(共24张PPT)
目录
考点梳理
考点1 三角形的分类及边角关系
考点2 三角形中的重要线段
考点精研
命题点1 三角形的角及三边关系
命题点2 三角形中的重要线段
第2节 一般三角形
考点梳理
1
三角形的分类及边角关系
1. 三角形的分类
（1）按角分
（2）按边分
2. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 第三边，任意两边
之差 第三边.
大于
小于
3. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .
180°
4. 三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它 的两个内角
的 .
不相邻
和
1. 三角形的两边长分别是10和8，则第三边长x的取值范围是 .
2＜x＜18
2. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝ .
105°
三角形中的重要线段
名称 图示及性质 延伸
中线 BD＝CD＝ BC （1）S△ABD＝S△ADC＝ S△ABC.
（2）三角形三条中线的交点是三角形的重
心，重心到顶点的距离与到对边中点的距离
之比为
2∶1
名称 图示及性质 延伸
高 AD⊥BC， 即∠ADB＝ ∠ADC＝90° （1）三角形三条高线所在直线的交点是三角
形的垂心.
（2）锐角三角形的高都在三角形内部；钝角
三角形有一条高在三角形内部，另外两条高在
三角形外部；直角三角形有一条高在三角形内
部，另外两条高恰好是三角形的两条直角边
名称 图示及性质 延伸
角平 分线 ∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC （1）三角形的三条角平分线的交点是
三角形的内心.
（2）内心到三角形三边的距离
中位线 DE∥BC，且DE＝ BC 解题时，已知三角形的中点时，常构造三角形的中位线，进而利用中位线的性质解决问题
相等
名称 图示及性质 延伸
垂直 平分线 DE⊥BC，且BE＝CE， BD＝CD （1）三角形三条边的垂直平分线的交点
是三角形的外心.
（2）外心到三角形三个顶点的距离
相等
提醒
三角形内角和模型
类型 图示及结论
两内型 已知：BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB.
结论：∠P＝90°＋ ∠A
两外型 已知：BP，CP分别平分∠DBC，∠ECB.
结论：∠P＝90°－ ∠A
类型 图示及结论
一内一外型 已知：BP，CP分别平分∠ABE，∠ACB.
结论：∠P＝ ∠A
“8字”型
结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
类型 图示及结论
“飞镖”型
结论：∠O＝∠A＋∠B＋∠C
1. △ABC中，AD，BE是中线，AD，BE交于点O，则点 是重心，
OD∶OA＝ .
O
1∶2
2. △ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点.若BC＝6，则DE＝ ；
若∠C＝40°，则∠ADE＝ .
3
40°
3. 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC＝2，DE＝1，则
S△ACD＝ .
1
4. 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4 cm，△ABD的周长
为16 cm，则△ABC的周长为 .
24 cm
5. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到
的锐角为40°，则∠B＝ .
65°或25°
考点精研
2
三角形的角及三边关系
1. （2023盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其
中能搭成一个三角形的是（ D ）
A. 5，7，12 B. 7，7，15
C. 6，9，16 D. 6，8，12
D
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2. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分
∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是
（ B ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
B
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3. （2023徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则
第三边的长可以为 .（写出一个即可）
3（答案不唯一）
4. 在△ABC中，AC＝3，BC＝4.若∠C为钝角，则AB的长的取值范围
是 .
5＜AB＜7
5. （2023徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝
120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °.
55
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6. 如图，在扇形AOB中，D为 上的点，连接AD并延长与OB的延长线
交于点C. 若CD＝OA，∠CAO＝76°，则∠AOC＝ °.
66
7. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数
是 .
105°
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三角形中的重要线段
8. （2024常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺
边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则 重难点拨（ A ）
A. d1与d2一定相等
B. d1与d2一定不相等
C. l1与l2一定相等
D. l1与l2一定不相等
A
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9. （2024无锡）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别
是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 .
9
10. （2024镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接
BD. 若AC＝8，CD＝5，则BD＝ .
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11. （2023盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点.若BC＝10
cm，则DE的长为 cm.
5
12. 如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E，
F，G分别为AB，AC，BC的中点.若DE＝1，则FG＝ .
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13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝25°，DE是边
AC的垂直平分线，连接AE，则∠BAE＝ .
40°
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14. 如图，☉O的半径是3，△ABC是☉O的内接三角形，过圆心O分别作
AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，连接EF. 若OG＝1，则
EF为 . 重难点拨
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14(共47张PPT)
目录
考点梳理
考点1 比例的性质与黄金分割
考点2 平行线分线段成比例
考点3 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
考点4 位似
考点精研
命题点1 比例的性质
命题点2 平行线分线段成比例
命题点3 相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
命题点4 位似
第6节 相似
考点梳理
1
比例的性质与黄金分割
成比例线段 两条线段 叫做这两条线段的比.如果四条线
段a，b，c，d满足 ＝ ，那么这四条线段叫做成比
例线段，简称比例线段
比例中项 若a∶b＝b∶c，则b叫做a和c的比例中项
比例的性质 （1） ＝ （abcd≠0）；
（2）若 ＝ ，则 ＝_________
长度的比
ad＝bc
黄金 分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞
BC），如果 ＝ ，那么称线段AB被点C黄金分
割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫
做黄金比，它的值为 ≈0.618
1. 如果ab＝cd（abcd≠0），则下列正确的是（ B ）
A. a∶c＝b∶d B. a∶d＝c∶b
C. a∶b＝c∶d D. d∶c＝b∶a
B
2. 若线段a＝4 cm，线段b＝9 cm，则线段a、b的比例中项等于 cm.
6
3. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上，某两个城市间的距离为8 cm，则这两
个城市之间的实际距离是 km.
80
4. 若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC＝
.（保留根号）
－1
平行线分线段成比例
文字语言 几何语言 图示
基 本 事 实 两条直线被一组平行线所
截，所得的对应线段成比例 如右图，l3∥l4∥l5，且被直
线l1，l2所截，那么 ＝ ， ＝ ， ＝
1. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条直线分别交于点A，B，C
和D，E，F. 若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为 .
第1题图
8
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC. 若
AD∶AB＝3∶4，则AE∶EC＝ .
第2题图
3∶1
3. 如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ .
2
相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
1. 相似三角形的概念与性质
（1）概念：三个角对应相等，三条边 的三角形叫做相似三
角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.
（2）性质
①相似三角形的对应角 ，对应边 ；
②相似三角形的对应线段（边、高线、中线、角平分线）的比等于 ；
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的 .
对应成比例
相等
成比例
相似比
平方
2. 相似多边形的概念与性质
（1）概念：如果两个多边形的形状相同，各角分别相等，各边成比例，则
这两个多边形是相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
（2）性质
①相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比等于
；
②相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 .
相等
成比例
相
似比
相似比
相似比的平方
3. 相似三角形的判定
（1）一般三角形：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例
且 的两个三角形相似；③三边 的两个三角形相似.
（2）直角三角形：① 组锐角对应相等，两个直角三角形相似；②两
组直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
（3）特殊方法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）
相交，所截得的三角形与原三角形相似（选填题直接用，解答题需证明）.
夹角相等
成比例
一
4. 相似三角形的判定思路
已知条件 寻找条件
三角形被平行线所截 利用平行线的性质找等角
有一对等角 另一对等角或角的两条邻边对应成比例
已知条件 寻找条件
有两边对应成比例 夹角相等或第三边也对应成比例
直角三角形 一对锐角相等或两组直角边对应成比例
等腰三角形 顶角相等或一对底角相等
“A”型
“X”型
“子母”型
提醒
相似三角形常见的基本类型
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，
添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ∠AED＝∠B D. ∠ADE＝∠C
B
2. 若两个相似三角形的面积之比为16∶9，则它们的对应中线之比
为 .
4∶3
3. 两个相似三角形的面积之比为1∶4，小三角形的周长为4，则大三角形的
周长为 .
8
4. 若两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们周长的比为 ，面积
的比为 .
1∶2
1∶4
5. 如图，点D在△ABC的边AC上，且∠ABD＝∠C，若AD＝4，CD＝
5，则AB的长为 .
6
位似
概
念 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线 ，
对应边互相平行或在同一条直线上，那么这样的两个图形叫做位似图
形，这个点叫做位似中心
相交于一点
性
质 （1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于 ；
（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点；
（3）位似图形对应边平行或在 上；
（4）位似图形的对应角相等；
（5）在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标比值为
位似比
同一条直线
k或－k
画
法 （1）确定位似中心；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
（4）顺次连接各点，得到所求作的图形
提醒
两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一
侧，因此已知位似中心、相似比作位似图形时，有两种画法.
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位
似中心，点A的坐标是（9，3）.若 ＝ ，则点A1的坐标是 .
（3，1）
2. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为
2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是 .
4∶9
考点精研
2
比例的性质
1. 若线段a＝2 cm，线段b＝8 cm，则a，b的比例中项c为（ A ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 32 cm
A
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2. 若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
B
3. 若 ＝ ，则 ＝ .
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4. 在20世纪70年代，著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选
法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，作
EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中点E为边AB的黄金分割点
（AE＜BE）.已知AB为2 m，则线段BE的长为 m.（结果保
留根号）
（ －1）
第4题图
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5. 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC. 若S1表示以AC
为边的正方形的面积，S2表示长为BD（BD＝AB）、宽为BC的矩形的面
积，则S1与S2的大小关系为 .
第5题图
S1＝S2
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6. 如图所示，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到底部B的距离是468 m，第
二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A，B，P在同一条直
线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是 m（结果保留根号）.
（234 －
234）
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平行线分线段成比例
7. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点
F. 若BF∶FD＝3∶1，AB＋BE＝3 ，则△ABC的周长为 5 .
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相似三角形的性质与判定（含相似多边形）
8. （2024连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分
别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ D ）
A. 甲和乙 B. 乙和丁
C. 甲和丙 D. 甲和丁
D
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9. （2024镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点
C处，他在灯光下的影长CD＝3 m，然后他转身按原路返回到点B处，返
回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ D ）
A. 4.5 m B. 4 m C. 3.5 m D. 2.5 m
D
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10. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的
面积为（ C ）
A. 5 B. 6 C. D.
第10题图
C
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11. （2023徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE的长为（ D ）
A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
第11题图
D
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12. （2024盐城）两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比
为 .
1∶2
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13. （2024扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用
光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）
AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'，设AB＝36 cm，A'B'＝24
cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为 cm.
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14. （2023南通）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连
接DE，则 ＝ .
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15. （2024常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交
边AB，CD于点E，F. 若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝ .
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16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D
是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线
交DF于点E，连接BE. 若△ABE的面积是2，则 的值是 .
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17. （2024无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，
E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D. 在射线AE上取一
点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q. 设AQ＝x，PQ
＝y.当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达
式为 .
2
y＝
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位似
18. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”
度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线
的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边
形A'B'C'D'的外接圆的半径为（ C ）
A. B. 2
C. 2 D. 4
第18题图
C
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19. 如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3）.
若S△AOB＝2，则S△CDB＝ .
第19题图
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20. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小
正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图.
（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格
点；
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（2）在图2中，以点O为位似中心，画出△ODE，使△ODE与△OAB位
似，且位似比k＝ ＝2，点D，E为格点；
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20
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足 ＝3.
1
2
3
4
5
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8
9
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19
20(共16张PPT)
目录
类型一 “一动一定”求最值
类型二 “两动一定”求最值
类型三 “两动一定”求最值
微专题8 利用垂线段求最值
“一动一定”求最值
核心知识
问题：直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值.
解法：如图，过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连
接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
即时训练
1. 已知△ABC，AB＝1，BC＝3，AC＝ ，点P是AC上的一个动点，
则线段BP长的最小值是（ C ）
A. 1 B.
C. D. 3
C
2. 点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点
F，BC＝6，AC＝8，则线段EF长的最小值为 .
4.8
3. 如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，点E和
点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最
小值为 .
3
4. （2024南京秦淮二模）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，
M，N分别是AB，BC边上的点，且AM＝BN，连接MN，P是MN的中
点，则BP最小值为 .
5. （2024扬州仪征三模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
3 ，AC＝9，D为BC边的中点，点E，F分别是射线BA，AC上的动
点，且DE⊥DF，连接EF，O为线段EF的中点，则线段CO长的最小值
为 .
“两动一定”求最值
核心知识
问题：如图1，P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一点M，在OB上找
一点N，使得PN＋MN的值最小.
解法：要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上.如
图2，作点P关于OB的对称点P'，作P'M⊥OA于点M，交OB于点N，利
用“垂线段最短”求解即可.
即时训练
6. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋BC＝8，tan A＝ ，O，D分
别是边AB，AC上的动点，则OC＋OD的最小值为（ D ）
A. B.
C. D.
D
7. 如图，在锐角三角形ABC中，AC＝6，△ABC的面积为12，CD平分
∠ACB. 若M，N分别是CD，BC上的动点，则BM＋MN的最小值
是 .
4
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，BD＝
4，P，E分别是AC，AB上的动点，当DP＋EP的值最小时，BE＝5，则
AE的长为 .
9
“两定一动”求最值
核心知识
问题：如图1，A、P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l
外的一定点，求kPA＋BP（0＜k＜1）的最小值.
解法：如图2，构造∠PAN，使得 sin ∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点
E，从而利用kPA＝ sin ∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP. 过点
B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P'，利用“垂线段最短”转化为求BF
的长.
即时训练
9. 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，
点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋
PB的最小值是（ C ）
C
A. 4 B. 3 C. 3 D. 5
10. 如图，矩形OABC两边与坐标轴正半轴重合，Q是AB边上的一个动
点，P是经过A，C两点的直线y＝－ x＋2 上的一个动点，则4PQ＋
2CP的最小值是 .
8
11. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4， sin A＝ ，BD⊥AC交AC于点
D. P为线段BD上的动点，则PC＋ PB的最小值为 .
(共10张PPT)
微专题7 相似三角形中的“一线三等角”模型
模型呈现
类型 图示
直角型“一线三等角”
锐角型“一线三等角”
钝角型“一线三等角”
类型 图示
条件 点C在线段BD上，∠B＝∠ACE＝∠D
结论 （1）△ABC∽△CDE；
（2）当AB＝CD或AC＝CE或BC＝DE时，
△ABC≌△CDE
提醒
异侧型“一线三等角”模型的条件和结论与上述类似，先找准角对应
相等，再判定三角形相似即可.
即时训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（－2，1），AB＝5，且
∠AOB＝90°，那么点B到x轴的距离是（ B ）
A. 2 B. 4 C. 2 D.
第1题图
B
2. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相
交于点F. 若AB＝18，BD＝6，则CF＝（ A ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第2题图
A
3. 如图，在△ABC中∠ABC＝90°，tan∠ACB＝ ，直线
l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过
点A，B，C，则边AB的长为 .
第3题图
4. 如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或
延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE
＝ .
第4题图
3
5. 如图，点D，E，F分别在等边△ABC的三边AB，AC，BC上，且
DE⊥EF，∠DFE＝60°.
（1）求证：△DBF∽△FCE；
解析：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDF＋∠DFB＝180°－∠B＝120°.
∵∠DFE＝60°，
∴∠DFB＋∠EFC＝180°－60°＝120°，
∴∠BDF＝∠EFC，∴△DBF∽△FCE.
（2）若EC＝1，求BF的长.
解析：（2）∵DE⊥EF，∠DFE＝60°，
∴∠EDF＝30°.
∴DF＝2EF.
由（1）知△DBF∽△FCE，
∴ ＝ ＝2.
∵EC＝1，∴BF＝2.(共14张PPT)
目录
类型一 等腰三角形中的分类讨论
类型二 直角三角形中的分类讨论
微专题5 特殊三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论
核心策略
（1）未给图形时的分类讨论
①已知长度的边无法确定是底边还是腰时要分类讨论；
②已知度数的角无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在三角形内和三角形外两类讨论；
④中线把等腰三角形周长分成两部分需分类讨论.
（2）“两定一动”的分类讨论
已知A，B两点是定点，找一点C构成等腰三角形ABC.
分类情况 图示
①当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径
作☉A，点C在☉A上（B，D除外）
②当AB＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径
作☉B，点C在☉B上（A，E除外）
③当AC＝BC时，作线段AB的垂直平分线，点
C在线段AB的垂直平分线上（F除外）
即时训练
1. （2024泰州海陵三模）有一副直角三角板ABC，DEF，其中∠ACB＝
∠DEF＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°.如图，将三角板DEF的顶点E放
在AB上，移动三角板DEF，当点E从点A沿AB向点B移动的过程中，点
E，C，D始终保持在一条直线上.若直线DF与直线AB交于点M，当
△MEF为等腰三角形时，∠ACE的度数为 .
15°或82.5°
2. （2024盐城亭湖二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC
＝90°，M为BC的中点，点P为平面内一动点，且PM＝BM，射线AP交
BC于点D，在点P的运动过程中，当△BPC为等腰三角形时，BD的长
为 .
或3
3. （2024徐州铜山二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点
E，F分别在边BC，CD上，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC'F，连
接AC'，当BE＝ 时，△AEC'是以AE为腰的等腰三角形.
或
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点
A出发，沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向B运动，过点D作
DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD. 设点D运动的时间为t
s.当△ABF是等腰三角形时，t＝ .
5， 或4
直角三角形中的分类讨论
核心策略
（1）未给图形时的分类讨论
①已知长度的边无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；
②无法确定哪个角是直角时要分类讨论（常见于折叠、旋转中出现的直角
三角形）.
（2）“两定一动”的分类讨论
已知A，B两点是定点，找一点C构成直角三角形ABC.
分类情况 图示
①当∠BAC＝90°时，过点A作AB的垂线，
点C在该垂线上（A除外）
②当∠ABC＝90°时，过点B作AB的垂线，
点C在该垂线上（B除外）
③当∠ACB＝90°时，以AB为直径作圆，点
C在该圆上（A，B除外）
即时训练
5. （2024徐州一模）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将
AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD. 当
△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 .
90°，180°或270°
6. 如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度
的速度沿射线BC运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点P的运动，△ABP
的形状在发生变化，设点P的运动时间为t s.
（1）当△ABP是直角三角形时，t的值为 ；
（2）当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 .
或6
0＜t＜ 或t＞6
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AD平分
∠BAC，交BC边于点D，点E在AB边上.若△BDE是直角三角形，则AE
的长为 .
5或
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.点D为AB边上
的一动点（点D不与点A，点B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点
E，把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，连接BA'，若△A'DB为直角
三角形，则AD的长为 .
或
9. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动
点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
.
3，3 或
3 (共33张PPT)
目录
考点梳理
考点1 直角三角形
考点2 勾股定理及其逆定理
考点精研
命题点1 直角三角形的性质
命题点2 勾股定理及其逆定理
第5节 直角三角形
考点梳理
1
直角三角形
1. 定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形.
直角
2. 性质
（1）直角三角形的两个锐角 .
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的 .
（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的一半.
互余
一半
中线
3. 判定
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形（选填题直接
用，解答题需证明）.
4. 常见结论
（1）S＝ ch＝ ab，其中a，b为两直角边长，c为斜边长，h为斜边上
的高.
（2）直角三角形的内切圆半径r＝ ，外接圆半径R＝ ，其中a、b
为两直角边长，c为斜边长.
拓展
等腰直角三角形的性质与面积
1. 性质
（1）等腰直角三角形具有直角三角形和等腰三角形的所有性质.
（2）两直角边相等，两锐角相等且都等于45°.
2. 面积：S＝ a2＝ ch＝ c2＝ ah，其中a为直角边长，c为斜边长，h
为斜边上的高.
1. 若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的
面积是 .
18
2. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，BC＝
30，则BD＝ .
20
3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则
∠BCD＝ °.
36
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形两条直角边长a，b的平方和等于斜边长c
的平方，即
勾股定理 的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 ，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数 满足关系式a2＋b2＝c2的三个 整数a，b，c，
称为勾股数
a2＋b2＝c2
a2＋b2＝c2
正
拓展
常见的勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④7，24，
25；⑤8，15，17；⑥9，40，41.勾股数的正整数倍也是勾股数.
1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ D ）
A. ， ， B. 4，5，6
C. 7，14，15 D. 9，12，15
D
2. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所对应的正方形的边长
为 .
10
3. 如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点.若CD＝2，则AC2＋BC2
＝ .
第3题图
16
4. 在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈
（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：
折者高 尺.
第4题图
4.55
考点精研
2
直角三角形的性质
1. （2023扬州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角
形，则满足条件的BC长可以是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 6 D. 8
C
1
2
3
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5
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9
10
11
12
13
14
2. 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE
的中点.若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（ D ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
D
1
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4
5
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9
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12
13
14
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作
DE⊥BC，垂足为E，连接CD. 若CD＝5，BC＝8，则DE＝ .
第3题图
3
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2
3
4
5
6
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9
10
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12
13
14
4. 如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M，N分别是
AC，BD中点.若AC＝10，则MN＝ .
第4题图
1
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4
5
6
7
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14
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，
AD的中点.若EF＝3，则AB的长度为 .
12
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14
6. （2024连云港）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝
30°，AC＝2.点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作
DF⊥BC，垂足为F. 连接PF，取PF的中点E. 在点P从点A到点C的运
动过程中，点E所经过的路径长为 . 重难点拨
第6题图
1
2
3
4
5
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14
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝
1，D是AB上一点（点D与点A不重合）.若在Rt△ABC的直角边上存在4
个不同的点，分别和点A，D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值
范围是 .
第7题图
＜AD＜2
1
2
3
4
5
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14
勾股定理及其逆定理
8. （2023南京）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九
章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十
四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在
△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是
（ C ）
A. 80平方里 B. 82平方里
C. 84平方里 D. 86平方里
C
1
2
3
4
5
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7
8
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14
9. （2023无锡）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，
∠ADC＝60°，BC＝CD＝2.若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则
BM2＋2BN2的最小值是 重难点拨（ B ）
A. B. C. D. 10
B
1
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14
10. （2023南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的
三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章
算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝ m2－ ，c＝
m2＋ ，m是大于1的奇数，则b＝ .（用含m的式子表示）
m
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2
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5
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14
11. （2023泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问
题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，
出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到
达城堡边，再往前走6里到达树下.则该城堡的外围直径为 里.
9
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14
12. （2024常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE. 将△CDE沿DE
翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ .
第12题图
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14
13. （2023扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制
了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”.它是由4个全等的直角
三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边
长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 .
第13题图
96
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2
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4
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14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC的中点，
E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方的
点F处.
（1）点F落在AB边上时，求折痕DE的长；
解析：（1）如图1，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10.
当点F落在AB上时，DE⊥AB，
∵AD＝DC＝4，∴DE＝AD· sin A＝4× ＝ .
1
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14
（2）连接BF，则BF的最小值是 ；
解析：（2）如图2，连接BD.
∵∠C＝90°，CB＝6，CD＝4，
∴BD＝ ＝ ＝2 .
∵DF＝DA＝4，∴BF≥BD－DF＝2 －4.
∴BF的最小值为2 －4.
2 －4
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14
（3）当EF⊥AC时，求折痕DE的长.
解析：（3）如图3，当EF⊥AC时，延长FE交AC于点J.
则EJ∥BC，∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
设EJ＝3k，AJ＝4k，则AE＝5k，
由翻折的性质可知EF＝AE＝5k，∴FJ＝8k.
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14
∵DF2＝DJ2＋FJ2，
∴42＝（4－4k）2＋（8k）2，
∴k＝ ，∴EJ＝ ，DJ＝4－ ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ .
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14
如图4，当EF⊥AC时，FE交AC于点J.
同理可得DE＝ .
综上所述，DE的长为 或 .
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5
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7
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14(共19张PPT)
目录
类型一 一般三角形的“手拉手”相似模型
类型二 直角三角形的“手拉手”相似模型
类型三 等腰直角三角形的“手拉手”相似模型
微专题6 相似三角形中的“手拉手”模型
一般三角形的“手拉手”相似模型
模型呈现
条件：∠BAC＝∠DAE＝α， ＝ ＝k；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE， ＝k.
提醒
“手拉手”的本质是旋转相似变换，即一个图形绕着它的顶点旋转并
放大或缩小（这个顶点不变），这个顶点称为旋转相似中心，所得图形称
为原图形的旋转相似图形.
即时训练
1. （1）如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC
上，且DE∥BC. 若AD＝2，AE＝ ，则 的值是 ；
解析：（1）∵DE∥BC，∴ ＝ ＝ ＝ .
（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角
度，连接CE和BD， 的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请
写出 的值并说明理由；
解析：（2） 的值不变化，值为 .理由如下：
由（1）得△ADE∽△ABC，∴ ＝ ，
由旋转的性质得∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，∴ ＝ ＝ .
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ＝ ，设∠BAC＝θ，点
M，N分别在边AB，AC上，且MN∥BC，现将△AMN绕点A逆时针旋转
到△ADE的位置，连接BD和CD. 若∠BAC＝∠ADC，MN＝3，CD＝
6，请直接写出线段BD的长度.
解析：（3）如图，连接CE.
∵∠ACB＝90°，MN∥BC，
∴∠ANM＝∠ACB＝90°.
由旋转得DE＝MN＝3，∠DAE＝∠BAC＝θ，
∠AED＝∠ANM＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE.
∵ ＝ ＝ ，∴△ABD∽△ACE，
∴ ＝ ＝ ，∴BD＝ CE.
∵∠BAC＝∠ADC＝θ，∴∠DAE＝∠ADC＝θ，
∴AE∥CD，∴∠CDE＋∠AED＝180°，
∴∠CDE＝90°，
∴CE＝ ＝ ＝3 ，
∴BD＝ CE＝ ×3 ＝ .
直角三角形的“手拉手”相似模型
模型呈现
条件：∠AOB＝∠COD＝90°， ＝ ＝k（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD， ＝k，AC⊥BD，S四边形ABCD＝ AC×BD.
即时训练
2. 问题情境：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时
针旋转得到Rt△EBD，连接AE，连接CD并延长交AE于点F.
猜想验证：（1）试猜想△CBD与△ABE是否相似，并证明你的猜想.
解析：（1）△CBD∽△ABE.
证明：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，
∴CB＝DB，AB＝EB，∠CBD＝∠ABE.
∴ ＝ ＝1，∴ ＝ ，∴△CBD∽△ABE.
探究证明：（2）如图，连接BF交DE于点H，AB与CF交于点G， ＝
是否成立？并说明理由.
解析：（2） ＝ 成立.
理由：由（1）知△CBD∽△ABE，∴∠GCB＝∠GAF.
∵∠CGB＝∠AGF，∴△CGB∽△AGF，
∴ ＝ ，∴ ＝ .
∵∠AGC＝∠FGB，∴△AGC∽△FGB，
∴∠BAC＝∠BFG.
∵∠BAC＝∠BED，∴∠BFG＝∠BED.
∵∠DHF＝∠BHE，∴△DHF∽△BHE，
∴ ＝ .
拓展延伸：（3）若CD＝EF，直接写出 的值.
解析：（3）由（2）知， ＝ ，∴ ＝ .
∵∠DHB＝∠FHE，∴△DHB∽△FHE，
∴∠EFH＝∠BDH＝90°，∴BF⊥AE.
∴AF＝EF＝ AE，∴CD＝EF＝ AE，
∴ ＝ ＝ ，∴ 的值为 .
等腰直角三角形的“手拉手”相似模型
模型呈现
条件：△ABC和△ADE是等腰直角三角形；
结论：△ABD∽△ACE， ＝ .
即时训练
3. 【基础巩固】
（1）如图1，正方形ABCD和正方形BHGF，其中D，G，F三点共线，延
长BG交CD于点E，连接BD，AH.
①求证：△EDG∽△EBD；
②不难证明：△BHA∽△BGD，因此 的值为 ；
解析：（1）证明：①∵四边形ABCD和BHGF是正方形，
∴∠BDE＝∠FGB＝45°，
∴∠BDG＋∠GDE＝45°，∠BDG＋∠DBG＝45°，
∴∠GDE＝∠DBG.
∵∠DEG＝∠BED，∴△EDG∽△EBD.
②∵△BHA∽△BGD，∴ ＝ .
∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴ ＝ ，∴ ＝ .
故答案为 .
【尝试应用】
（2）在（1）的条件下，如图1，若CE＝1，DE＝3，求正方形BHGF
的边长；
解析：（2）∵CE＝1，DE＝3，∴CD＝4.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4.
在Rt△BCE中，BE＝ ＝ ＝ .
∵△EDG∽△EBD，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴EG＝ ，∴BG＝ .
∵四边形BHGF是正方形，∴△BHG是等腰直角三角形，
∴ ＝ .∴BH＝ × ＝ ，
∴正方形BHGF的边长为 .
【拓展提高】
（3）如图2，正方形ABCD和正方形BHGF，P是AB的中点，连接CP，F
恰在CP上，连接DG，AG，BD. 若AB＝4，求AG的最小值.
解析：（3）如图，连接BG，延长DG交AB于点Q，
过Q作QK⊥BD于点K，
∵∠GBF＝∠DBC＝45°，∴∠DBG＝∠CBF，
∵ ＝ ＝ ，∴△DGB∽△CFB，
∴tan∠1＝tan∠2＝ ，∴∠3＝45°－∠2为定值.
∵点G为射线DG上的动点，
∴当AG⊥DG时，AG最小，
∵∠QBK＝45°，QK⊥BD，
∴∠BQK＝45°，∴BK＝QK，
设QK＝BK＝x，则DK＝2x，
∵BD＝BK＋DK＝3x＝4 ，∴QK＝BK＝x＝ ，
∴BQ＝ BK＝ ，∴AQ＝ ，∴DQ＝ ，
∵AQ·AD＝DQ·AG，∴AG＝ .
∴AG的最小值为 .(共27张PPT)
目录
考点梳理
考点 全等三角形的性质与判定
考点精研
命题点 全等三角形的性质与判定
第3节 全等三角形
考点梳理
1
全等三角形的性质与判定
1. 全等三角形的概念与性质
（1）概念：能够 的两个三角形叫做全等三角形.
（2）性质：全等三角形的对应边相等， 相等，对应线段（角平
分线、中线、高等） ，周长 ，面积相等.
完全重合
对应角
相等
相等
2. 全等三角形的判定
（1）全等三角形的判定方法
判定方法 文字表述 图示
边边边 （SSS） 三边分别相等的两个三角形全等
边角边 （ ） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
SAS
判定方法 文字表述 图示
（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
（ ） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
斜边直角 边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
角角边
AAS
角边角
（2）全等三角形的判定思路
①已知两组边分别相等
一组角分别相等
③已知两组角分别相等
②已知一组边和
提醒
“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”不能证明三角形
全等，反例如下：
反 例 1
在△ABC与△ABD中，
△ABC与△ABD显然不全等
反 例 2
在△ABD与△ACD中，
△ABD与△ACD显然不全等
反 例 3
在△ABD与△ACD中，
△ABD与△ACD显然不全等
1. 如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是
（ B ）
A. ∠B＝∠C B. BE＝CD
C. ∠AEB＝∠ADC D. AE＝AD
B
2. 如图，已知∠B＝∠D，AB＝DE，要推得△ABC≌△EDF：
（1）若以“SAS”为依据，则缺条件 ；
（2）若以“ASA”为依据，则缺条件 ；
（3）若以“AAS”为依据，则缺条件 ；
（4）若∠B＝∠D＝90°，要以“HL”为依据，则缺条件 .
BC＝DF
∠A＝∠E
∠ACB＝∠EFD
AC＝EF
考点精研
2
全等三角形的性质与判定
1. 如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新
配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三
角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要
求的是（ C ）
A. AB，BC，CA B. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠B D. ∠A，∠B，BC
C
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2. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，
AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以
是 .
AB＝DE（答案不唯一）
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3. 三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 °.
180
4. △ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是 .
1＜AD＜7
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5. （2024南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点
E，且EF＝DE，求证：CF∥AB.
证明：∵点E为边AC的中点，∴AE＝EC，
∵EF＝DE，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠DAE＝∠FCE，∴CF∥AB.
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6. （2024镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
（1）求证：△ABC≌△BAD；
解析：（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD（AAS）.
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °.
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7. （2023淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝
∠ABC，DE∥AC. 求证：DE＝CB.
证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C，
在△BDE和△ACB中，
∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝CB.
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8. （2024盐城）已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线
上，AE∥BF，AE＝BF.
若 ，则AB＝CD.
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条
件（写序号），使结论成立，并说明理由. 重难点拨
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解析：若选择①，则证明如下：
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD（AAS），∴AC＝BD，∴AB＝CD.
若选择②，则由CE＝DF无法证明△AEC≌△BFD，进而无法得到AB＝CD.
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若选择③，则证明如下：
∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD（ASA），∴AC＝BD，∴AB＝CD.
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9. （2024苏州）如图，△ABC中，AB＝AC，分别以B，C为圆心，大
于 BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交
于点E.
（1）求证：△ABD≌△ACD；
解析：（1）证明：由作图知BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
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（2）若BD＝2，∠BDC＝120°，求BC的长.
解析：（2）∵△ABD≌△ACD，∠BDC＝120°，
∴∠BDA＝∠CDA＝ ∠BDC＝ ×120°＝60°，
又∵BD＝CD，∴DA⊥BC，BE＝CE.
∵BD＝2，∴BE＝BD· sin ∠BDA＝2× ＝ ，
∴BC＝2BE＝2 .
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10. （2023苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分
线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连
接DE，DF.
（1）求证：△ADE≌△ADF；
解析：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
由作图知，AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（SAS）.
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（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数.
解析：（2）∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝ ∠BAC＝40°.
由作图知，AE＝AD. ∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝ ×（180°－40°）＝70°.
∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.
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10(共30张PPT)
目录
考点梳理
考点1 锐角三角函数
考点2 解直角三角形
考点精研
命题点1 特殊角的三角函数值及其运算
命题点2 解直角三角形
第7节 锐角三角函数
考点梳理
1
锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
正弦： sin A＝ ，即 sin A＝ ；
余弦： cos A＝ ，即 cos A＝ ；
正切：tan A＝ ，即tan A＝ .
提醒
（1）一个锐角的正弦、余弦、正切只与角的大小有关，与锐角所在的三角
形的大小无关.
（2）当∠A在0°～90°范围内变化时， sin A随∠A的增大而增大， cos A
随∠A的增大而减小，tan A随∠A的增大而增大.
2. 特殊角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
1
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，则tan A＝ ， cos A
＝ ， sin B＝ .
2
2. 若2 cos A＝1，则锐角∠A＝ °.
60
3. 若 sin （x－10°）＝ ，则锐角x＝ °.
70
4. 计算： cos 245°＋tan 60°· sin 60°＝ .
2
解直角三角形
1. 解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则
（1）三边关系： ；
（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系： sin A＝ ＝ ， cos A＝ sin B＝ ，tan A＝
＝ .
a2＋b2＝c2
cos B
2. 解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b （1）c＝ ；
（2）由tan A＝ 求出∠A；
（3）∠B＝90°－∠A
一直角边a，斜边c （1）b＝ ；
（2）由 sin A＝ 求出∠A；
（3）∠B＝90°－∠A
已知条件 一般解法
一边 一锐角 一直角边a，锐角A （1）∠B＝90°－∠A；
（2）b＝ ；
（3）c＝
斜边c，锐角A （1）∠B＝90°－∠A；
（2）a＝c· sin A；
（3）b＝c· cos A
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为
（ C ）
A. 7 sin 35° B.
C. 7 cos 35° D. 7tan 35°
C
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，斜边上的高是 ，则BC
＝ ，AC＝ ，AB＝ .
2
2
4
3. 若在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，BC＝2，则∠A
＝ °.
30
4. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则AB的长
为 .
3＋
考点精研
2
特殊角的三角函数值及其运算
1. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为
圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则 sin ∠AOC的值
为（ D ）
A. B.
C. D.
D
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2. 在△ABC中，若 ＋ ＝0，则∠C的度数是
（ C ）
A. 45° B. 75°
C. 105° D. 120°
C
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3. （2023宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方
形的顶点称为格点.A，B，C三点都在格点上，则 sin ∠ABC＝ .
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4. （2023常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接
CD. 若BD＝CD， ＝ ，则tan B＝ .
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5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分
∠ADC. 若AD＝1，CD＝3，则 sin ∠ABD＝ .
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6. 计算：
（1）（2024镇江）（ ）0－4 cos 30°＋ ；
解析：原式＝1－4× ＋2 ＝1.
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（2）2tan 45°－ －2 sin 260°.
解析：原式＝2×1－ －2×（ ）2
＝2－2－2×
＝2－2－
＝－ .
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解直角三角形
7. （2024南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如
图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6 m，则旗杆AC的高
度为 m.
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8. （2023盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”
是盐城市标志性文化名片.如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，
C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5
m，则线段AB的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：
≈1.7）
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9. 已知△ABC为钝角三角形，其中∠A＞90°，有下列条件：
①AB＝10；②AC＝6 ；③tan B＝ ；④tan C＝ .
（1）你认为从中至少选择 个条件，可以求出BC边的长；
解析：（1）根据解直角三角形的条件可知，至少选择3个条件，可以求出BC边的长.
故答案为3.
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（2）你选择的条件是 （填序号），并写出求BC的长的解答
过程.
解析：（2）答案不唯一，参考如下：
若选择①②④，则计算过程如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
设AD＝x，∵tan C＝ ，
∴CD＝2x.
①②④
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在Rt△ACD中，AC＝6 ，
根据勾股定理，得x2＋（2x）2＝（6 ）2，
解得x＝6或x＝－6（不合题意，舍去），
∴AD＝6，CD＝2x＝12.
在Rt△ABD中，AB＝10，
根据勾股定理，得BD＝ ＝8，
∴BC＝CD＋BD＝12＋8＝20.
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10. （2024镇江）图1，2是一个折叠梯的实物图.图3是折叠梯展开、折叠过
程中的一个主视图.图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC
上，已知AB＝AC， sin ∠BAC≈ ，点D，F，G，J在AB上，DE，
FM，GH，JK均与BC所在直线平行，DE＝FM＝GH＝JK＝20 cm，
DF＝FG＝GJ＝30 cm.点N在AC上，AN，MN的长度固定不变.图5是折
叠梯完全折叠时的主视图，此时AB，AC重合，点E，M，H，N，K，
C在AB上的位置如图5所示.
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【分析问题】
（1）用图5中的线段填空：AN＝MN＋EM＋AD－ ；
解析：（1）∵AE＝AD－DE，
∴AN＝MN＋EM＋AE＝MN＋EM＋（AD－DE）＝MN＋EM＋AD－DE.
DE
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（2）如图4， sin ∠MEN≈ ，由AN＝EN＋AE＝EN＋AD，且AN
的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为 .
解析：（2）∵DE，FM，GH，JK均与BC所在直线平行，
∴DE∥FM，
∵DE＝FM＝20 cm，∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM∥DF，∴∠MEN＝∠BAC，
∴ sin ∠MEN＝ sin ∠BAC≈ ，
∵AN＝MN＋EM＋AD－DE，AN＝EN＋AD，
∴MN＋EM＋AD－DE＝EN＋AD，
∴MN＋EM－DE＝EN，
∴MN＋30－20＝EN，∴MN＋10＝EN.
MN＋10＝EN
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【解决问题】
（3）求MN的长.
解析：（3）如图，过点M作MW⊥AC于点W，
∴∠MWN＝∠MWE＝90°，
∴MW2＋WN2＝MN2，MW＝EM· sin ∠MEN≈30× ＝24 cm，
∴EW＝ ＝ ＝18 cm，
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设MN＝a cm，则EN＝（a＋10）cm，WN＝EN－EW＝a＋10－18＝
（a－8）cm，
∴242＋（a－8）2＝a2，
∴a＝40，∴MN＝40 cm.
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10(共50张PPT)
目录
考点梳理
考点1 坡度、坡角
考点2 仰角、俯角
考点3 方向角
考点精研
命题点1 坡度问题
命题点2 仰角、俯角问题
命题点3 方向角问题
命题点4 锐角三角函数的其他实际应用
第8节 锐角三角函数的实际应用
考点梳理
1
'
坡度、坡角
名称 概念 字母表示 图示
坡度 （坡比） 坡面的铅垂高度h和水平宽
度l的比叫坡度（坡比） 坡度用字母i表示， i＝tan α＝
坡角 坡面与水平线的夹角α叫坡角
1. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡
面距离AB为（ C ）
A. 4 m B. m
C. m D. 4 m
C
2. 如果一段斜坡的铅垂高度为2 m，水平宽度为3 m，那么这段斜坡的坡比i
＝ .
1∶1.5
3. 如图，一个小球由地面沿着坡度i＝3∶4的坡面向上前进了15 cm，则此
时小球水平方向前进的距离是 cm.
12
仰角、俯角
名称 概念 图示
仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在
水平线上方时，所成的角叫做仰角
俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在
水平线下方时，所成的角叫做俯角
1. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8 m的位置，在D处测得建
筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪CD的高度是1.5 m，则建筑物AB的高
度约为 m.（结果精确到个位，参考数据： sin 50°≈0.77， cos 50° ≈0.64，tan 50°≈1.19）
11
2. 某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机
到控制点的距离是 .（控制点到地面的距离忽略不计，用m与含α的
三角函数表示）
方向角
1. 方向角的概念
一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转
到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东
（西）多少度.
2. 方向角的示例
如图所示，点A位于点O的 方向，点B位于点O的
方向，点C位于点O的 方向（或 方向）.
北偏东30°
南偏东
60°
北偏西45°
西北
1. 甲看乙的方向为北偏东30°，那么乙看甲的方向是 .
南偏西30°
2. 如图，射线OB的方向是南偏东45°，∠AOB＝160°，则射线OA的
方向是 .
第2题图
北偏西25°
3. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向
航行12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续
向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile.
第3题图
（6 ＋6）
考点精研
2
坡度问题
1. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡
面CQ，坡角∠QCN＝30°.在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为
120 cm，在坡面上的影长为180 cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60 cm
的木杆的影长为90 cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.
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解析：如图，延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F.
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
则DF＝ CD＝90，CF＝CD· cos ∠DCF＝180× ＝90 .
由题意，得 ＝ ，
即 ＝ ，
解得EF＝135，
∴BE＝BC＋CF＋EF＝255＋90 ，
则 ＝ .
∴AB＝（170＋60 ）cm.
答：立柱AB的高度为（170＋60 ）cm.
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2. （2023连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分
示意图.如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了
92 m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30 m到达C
处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度
DC. （结果精确到0.1 m，参考数据： sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，
sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80）
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解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E.
在Rt△ABE中， sin ∠BAE＝ ，
∴BE＝AB· sin ∠BAE＝92× sin 48°≈92×0.74＝68.08.
过点B作BF⊥CD于点F，
在Rt△CBF中， sin ∠CBF＝ ，
∴CF＝BC· sin ∠CBF≈30×0.60＝18.00.
∵FD＝BE＝68.08，
∴DC＝FD＋CF＝68.08＋18.00＝86.08≈86.1（m）.
答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1 m.
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仰角、俯角问题
3. （2024盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上
升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿
教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为
45°，则教学楼AB的高度约为 m.（精确到1 m，参考数据： sin
37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
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4. （2023南京）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观
测点A，B. 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52'；无人
机垂直上升5 m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26'.AB＝10
m，点A，B，C，D在同一竖直平面内，A，B两点在CD的同侧.求无人
机在C处时离地面的高度.（参考数据：tan 36°52'≈0.75，tan
63°26'≈2.00） 重难点拨
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解析：如图，延长DC交AB于点E.
由题意，得DE⊥AB，CD＝5，设BE＝x，
∵AB＝10，
∴AE＝AB＋BE＝10＋x.
在Rt△ACE中，∠CAE＝36°52'，
∴CE＝AE·tan 36°52'≈0.75（10＋x）.
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在Rt△BDE中，∠DBE＝63°26'，
∴DE＝BE·tan 63°26'≈2x.
∵DC＋CE＝DE，∴5＋0.75（10＋x）＝2x，解得x＝10，
∴CE＝0.75（10＋x）＝15（m），
∴无人机在C处时离地面的高度约为15 m.
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5. （2024宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之
一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤
塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报
告，报告部分内容如下表：
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测量七凤塔高度
测量 工具 测角仪、 皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角
∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 m； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°.
…
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已知测角仪的高度为1.2 m，点C，E，A在同一水平直线上.根据以上信
息，求塔AB的高度.（参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan
37°≈0.75）
解析：由题意得，DF＝CE＝24 m，AG＝EF＝CD＝1.2 m，
在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan 37°＝ ≈0.75，∴GD＝ ，
在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，∴FG＝BG，
∵DF＝24 m，∴DG－FG＝ －BG＝24，
解得BG＝72，∴AB＝72＋1.2＝73.2（m）.
答：塔AB的高度为73.2m.
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6. 如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝
30°的斜坡AB步行50 m至山坡B处，乘直立电梯上升30 m至C处，再乘缆
车沿长为180 m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30'，索
道CD看作在一条直线上，求山顶D的高度DG. （结果精确到1 m，参考数
据： sin 19°30'≈0.33， cos 19°30'≈0.94，tan 19°30'≈0.35）
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解析：如图，过点C，B分别作CE⊥DG，BF⊥DG，垂足分别为E，F，延长
CB交AG于点H.
由题意可知，∠DCE＝19°30'，CD＝180，BC＝EF＝30.
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50，
∴BH＝ AB＝25，∴FG＝BH＝25.
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30'，CD＝180，
∴DE＝CD· sin ∠DCE≈0.33×180＝59.4，
∴DG＝DE＋EF＋FG＝59.4＋30＋25＝114.4≈114（m）.
答：山顶D的高度DG约为114 m.
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方向角问题
7. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50 n
mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°
方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 n mile.（结果保留根
号）
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8. （2024连云港）数学兴趣小组在阅读了《九章算术》中“邑”的计算
后，进行了如下探究：如图，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为
km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路
BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北
走向的道路BC，C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，
在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上.
（1）∠CA1A2＝ °，∠CA2A1＝ °；
解析：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8，∴外角＝ ＝45°，
∴∠CA1A2＝45°＋45°＝90°，∠CA2A1＝45°＋（90°－59°）＝76°，
故答案为90；76.
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（2）求点A1到道路BC的距离；
解析：（2）如图，过点A1作A1D⊥BC于点D，
在Rt△CA2A1中，A2A1＝ ，∠CA2A1＝76°，
∴CA1＝A1A2·tan76°≈ ×4.00＝2 （km），
在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45°，
∴A1D＝CA1· cos 45°＝2 × ＝2.0（km），
答：点A1到道路BC的距离为2.0 km.
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（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超
过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到0.1 km，参考数据： ≈1.41， sin 76°≈0.97，tan
76°≈4.00， sin 59°≈0.86，tan 59°≈1.66） 重难点拨
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解析：（3）如图，连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8
作A8F⊥BC于点F，
∵正八边形的外角均为45°，
∴在Rt△A7A8G中，A8G＝ ，
∴FB＝A8G＝ ，
又∵A8F＝A1D＝CD＝2，DF＝A1A8＝ ，
∴CB＝CD＋DF＋FB＝ ，
∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE，
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∴△CA8F∽△CEB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∵ ≈1.41，∴EB≈2.4 km.
答：小李离点B不超过2.4 km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
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9. （2022南京）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之
间的距离为30 km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为
10 km.一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在
北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远？（结果取整数，参考
数据： sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60， sin
37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
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解析：如图，延长CB交DA的延长线于E.
由题意，得∠E＝90°.
∵∠BAE＝58°，AB＝30，
∴BE＝AB· sin 58°≈30×0.85＝25.5，
AE＝AB· cos 58°≈30×0.53＝15.9.
∵BC＝10，∴CE＝BE＋BC＝35.5，
∴DE＝ ≈ ≈47.33，
∴AD＝DE－AE＝47.33－15.9≈31（km）.
答：D处距离港口A约有31 km.
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10. 在笔直的湖岸上有A，B两个码头，B在A的正东方向，A，
B相距5 km.湖中一小岛上有一码头C，从A处测得码头C位于A的北偏东
30°.一游船从A出发，以20 km/h的速度，经过24 min到达码头C.
（1）求码头C到湖岸的距离；
解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
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（1）在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，AC＝20× ＝8， cos ∠ACH＝ ，
∴CH＝AC· cos 30°＝8× ＝4 （km）.
答：码头C到湖岸的距离是4 km.
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（2）若该游船准备以同样的速度从C开往B，则从C到B需航行多少分
钟？
解析：（2）在Rt△BCH中，CH＝4 ，BH＝5－4＝1，
∴BC＝ ＝ ＝7.
∴t＝ ×60＝21（min）.
答：从C到B需航行21分钟.
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锐角三角函数的其他实际应用
11. （2024苏州）图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定
杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知
AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm.
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（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，
求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
解析：（1）如图1，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
由题意得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm，
∵AD＝50 cm，
∴ED＝AD－AE＝50－20＝30（cm），
在Rt△CED中，CD＝ ＝ ＝10 （cm），
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm.
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（2）如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且
tan α＝ （α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
解析：（2）如图2，过点D作DF⊥BC，
交BC的延长线于点F，交AD'于点G，
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由题意得，AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°，
在Rt△ADG中，tan α＝ ＝ ，
设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，
∴AD＝ ＝ ＝5x（cm），
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∵AD＝50 cm，
∴5x＝50，解得x＝10，
∴AG＝40 cm，DG＝30 cm，
∴DF＝DG＋FG＝30＋10＝40（cm），
∴BF＝AG＝40 cm，
∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20（cm），
在Rt△CFD中，CD＝ ＝ ＝20 （cm），
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm.
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12. 2022年6月5日，神舟十四号载人航天飞船搭载“明星”机
械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂
直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC
＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD＝6 m.
（1）求A，C两点之间的距离；
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解析：（1）如图，连接AC，过点A作AE⊥CB，垂足为E.
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABE＝37°，
∵ sin ∠ABE＝ ， cos ∠ABE＝ ，
∴ ≈0.60， ≈0.80，
∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC＋BE＝6.
在Rt△ACE中，由勾股定理，
得AC＝ ＝3 ≈6.7（m）.
答：A，C两点之间的距离约为6.7 m.
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（2）求OD长.
（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°≈0.60，
cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈2.24）
解析：（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F.
∴FD＝AO＝1，∴CF＝5.
在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝ ＝2 ，
∴OD＝2 ≈4.5（m）.
答：OD的长约为4.5 m.
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13. 小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到
某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙
面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8 m，房顶AM与水平地面平
行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处
D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1 m，参考数据： sin
34°≈0.56，tan 34°≈0.68，tan 56°≈1.48）
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解析：如图，过点M作HM⊥NM.
由题意，得∠DMC＝2∠CMH，
∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8，
AB∥MC，
∴∠CMN＝180°－∠MNB＝180°－118°＝62°.
∴∠CMH＝∠HMN－∠CMN＝28°.
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°.
在Rt△CMD中，CD＝CM·tan 56°≈8×1.48≈11.8（m），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8 m.
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14. （2023苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.
如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架
在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C
处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂
（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四
边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）.
已知AD＝BC，DH＝208 cm，测得∠GAE＝60°时，
点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE
由60°调节为54°，则点C离地面的高度升高还是降低了？
升高（或降低）了多少？（参考数据： sin 54°≈0.8，
cos 54°≈0.6）
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解析：点C离地面的高度升高了.
理由：如图1，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K.
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH.
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°.
∵点C离地面的高度为288，DH＝208，
∴DK＝288－208＝80.
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在Rt△CDQ中，∠ADC＝54°，CD＝160，
∴DQ＝CD· cos 54°≈160×0.6＝96，
∴96－80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16 cm.
在Rt△CDK中，CD＝ ＝ ＝160.
如图2，当∠GAE＝54°时，过点C作CQ⊥HA，
交HA的延长线于点Q，
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14(共17张PPT)
目录
考点梳理
考点1 等腰三角形
考点2 等边三角形
考点精研
命题点1 等腰三角形的性质与判定
命题点2 等边三角形的性质与判定
第4节 等腰（边）三角形
考点梳理
1
等腰三角形
1. 概念：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边
叫做底边.
2. 性质
（1）等腰三角形的两个底角 （简述为“等边对等角”）.
（2）等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的高线重合
（简述为“三线合一”）.
（3）等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.
相等
平分线
中线
一
3. 判定
（1）有 条边相等的三角形是等腰三角形.
（2）在一个三角形中，若有两个角相等，则这两个角所对的边
（简述为“等角对等边”）.
两
相等
4. 面积：S＝ ah（其中a是底边长，h是底边上的高）.
提醒
若题目中没有明确所给边是底边还是腰，所给角是顶角还是底角，则
需要进行分类讨论.
1. 若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为 .
65°或50°
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D. 若∠B＝43°，
则∠CAD的度数为 .
第2题图
47°
3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作
DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 若AB＝9，AC＝7，则△ADE的
周长是 .
第3题图
16
等边三角形
1. 概念：三边都相等的三角形是等边三角形.
2. 性质
（1）等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
（2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 .
（3）等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴.
60°
三
3. 判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都 的三角形是等边三角形.
（3）有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.
相等
60°
4. 面积：S＝ ah＝ a2（a是三角形任意一边长，h是任意一边上的
高）.
1. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝ .
第1题图
15°
2. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，F在同一直线上，CD
＝CE，DF＝DG，则∠F＝ 度.
第2题图
15
考点精研
2
等腰三角形的性质与判定
1. （2023宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底
角是（ C ）
A. 70° B. 45° C. 35° D. 50°
C
2. （2024镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 .
6
1
2
3
4
5
6
7
3. （2024常州）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于
点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
解析：（1）证明：在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE，∴∠ACB＝∠DEF，
∴EG＝CG，∴△GEC是等腰三角形.
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 .
AD∥l
1
2
3
4
5
6
7
等边三角形的性质与判定
4. 如图，a∥b，△ABC为等边三角形.若∠1＝45°，则∠2的度数为
（ A ）
A. 105° B. 120°
C. 75° D. 45°
A
1
2
3
4
5
6
7
5. 如图，在等边三角形ABC中，AC＝2，CD＝3，BD∥AC，则△ABD
的面积是（ A ）
A. B.
C. D.
A
1
2
3
4
5
6
7
6. 如图，两个等边三角形的中心重合，并且三组边分别平行.若每组边之间
的距离是4，则两个等边三角形边长的差是 .
8
1
2
3
4
5
6
7
7. 如图，等边三角形ABC中，P，Q两点分别在边BC，AC上，BP＝
CQ，D是PQ的中点.若BC＝4，求CD的最小值.
解析：当P，Q分别为BC，AC的中点时，PQ＝ AB，PQ最短.
∵BC＝4，△ABC是等边三角形，
∴PQ＝ AB＝ BC＝2，PQ∥AB，
∴△PQC是等边三角形.
∵D是PQ的中点，
∴当CD⊥PQ时，CD最短，
∴CD的最小值为 .
1
2
3
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5
6
7(共44张PPT)
目录
考点梳理
考点1 线与角
考点2 相交线与平行线
考点精研
命题点1 相交线与平行线
第1节 线、角、相交线与平行线
命题点2 命题
考点3 命题
考点梳理
1
线与角
1. 直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的概念与表示
名称 端点个数 特征 表示及读法 图示
直线 可向两方无限延伸 直线AB（BA），直线l
射线 可向一方 无限延伸 射线AB，射线l
线段 有一定长 度，可度量 线段AB（BA），线段l
0
1
2
（2）两个基本事实
①线段的基本事实： ；
②直线的基本事实： .
两点之间，线段最短
两点确定一条直线
提醒
两点之间的线段长度叫做两点之间的距离.
2. 角的相关概念与表示
角的 概念 概念1：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置
所形成的图形叫做角
概念2：有公共端点的两条 组成的图形叫做角
角的 表示
射线
角的 分类 （1）若0°＜α＜90°，则α为锐角；
（2）若α＝90°，则α为直角；
（3）若90°＜α＜180°，则α为钝角；
（4）若α＝180°，则α为平角；
（5）若α＝360°，则α为周角
角的 换算 1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°，1°＝ '，
1'＝ ″
60
60
提醒
在没有特殊说明的情况下，现阶段所说的“角”都是“小于平角的角”.
3. 余角、补角
余角 补角
定义 如果两个角的和为 ，那么
这两个角互为余角 如果两个角的和为 ，
那么这两个角互为补角
性质 同角（等角）的余角 同角（等角）的补角
数学 语言 表述 ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝
90°， ∴∠1＝∠3 ∵∠1＋∠2＝180°，
∠2＋∠3＝180°，
∴∠1＝∠3
90°
相等
180°
相等
1. 如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是
（ D ）
D
2. 68.67°＝ ° ' ″；76°12'36″＝ °.
68
40
12
76.21
3.30°20'角的余角的度数是 ；66°20'角的补角的度数
是 .
59°40'
113°40'
相交线与平行线
1. 相交线
（1）对顶角
概念 把一个角的两边反向延长，所形成的角与原
来的角互为对顶角. 举例：如右图，∠1和∠2互为对顶角
性质 对顶角 . 举例：如右图，∠1＝∠2
相等
（2）垂直
概念 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做
另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 举例：如右图，OP⊥AB于点O，O为垂足
性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直（基本事实）
性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂
线段 . 举例：如右图，点P与直线AB上任意一点连线
中，OP最短
点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的 的长度叫做
点到直线的距离. 举例：如右图，垂线段OP的长是点P到直线AB
的距离
最短
垂线段
（3）三线八角
名称 结构特征 举例 图示
同位角 形如“F” ∠1与 ， ∠4与
内错角 形如“Z” ∠2与 ， ∠3与
同旁内角 形如“U” ∠2与 ， ∠3与
∠5
∠8
∠8
∠5
∠5
∠8
2. 平行线
（1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
（2）画法：一放、二靠、三推、四画.
（3）平行公理（基本事实）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线
平行.
（4）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直
线也互相平行，即若a∥b，c∥b，则 .
a∥c
（5）性质与判定
文字语言 几何语言 图示
性质 两直线平行，同位角相等 ∵a∥b， ∴∠1＝
两直线平行，内错角角相等 ∵a∥b， ∴∠1＝
两直线平行，同旁内角互补 ∵a∥b， ∴ ＋∠2＝180°
∠3
∠4
∠1
文字语言 几何语言 图示
判定 同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝ ， ∴a∥b
内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝ ， ∴a∥b
同旁内角互补，两直线平行 ∵ ＋∠2＝180°， ∴a∥b
∠3
∠4
∠1
（6）平行线间的距离
文字表述 几何表述及图示
概念 过平行线上一点，作另一条平行线的
垂线， 叫做这两条平
行线间的距离 如图，l1∥l2，
AC⊥l2，BD⊥l2，线
段AC，BD的长是直线
l1，l2之间的距离，且
AC＝BD
性质 两条平行线间的距离处处
垂直段的长度
相等
1. 如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ C ）
A. ∠BAD＝∠BCD B. ∠1＝∠2
C. ∠BAC＝∠ACD D. ∠3＝∠4
C
2. 如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1＝53°，则
∠2＝ °.
37
3. 如图，已知DE∥BF，AC平分∠BAE，∠DAB＝70°，那么∠ACF
＝ °.
125
4. 如图，把长方形纸片ABCD沿EF对折，若∠1＝40°，则∠AEF
＝ .
110°
命题
命题 判断一件事情的语句，叫做命题，命题有 和 两
部分
真命题 如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题
假命题 如果条件成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命
题
条件
结论
互逆 命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，
而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫
做互逆命题
定理 经过证明的 命题叫做定理
互逆 定理 如果一个定理的逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理
真
提醒
（1）判断一个命题是真命题时，要能给出证明；判断一个命题是假命题
时，举出反例即可.
（2）任意一个命题一定有它的逆命题，任意一个定理不一定有它的逆
定理.
1. 下列句子中，是命题的是（ D ）
A. 三角形两边之和大于第三边吗？
B. 作线段AB∥CD
C. 连接A，B两点
D. 正数大于负数
D
2. “对顶角相等”的逆命题是 .
（用“如果……，那么……”的形式写出）
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
3. 命题“若a2＞b2，则a＞b”，能说明它是假命题的反例是a＝ ，
b＝ .
－ 2
－1
考点精研
2
相交线与平行线
1. 如图，斑马线的作用是引导行人安全地通过马路.小丽觉得
行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是
（ A ）
A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
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2. （2024常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾
斜.若在点A处分别施加推力F1，F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB. 这
一判断过程体现的数学依据是（ A ）
A. 垂线段最短
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
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3. （2024宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD交于
点E，F，且∠1＝40°，则∠2等于（ C ）
A. 120° B. 130°
C. 140° D. 150°
C
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4. （2024盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1＝
55°，则∠2的度数为（ B ）
A. 25° B. 35°
C. 45° D. 55°
B
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5. （2024南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若
∠2＝41°，则∠1的度数为（ C ）
A. 41° B. 51°
C. 49° D. 59°
C
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6. （2024苏州）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度
数为（ B ）
A. 45° B. 55°
C. 60° D. 65°
B
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7. （2023南通）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，C分别在直线
m，n上.若m∥n，∠1＝50°，则∠2的度数为（ A ）
A. 140° B. 130°
C. 120° D. 110°
A
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8. （2023苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，
网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是
（ B ）
A. 连接AB，则AB∥PQ
B. 连接BC，则BC∥PQ
C. 连接BD，则BD⊥PQ
D. 连接AD，则AD⊥PQ
B
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9. 如图，AB∥ED. 若∠1＝70°，则∠2的度数是（ D ）
A. 70° B. 80° C. 100° D. 110°
D
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10. （2023镇江）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.第一次
的拐角∠ABC是140°，第二次的拐角∠BCD是 °.
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11. （2024连云港）如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2
＝ °.
第11题图
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12. 如图，木棒AB，CD与EF分别在G，H处用可旋转的螺丝
铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与
木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °.
第12题图
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命题
13. 能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ A ）
A
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14. （2024无锡）命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是 命题.（填
“真”或“假”）
假
15. （2024宿迁）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是
.
同位角相
等，两直线平行
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16. 请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题：
.
如果
b－a＜0，那么a＞b
17. 有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样
的命题： .
两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
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18. 点M，N分别是菱形ABCD边BC，CD上的点.
（1）如图，若CM＝CN，求证：AM＝AN；
解析：（1）证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACM＝∠ACN，
在△ACM与△ACN中，
∴△ACM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN.
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（2）判断命题“若AM＝AN，则CM＝CN”的真假.若真，请证明；若
假，请在备用图上画出反例.
解析：（2）命题“若AM＝AN，则CM＝CN”
是假命题.
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