堰一模）已知一次函数y＝ax＋b（a，b是常数，且
a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表： 重难点拨
x … c c＋1 c＋2 …
y … n －n2－n－2 m …
则m n.（填“＞”“＝”或“＜”）
＜
7. （2023南通）已知一次函数y＝x－k，若对于x＜3范围内任意自变量x
的值，其对应的函数值y都小于2k，则k的取值范围是 .
k≥1
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一次函数表达式的确定
8. （2023苏州）已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（1，
3）和（－1，2），则k2－b2＝ .
－6
9. （2024苏州）直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针
旋转15°，得到直线l2，则直线l2的函数表达式是 .
y＝ x－
10. （2024南京鼓楼二模）一次函数y＝ x＋3的图像沿直线l翻折后与x轴
重合，则直线l的函数表达式是 .
y＝ x＋ 或y＝－3x－12
1
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3
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5
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11. （2024南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）.
直线y＝kx＋b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分
成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为 .
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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋4（k≠0）与x轴、y
轴交于A，B两点，点C是BO的中点且tan∠ABO＝ .
（1）求直线AC的函数表达式；
解析：（1）∵直线AB：y＝kx＋4（k≠0）与y轴交于点B，∴B（0，4），
∵tan∠ABO＝ ＝ ，∴AO＝2，即A（－2，0），
∵C是BO中点，∴C（0，2），
设直线AC的函数表达式为y＝k1x＋b，
∴解得
∴直线AC的函数表达式为y＝x＋2.
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（2）若点M是直线AC上的一点，则当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐
标.
解析：（2）∵S△AOC＝ ×2×2＝2，且C是OB中点，
∴S△ABM＝2S△AOC＝4，S△ABC＝S△AOC＝2.
设M（x，x＋2），分两种情况讨论：
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①当M在C点右侧时，如图1，
∵S△ABM＝S△ABC＋S△BCM，
∴4＝2＋ ×2·x，
解得x＝2，∴M（2，4）.
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②当M在点C左侧时，如图2，
∵S△BCM＝S△ABC＋S△ABM，
∴ ×2·（－x）＝2＋4，
解得x＝－6，∴M（－6，－4）.
综上，点M的坐标为（2，4）或（－6，－4）.
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一次函数与方程（组）、不等式的关系
13. 根据如图所示的图像，可得关于x的不等式kx＞－x＋3的解
集是（ D ）
A. x＜2 B. x＞2
C. x＜1 D. x＞1
D
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14. （2024扬州）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像分别与x
轴、y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0
的解为 .
x＝－2
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15. 如图，函数y＝－2x＋3与y＝－ x＋m的图像交于P（n，－2）.
（1）求m，n的值；
解析：（1）∵函数y＝－2x＋3的图像过P（n，－2），
∴－2＝－2n＋3，解得n＝ ，∴P（ ，－2）.
∵函数y＝－ x＋m的图像过P（ ，－2），
∴－2＝－ × ＋m，解得m＝－ .
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（2）直接写出不等式－ x＋m＞－2x＋3的解集；
解析：（2）不等式－ x＋m＞－2x＋3的解集为x＞ .
（3）求△ABP的面积.
解析：（3）对于y＝－2x＋3，当x＝0时，y＝3，∴A（0，3），
对于y＝－ x－ ，当x＝0时，y＝－ ，
∴B（0，－ ），∴AB＝ ，
∴S△ABP＝ AB× ＝ × × ＝ .
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15(共33张PPT)
目录
考点梳理
考点 二次函数的实际应用
考点精研
命题点1 面积最值问题
命题点2 抛物线形问题
命题点3 销售利润问题
第7节 二次函数的实际应用
考点梳理
1
二次函数的实际应用
1. 面积最值问题
当题目中要求有关图形的最大面积时，通常利用图形面积公式建立二次函
数模型，再利用二次函数图像的顶点坐标求出最值，确定自变量的取值范
围时，要结合实际情况.
2. 抛物线型问题
在实际问题中经常会遇到这样一类问题：某建筑物的形状呈抛物线形、某
物体运行的轨迹是抛物线，如隧道、拱门问题，喷泉、扔铅球问题等.具体
的解题思路如下：
（1）通过建立合适的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数图像
问题；
（2）弄清问题中的已知条件和所要解决的问题：
①已知二次函数表达式和某一点的横（纵）坐标求纵（横）坐标；
②已知函数图像上点的坐标求二次函数表达式.
3. 销售利润问题
（1）将利润表示成相关量的二次函数，即根据“利润＝（售价－成本价）
×销量”列出二次函数表达式；
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围，利用二次函数的性质求出最
大利润；
（3）写出问题的答案.
考点精研
2
面积最值问题
1. 为进一步落实“双减”政策，某校增设活动拓展课程－－开心农场.如
图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知
AB⊥BC，AB＝3 m，BC＝1 m）和总长为14 m的篱笆围建一个“日”字
形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是篱笆），点D
可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点
E在线段BC的延长线上.设DF的长为x m.
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①请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12 m2，求DF的长；
解析：（1）①∵DF的长为x m，点D在线段AB上，
∴EF＝14－2x－（x－1）＝（15－3x）m，
∵AB＝3，∴EF≤3，即15－3x≤3，∴x≥4.
②根据题意得x（15－3x）＝12，
解得x1＝4，x2＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），
∴x＝4.
答：DF的长为4 m.
（1）当点D在线段AB上时，
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（2）若点D在线段BA的延长线上，则当DF为多少米时，小型农场DBEF
的面积最大？最大面积为多少平方米？
解析：（2）设小型农场DBEF的面积为S m2，
点D在线段BA的延长线上，且x＜4，
则S＝ （14＋3＋1－3x）x＝－ x2＋9x＝－ （x
－3）2＋ ，∵a＝－ ＜0，3＜4，∴x＝3时，S有
最大值，为 ，∴DF为3 m时，小型农场DBEF的面
积最大，最大面积为 m2.
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2. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场
一面靠墙（墙的长度为15 m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它
分成面积比为1∶2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的
宽为x m（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
解析：（1）根据题意知，较大矩形的宽为2x m，
长为 ＝（8－x）m，
∴（x＋2x）（8－x）＝36，解得x＝2或x＝6，
x＝6时，3x＝18＞15，不符合题意，舍去，∴x＝2.
答：此时x的值为2.
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（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大面积为多少？
解析：（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为15 m，∴0＜x＋2x≤15，即0＜x≤5.
根据题意得y＝（x＋2x）（8－x）＝－3x2＋24x＝－3（x－
4）2＋48，
∵－3＜0，∴当x＝4时，y取最大值，最大值为48.
答：当x＝4时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为48 m2.
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抛物线形问题
3. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为
（－ ，－10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原
点O的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为
（1， ），正常情况下，运动员在距水面高度5 m以前必须完成规定的翻
腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动
路线为另一条抛物线. 重难点拨
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（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的函数表达式，并求出入水处B点
的坐标；
解析：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a0（x－1）2＋ ，
把（0，0）代入，得a0＝－ ，
∴抛物线的函数表达式为y＝－ （x－1）2＋ .
令y＝－10，则－10＝－ （x－1）2＋ ，
解得x1＝－2（舍），x2＝4，
∴入水处B点的坐标为（4，－10）.
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（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5 m，
问：该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
解析：（2）当距点E水平距离为5 m时
对应的横坐标为5－ ＝ ，
将x＝ 代入y＝－ （x－1）2＋ ，
得y＝－ ×（ －1）2＋ ＝－ ，
∵－ －（－10）＝ ＜5，∴该运动员此次跳水会失误.
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解析：（3）∵EM＝ m，EN＝ m，点E的坐标为（－ ，－10），∴点M，N的坐标分别为（9，－10），（12，－10），
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数表达式为y＝a（x－h）2＋k，且顶点C距水面4 m，
∴当抛物线过点M时，y＝a（x－ ）2－14，
把M（9，－10）代入，得a＝ ，
同理，当抛物线过点N（12，－10）时，a＝ ，
由点D在线段MN上，得a的取值范围为 ≤a≤ .
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝ m，EN＝
m，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数表达式为y＝a（x－h）
2＋k，且顶点C距水面4 m，若该运动员出水点D在线段MN上，求a的取
值范围.
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4. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目.如图，运动员通过助滑道后在点A处
腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处.腾空点A到
地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）
为3∶4.以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图
所示的平面直角坐标系.已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）.
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（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
解析：（1）∵OA为70 m，∴A（0，70），
设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把（0，70），（4，75），（8，78）代入，
得解得
∴二次函数的表达式为y＝－ x2＋ x＋70.
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（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
解析：（2）如图1，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M，N两点，
∵坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3∶4，
∴OB＝80 m，即B（80，0），
设线段BC的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴线段BC的函数表达式为y＝－ x＋60（0≤x≤80），
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设M（a，－ a2＋ a＋70），则N（a，－ a＋60），
则MN＝－ a2＋ a＋70＋ a－60＝－ a2＋ a＋10＝－
（a－18）2＋30.25.
∵－ ＜0，∴当a＝18时，MN取得最大值30.25 m.
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离是30.25 m.
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（3）落点P与坡顶C之间的距离为 m.
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销售利润问题
5. （2024盐城）请根据以下素材，完成探究任务.
制定加工方案
生产 背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有
“风”“雅”“正”三种样式.
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”
服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装
总件数和“风”服装相等
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制定加工方案
生 产 背 景 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂
的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如
果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
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制定加工方案
信息 整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表
如下：
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制定加工方案
探究 任务 任务1 探寻变量关
系 求x，y之间的数量关系
任务2 建立数 学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于
x的函数表达式
任务3 拟定加 工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
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解析：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70－x－y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70－x－y）×1＝2y，
整理得y＝－ x＋ .
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任务2：根据题意，得“雅”服装每天获利x[100－2（x－10）]元，
∴w＝2y×24＋（70－x－y）×48＋x[100－2（x－10）]，
整理得w＝（－16x＋1 120）＋（－32x＋2 240）＋（－2x2＋120x），
∴w＝－2x2＋72x＋3 360（x＞10）.
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任务3：由任务2，得w＝－2x2＋72x＋3 360＝－2（x－18）2＋4 008，
∴当x＝18时，获得最大利润，
此时y＝－ ×18＋ ＝ ，∴x≠18，
∵－2＜0，∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，y＝ ，不符合题意；
当x＝19时，y＝ ＝17，符合题意；∴70－x－y＝34.
综上，安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服
装，即可获得最大利润.
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6. （2023宿迁）某商场销售A，B两种商品，每件进价均为20元.调查发
现，如果售出A种商品20件，B种商品10件，销售总额为840元；如果售出A
种商品10件，B种商品15件，销售总额为660元.
（1）求A，B两种商品的销售单价；
解析：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得
解得
答：A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元.
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（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，售价每降价1元，
销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售
价.设A种商品降价m元，如果A，B两种商品销售量相同，求m取何值时，
商场销售A，B两种商品获得的总利润最大，最大利润是多少.
解析：（2）设利润为w元，
由题意可得w＝（30－m－20）（40＋10m）＋（24－20）（40＋10m）＝－10
（m－5）2＋810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30－m≥24，解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810.
答：m取5时，商场销售A，B两种商品获得的总利润最大，最大利润是810元.
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7. （2023无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后
出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销
售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
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解析：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx＋b，
将（22，48），（30，40）代入表达式，得
解得∴y＝－x＋70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为y＝mx＋n，
将（30，40），（45，10）代入表达式，得
解得∴y＝－2x＋100.
综上，y＝
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（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利
润最大？最大销售利润是多少？（销售利润＝（销售价格－采购价
格）×销售量）
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解析：（2）设利润为w元，
当22≤x≤30时，w＝（x－20）（－x＋70）＝－x2＋90x－1 400＝－（x－45）2＋625，
∵在22≤x≤30范围内，w随x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值，为400；
当30＜x≤45时，w＝（x－20）（－2x＋100）＝－2x2＋140x－2 000＝－2（x－35）2＋450，
当x＝35时，w取得最大值，为450.
∵450＞400，
∴当销售价格定为35元/kg时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大，
最大销售利润为450元.
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7(共38张PPT)
目录
考点梳理
考点1 二次函数表达式的确定
考点精研
命题点1 二次函数表达式的确定
命题点2 二次函数的各项系数与图像之间的关系
命题点3 二次函数与方程、不等式的关系
第6节 二次函数（2）
考点2 二次函数的各项系数与图像之间的关系
考点3 二次函数与方程、不等式的关系
考点梳理
1
二次函数表达式的确定
二次函数的表达式 选用条件
一般式y＝ax2＋bx＋c（a，
b，c为常数，a≠0） 已知抛物线上的任意三点坐标
顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0），其中（h，k）为抛物线的顶点坐标 已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值
交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）， 其中x1，x2为抛物线与x轴两交点的横坐标 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标
根据条件求抛物线的函数表达式：
（1）抛物线过（－1，－6），（0，－2）和（2，3）三点；
解析：（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意得解得
所以抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋ x－2.
（2）抛物线的顶点坐标为（－1，－1），且与y轴交点的纵坐标为－3；
解析：（2）设抛物线的函数表达式为y＝a（x＋1）2－1，
把（0，－3）代入，得a（0＋1）2－1＝－3，解得a＝－2，
所以抛物线的函数表达式为y＝－2（x＋1）2－1，
即y＝－2x2－4x－3.
（3）抛物线过（－1，0），（3，0）和（1，－5）三点.
解析：（3）设抛物线的函数表达式为y＝a（x＋1）（x－3），
把（1，－5）代入，得a（1＋1）×（1－3）＝－5，
解得a＝ ，
所以抛物线的函数表达式为y＝ （x＋1）（x－3），
即y＝ x2－ x－ .
二次函数的各项系数与图像之间的关系
关系 符号 图像特征
a的正负决定抛物线开口方向 a＞0 开口向
a＜0 开口向
c决定抛物线与y轴交点的位置 c＝0 抛物线过
c＞0 抛物线与y轴交于 半轴
c＜0 抛物线与y轴交于 半轴
上
下
原点
正
负
关系 符号 图像特征
a，b共同决定抛物线对称轴
的位置 b＝0 对称轴为 轴
a，b同号 对称轴在y轴 侧
a，b异号 对称轴在y轴 侧
由b2－4ac确定抛物线与x轴
交点的个数 b2－4ac＞
0 抛物线与x轴有 个交点
b2－4ac＝
0 抛物线与x轴有 个交点
b2－4ac＜
0 抛物线与x轴 交点
y
左
右
两
一
没有
提醒
与系数有关的常见代数式的判断
（1）当x＝1时，y＝a＋b＋c，若a＋b＋c＞0，则当x＝1时，y＞0；
（2）当x＝－1时，y＝a－b＋c，若a－b＋c＞0，则当x＝－1时，y＞0；
（3）当x＝2时，y＝4a＋2b＋c，若4a＋2b＋c＜0，则当x＝2时，y＜0；
（4）当x＝－2时，y＝4a－2b＋c，若4a－2b＋c＜0，则当x＝－2
时，y＜0.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则①a 0；
②b 0；③c 0；④2a－b 0；⑤a＋b＋c 0；⑥a
－b＋c 0；⑦4a＋2b＋c 0.（填“＞”“＜”或“＝”）
＜
＜
＜
＜
＜
＜
＜
二次函数与方程、不等式的关系
1. 二次函数与一元二次方程
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点
的横坐标.
判别式b2－4ac与0的关系 方程ax2＋bx＋c＝0 的实数根情况 抛物线y＝ax2＋bx
＋c
与x轴的交点个数
b2－4ac＞0 两个 的实数根
b2－4ac＝0 两个 的实数根
b2－4ac＜0 实数根
不相等
2
相等
1
没有
0
2. 二次函数与不等式
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）.
图示
不等式 ax2＋ bx＋c＞0 ax2＋ bx＋c＜0 ax2＋ bx＋c＞0 ax2＋
bx＋c＜0
解集
x＜x1或
x＞x2
x1＜x＜x2
x1＜x＜x2
x＜x1或
x＞x2
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与一次函数y＝mx＋n的图像交于A
（x1，y1），B（x2，y2）.
图示
不等式 ax2＋bx＋ c＜mx＋n ax2＋bx＋ c＞mx＋n
解集 x＜x1或 x＞x2 x1＜x＜x2 x＜x1或
ax2＋bx＋
c＞mx＋n
ax2＋bx＋
c＜mx＋n
x1＜x＜x2
x＞x2
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，请直接写出不等
式ax2＋bx＋c＞0的解集： .
1＜x＜3
2. 如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n相交于点（3，0）和
（0，3），若ax2＋bx＋c＞mx＋n，则x的取值范围是 .
x＜0或x＞3
考点精研
2
二次函数表达式的确定
1. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，
5≤y≤8，则a的值为（ C ）
A. 1 B. 2 C. ±1 D. ±2
C
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2. （2024苏州）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像过点A（0，
m），B（1，－m），C（2，n），D（3，－m），其中m，n为常
数，则 的值为 － . 重难点拨
－
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3. （2024扬州）如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像与x轴交于A
（－2，0），B（1，0）两点.
（1）求b，c的值；
解析：（1）把A（－2，0），B（1，0）代入y＝－x2＋bx＋c，
得
解得
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（2）若点P在该二次函数的图像上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
解析：（2）由（1）知，二次函数的表达式为y＝－x2－x＋2，
设点P坐标为（m，－m2－m＋2），
∵△PAB的面积为6，AB＝1－（－2）＝3，
∴S△PAB＝ AB·｜yP｜＝ ×3×｜－m2－m＋2｜＝6，
∴｜m2＋m－2｜＝4，即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4，解得m＝－3或m
＝2，
∴P的坐标为（－3，－4）或（2，－4）.
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4. （2024南通）已知函数y＝（x－a）2＋（x－b）2（a，b为常数）.
设自变量x取x0时，y取得最小值.
（1）若a＝－1，b＝3，求x0的值；
解析：（1）由题意知y＝（x＋1）2＋（x－3）2＝x2＋2x＋1＋x2－6x＋9＝2x2－
4x＋10＝2（x2－2x＋1）＋8＝2（x－1）2＋8，
∴当x＝1时，y取得最小值，∴x0＝1.
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（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝－ 上，且x0
＝ ，求点P到y轴的距离；
解析：（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝－ 上，
∴b＝－ ，
∴y＝（x－a）2＋（x－b）2
＝（x－a）2＋（x＋ ）2
＝x2－2ax＋a2＋x2＋ x＋（ ）2
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＝2x2＋（ －2a）x＋a2＋（ ）2，
∵x0＝ ，∴－ ＝ ，
整理，得a2－a－2＝0，解得a1＝2，a2＝－1，
∴点P到y轴的距离为2或1.
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（3）当a2－2a－2b＋3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数.
解析：（3）y＝（x－a）2＋（x－b）2＝x2－2ax＋a2＋x2－2bx＋b2＝2x2－
（2a＋2b）x＋a2＋b2，
∵a2－2a－2b＋3＝0，∴a2＋3＝2a＋2b，
∴y＝2x2－（a2＋3）x＋a2＋b2，
∵1≤x0＜3，∴1≤－ ＜3，
整理，得1≤a2＜9，
∵a为整数，
∴a＝－2，－1，1，2，共4个.
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5. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为P（m，n）.
（1）若函数图像经过（1，0），对称轴是过（－2，0）且垂直于x轴的直
线，求a，b的值和顶点坐标；
解析：（1）∵函数图像经过点（1，0），对称轴是过点（－2，0）且垂直于x轴的
直线，
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－ x2－ x＋3，
∴y＝－ x2－ x＋3＝－ （x＋2）2＋ ，
∴顶点坐标为（－2， ）.
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（2）若a＝1，－1＜b＜2，求n关于m的函数表达式，并直接写出n的取
值范围；
解析：（2）∵a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋bx＋3，
∵抛物线的顶点为P（m，n），
∴m＝－ ，n＝ ，∴b＝－2m，∴n＝3－m2，
∵－1＜b＜2，∴－1＜－2m＜2，∴－1＜m＜ ，
m＝0时，n＝3；m＝－1时，n＝2，
∴n的取值范围是2＜n≤3.
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（3）若b＝2，直接写出抛物线的顶点P与原点O的距离的最小值.
解析：（3）∵b＝2，∴抛物线的函数表达式为y＝ax2＋2x＋3，
∴m＝－ ＝－ ，
∴n＝a· － ＋3＝－ ＋3＝m＋3，
∴P（m，m＋3），
∴OP2＝m2＋（m＋3）2＝2m2＋6m＋9＝2（m＋ ）2＋ ，
∴OP2的最小值为 ，
∴顶点P与原点O的距离的最小值为 .
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二次函数的各项系数与图像之
间的关系
6. （2024连云港）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＜
0）的顶点为（1，2）.小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，
y随x的增大而减小；③若ax2＋bx＋c＝0的一个根为3，则a＝－ ；④抛
物线y＝ax2＋2是由抛物线y＝ax2＋bx＋c向左平移1个单位，再向下平移2
个单位得到的.其中一定正确的是 重难点拨（ B ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
B
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7. 函数y＝（k＋1）x2－2x＋1的图像与x轴有交点，则k的取值范围
是 .
k≤0
8. 已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实
数m的值为 .
1或－
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9. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于A，B两点，直线y＝kx＋b
（k≠0）与抛物线交于A，C两点，已知A（－1，0），C（2，m）.
（1）求直线AC的函数表达式；
解析：（1）把A（－1，0）代入y＝－x2＋2x＋c，得c＝3，
∴y＝－x2＋2x＋3，
将C（2，m）代入，得m＝3，∴C（2，3）.
把A（－1，0），C（2，3）代入y＝kx＋b，
得
解得
∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1.
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（2）若将直线AC沿y轴的正方向平移n个单位长度后，与抛物线只有一个
公共点，求此时n的值.
解析：（2）直线AC沿y轴的正方向平移n个单位长度后的直线为y＝x＋1＋n，
令－x2＋2x＋3＝x＋1＋n，
整理，得x2－x＋n－2＝0，
∵直线y＝x＋1＋n与抛物线只有一个公共点，
∴Δ＝（－1）2－4×1×（n－2）＝0，∴n＝ .
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10. 已知二次函数y＝mx2－2（m＋1）x＋4（m为常数，且m≠0）.
（1）求证：无论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；
解析：（1）证明：令y＝0，则mx2－2（m＋1）x＋4＝0，
b2－4ac＝[－2（m＋1）]2－4m×4＝4m2－8m＋4＝4（m－1）2≥0，
∴方程总有实数根，∴该函数的图像与x轴总有公共点.
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（2）无论m为何值，该函数的图像都会经过两个定点，求两个定点的
坐标.
解析：（2）y＝mx2－2（m＋1）x＋4＝（x－2）（mx－2）.
∵该函数的图像都会经过两个定点，当x＝0时，y＝4，
当x－2＝0，即x＝2时，y＝0，
∴该函数图像始终过定点（0，4），（2，0）.
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二次函数与方程、不等式的关系
11. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①a＞0；
②b2－4ac＞0；③4a＋b＝1；④不等式ax2＋（b－1）x＋c＜0的解集为
1＜x＜3.其中正确结论的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
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12. （2023泰州）二次函数y＝x2＋3x＋n的图像与x轴有一个交点在y轴
右侧，则n的值可以是 .（填一个值即可）
－3（答案不唯一）
13. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，若关于x的一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 .
－6
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14. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（－1，m），B
（2，n）两点，则不等式ax2－kx＋c＜b的解集是 .
－1＜x＜2
15. 抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且经过点（－1，0）.若
关于x的一元二次方程x2＋bx＋c－t＝0（t为实数）在－1＜x＜4的范围
内有实数根，则t的取值范围是 .
－4≤t＜5
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16. 抛物线y＝ax2－2ax＋c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A
（3，0）.下列四个结论：①该抛物线一定经过B（－1，0）；②2a＋c＞
0；③点P1（t＋2 022，y1），P2（t＋2 023，y2）在抛物线上，且y1＞
y2，则t＞－2 021；④若m，n（m＜n）是方程ax2＋2ax＋c＝p的两个
根，其中p＞0，则－3＜m＜n＜1.其中正确的结论是 （填写序
号）.
①②
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16(共25张PPT)
目录
类型一 “一点一垂线”模型
类型二 “一点两垂线”模型
类型三 “两点一垂线”模型
类型四 “两点两垂线”模型
类型五 “两点和原点”模型
微专题2 反比例函数的面积问题
“一点一垂线”模型
模型呈现
内容 反比例函数图像上一点及其关于坐标轴的垂线、另一
个坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于 ｜k｜
图示及 结论
结论：S阴影＝ ｜k｜
拓展
结论：S△AOE＝S四边形ECDB
即时训练
1. （2024无锡一模）如图，第一象限的点A，B均在反比例函数y＝ 的图
像上，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，连接AO，BO，
若OC＝3CD，则△AOB的面积为（ D ）
A. B.
C. D.
第1题图
D
2. 如图，点A在反比例函数y＝ 的图像上，过点A作x轴的垂线，垂足为
点B，点C在y轴上，若△ABC的面积为2，则k的值为（ C ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
第2题图
C
3. 如图，B，C两点分别在函数y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）的图像
上，BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
第3题图
A
4. （2024无锡梁溪二模）如图，点A在反比例函数y＝ 的图像上，点B在
反比例函数y＝ （k＜0）的图像上，连接AB，且AB∥x轴.点P（ ，
0）是x轴上一点，连接PA，PB，若PA＝PB，S△PAB＝6，则PB与y轴交
点C的坐标为（ C ）
A. （0， ） B. （0， ）
C. （0，1） D. （0， ）
第4题图
C
“一点两垂线”模型
模型呈现
内容 反比例函数图像上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形
面积等于｜k｜
图示及结论
结论：S四边形ABOC＝｜k｜
拓展
结论：S四边形AEDC＝S四边形EFGB
结论：S AODC＝｜k｜
即时训练
5. 如图，P是反比例函数y＝ 的图像上在第二象限内的一点，过点P分别
作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F，若矩形PEOF的面积为6，则k
＝ .
－6
6. 点P，Q，R在反比例函数y＝ （常数k＞0，x＞0）图像上的位置如
图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面
积从左到右依次为S1，S2，S3.若OE＝ED＝DC，S2＋S3＝20，则S1的值
为 .
第6题图
10
7. 如图，点A是函数y＝ 图像上的任意一点，点B，C在反比例函数y＝
的图像上.若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k＝ .
第7题图
6
“两点一垂线”模型
模型呈现
内容 反比例函数与正比例函数图像的交点及由交点向坐标轴所作垂
线围成的三角形面积等于｜k｜
图示及 结论
结论：S阴影＝｜k｜
即时训练
8. 如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝ 的图像相交于
A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，则△ABC的面积
为 .
第8题图
1
9. 如图，点A是函数y＝ （x＞0）图像上的一点，连接AO并延长，交函
数y＝ （x＜0）的图像于点B，作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC，则
△OBC的面积为 .（用含k的式子表示）
第9题图
“两点两垂线”模型
模型呈现
内容 反比例函数与正比例函数图像的交点及由交点向坐标轴所作
两条垂线围成的图形面积等于2｜k｜
图示及 结论
结论：S阴影＝2｜k｜
即时训练
10. 如图，点B在反比例函数y＝－ （x＜0）的图像上，点C在反比例函
数y＝ （x＜0）的图像上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y
轴于点A. 则△ABC的面积为（ B ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
第10题图
B
11. 如图，在等腰三角形ABC中，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y
＝ 过A，B两点，过点C作CD∥y轴，交双曲线于点D. 若S△BCD＝16，
则k的值为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第11题图
D
12. 如图，平行四边形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝ 的图像上，
点B和点D在y轴上，AB垂直于y轴，若平行四边形ABCD的面积为12，
则k的值为 .
－6
“两点和原点”模型
模型呈现
图示及 结论
结论：S△AOB＝S直角梯形ABCD
拓展
结论：若 ＝m或 ＝m，则S四边形ODBE＝m｜k｜
即时训练
13. 如图，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）图像上，点A的横坐标为
1，连接OA，OB，AB，若OA＝OB，△OAB的面积为4，则k的值为
（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第13题图
B
14. 如图，P为第一象限内一点，过P作PA∥x轴，PB∥y轴，分别交函
数y＝ （x＞0）的图像于A，B两点，若S△BOP＝4，则S△ABO＝ .
第14题图
16
15. 如图，反比例函数y＝ （k≠0）的图像与矩形OABC的边AB交于点
E，与边BC交于点D，且点E为线段AB中点，若△ODE的面积为3，则k
的值为 .
第15题图
4
16. （2024宿迁泗阳三模）如图，在平面直角坐标系中，过函数y＝ 图像
上一点A分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝ 图像于点B，C，则
△OBC的面积为 .
第16题图
