(共39张PPT)
目录
考点梳理
考点1 事件的类型及其概率
考点2 概率
考点精研
命题点1 事件的类型及其概率
命题点2 用频率估计概率
命题点3 概率的计算
第2节 概率
考点梳理
1
事件的类型及其概率
1. 确定事件
（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，其发生
的概率为 .
（2）不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件，
其发生的概率为 .
1
0
2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事
件，其发生的概率在0～1之间.
1. “没有水分，种子发芽”属于 事件.
不可能
2. “367人中有2人同月同日生”是 事件.
必然
3. “大海捞针”属于 事件.
随机
概率
1. 概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生的
的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）.
可
能性大小
2. 概率的计算
（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概
率P（A）＝ .
（2）列表法：当一次试验涉及 个因素，且可能出现的结果数较
多时，一般采用列表法列出所有等可能的结果，再根据P（A）＝ 计
算概率.
两
（3）画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，一般采用画树
状图法表示出所有等可能的结果，再根据P（A）＝ 计算概率.
（4）几何概型的概率公式
P（A）＝ .
（5）用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果随机事件A发生
的频率 会逐渐稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P（A）
＝ .
p
3. 概率的应用
游戏的公平性一般通过比较概率的大小来判断：在条件相同的前提
下，若对于参加游戏的每一个人来说获胜的概率都相等，则游戏公
平，否则不公平.
提醒
运用列表法或画树状图法求概率时，一定要注意“放回型”和“不放
回型”的区别，具体如下：
放回型 不放回型
基本表述 从一个含有n个球的袋子
（盒子）中，第一次取出1个
球，放回后再取出1个球，确
定两次取球的情况 从一个含有n个球的袋子（盒
子）中，第一次取出1个球，
不放回再取出1个球，确定两
次取球的情况
列表法 包含表格中对角线上的情况 不包含表格中对角线上的情况
画树 状图法 第一层的情况数为n，第二
层的情况数为n2 第一层的情况数为n，第二层
的情况数为n（n－1）
1. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外均相同，从中
随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 .
2. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球
自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为 .
3. 在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同.每次
从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白
球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有 个.
2
考点精研
2
事件的类型及其概率
1. （2023徐州）下列事件中的必然事件是（ A ）
A. 地球绕着太阳转
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
A
1
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13
用频率估计概率
2. （2024连云港）下列说法正确的是（ C ）
A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1
次正面朝上
C
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13
3. （2024扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据
如下表：
累计抛 掷次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面朝 上次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面朝 上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 .（精确到
0.01）
0.53
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2
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4. （2023扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 发芽的频数m 发芽的频率 （精确到0.001）
2 2 1.000
5 4 0.800
10 9 0.900
50 44 0.880
100 92 0.920
500 463 0.926
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每批粒数n 发芽的频数m 发芽的频率 （精确到0.001）
1 000 928 0.928
1 500 1 396 0.931
2 000 1 866 0.933
3 000 2 794 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 .（精确到0.01）
0.93
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概率的计算
5. （2024苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意
转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率
是 .
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6. （2024常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.
将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
解析：（1）∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 .
故答案为 .
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（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”
胜“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），
乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率.
解析：（2）设分别用A，B，C表示“石头”“剪子”“布”，列表如下：
甲 乙 A B C
A （B，A） （C，A）
B （A，B） （C，B）
C （A，C） （B，C）
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由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中甲获胜的结果有（A，B），（B，C），（C，A），共3种，
∴甲获胜的概率为 ＝ .
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7. （2024无锡）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这
些球除颜色外都相同.
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
解析：（1）∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球，∴摸到白球的概率为 .
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（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任
意摸出1个球.求2次摸到的球颜色不同的概率.（请用“画树状图”或“列
表”等方法写出分析过程）
解析：（2）根据题意列出表格如下：
白 红 绿
白 （白，白） （白，红） （白，绿）
红 （红，白） （红，红） （红，绿）
绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿）
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由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率为 ＝ .
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8. （2024宿迁）某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，
传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A.
彭雪枫纪念馆，B. 淮海军政大礼堂，C. 爱园烈士陵园，D. 大王庄党性教
育基地，每名学生只能任意选择一条线路.
（1）小刚选择线路A的概率为 ；
解析：（1）依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同.
∴小刚选择线路A的概率为 .
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（2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率.
解析：（2）依题意，列表如下：
小刚 小红 A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
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由列表可得，共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果
有4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为 ＝ .
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9. （2024南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1，2，3，4的四个
出入口.某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开
展志愿服务活动.
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
解析：（1）∵有标识为1，2，3，4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 .
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（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率.
解析：（2）画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的有4
种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为 ＝ .
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10. （2024扬州）2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热.小明和
小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A，
B，C，D，E）参加公益讲解活动.
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率
是 ；
解析：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，
∴选中东关街的概率是 .
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（2）小明和小亮在C，D，E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画
树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率.
解析：（2）列表如下：
C D E
C （C，C） （C，D） （C，E）
D （D，C） （D，D） （D，E）
E （E，C） （E，D） （E，E）
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共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，
∴小明和小亮选到相同景区的概率为 ＝ .
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11. （2024苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘
“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签
充分搅匀. 重难点拨
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
解析：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”
四个季节，
∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 .
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（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，
再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.
（请用画树状图或列表等方法说明理由）
解析：（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果
有2种，
∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为 ＝ .
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12. （2024连云港）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相
同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字
谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名
词”的概率是 ；
解析：（1）∵字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”，
∴小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ＝ .
故答案为 .
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（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法
求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
解析：（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种，
∴小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”的概率为 ＝ .
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13. （2024盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活
动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动.
A. 新四军纪念馆（主馆区）；
B. 新四军重建军部旧址（泰山庙）；
C. 新四军重建军部纪念塔（大铜马）.
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
（1）小明选择基地A的概率为 ；
解析：（1）∵共有三个基地开展研学活动，
∴小明选择基地A的概率为 .故答案为 .
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（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率.
解析：（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相同基地的结果有3种，故所求概率
为 ＝ .
1
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11
12
13(共68张PPT)
目录
考点梳理
考点1 数据的收集与整理
考点2 常见统计图（表）的特点
考点3 数据的分析
考点精研
命题点1 数据的收集与整理
命题点2 统计图（表）的分析
命题点3 平均数、中位数、众数
命题点4 极差与方差
第1节 统计
考点梳理
1
数据的收集与整理
1. 全面调查与抽样调查
定义 适用范围
全面 调查 为了某一特定的目的考察全体对象的调查 调查的范围小、调查不具有破坏性、
数据要求准确、全面.如乘坐飞机时
进行的安检
抽样 调查 从总体中抽取 对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况 调查对象涉及面大、范围广，或受条
件限制，或具有破坏性，如空气质量
的调查
部分
提醒
抽样调查时应注意：
（1）抽样调查的样本要具有代表性；
（2）抽样调查的样本容量不能太小.
2. 总体、个体、样本及样本容量
定义 注意事项
总体 所要考察的 总体、个体和样本不是具体的人
或物，而是人或物的某一具体指标
个体 组成总体的 考察对象
样本 从总体中抽取的一部分个体
样本容量 一个样本中所包的
样本容量没有单位
全体对象
每个
个体的数目
提醒
（1）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越准确.
（2）要全面、多角度地去分析已有数据，注意根据各个特征量的意义，选
择合适的特征量.
3. 频数与频率
（1）统计时，每个对象出现的 叫做频数，频数之和等于数据总数.
（2）每个对象出现的次数与总次数的 叫做频率，频率之和等
于 .
次数
比值
1
1. 对我国“天宫空间站梦天实验舱”的零部件检查应采用的调查方式
为 .（填“全面调查”或“抽样调查”）
全面调查
2. 电视台为了调查某节目的收视率，应采用 调查的方式.
抽样
3. 为了了解全市七年级学生的体重情况，从中抽查了500名学生.在这个问
题中，总体是 ；个体是
；样本是 ；样本容量是 .
全市七年级学生的体重
全市每个七年级学生的体
重
抽查的500名七年级学生的体重
500
4. 从1 000个零件中随机抽取100个检测，有2个不合格，估计这1 000个零件
中合格的零件约有 个.
980
5. 对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数
是8，频率是0.2，那么该班级的人数是 .
40
常见统计图（表）的特点
名称 图（表）中所含信息 优点
扇形 统计图 （1）各百分比之和等于 . （2）圆心角的度数＝百分比
× 能清楚地表示出各部分在
总体中所占的百分比
条形 统计图 各组数量之和等于抽样数据总数 能清楚地表示出每个项目
的具体数目，反映事物某
一阶段属性的大小变化
折线 统计图 各组数据之和等于抽样数据总数 能清楚地反映事物的变化
情况
1
360°
名称 图（表）中所含信息 优点
频数分布 直方图 （1）各组频数之和等于抽样数
据总数. （2）各组频率之和等于 . （3）某一组的频数＝数据总数
×该组的 能清楚地表示出收集或调
查到的数据，能显示出各
频数分布情况以及各组频
数之间的差异
频数 分布表 各组频率之和等于1 容易判断数据的多少，比
较各小组之间的差别
1
频率
1. 在如图所示的扇形统计图中，A占33％，B占42％，则扇形C的圆心角的
度数为 °.
第1题图
90
2. 某初中为了解学生的上学方式，现随机抽取部分学生进行调查，将结果
绘制成条形统计图（如图），由此可以估计该校1 500名学生中有 名
学生是乘车上学的.
第2题图
900
3. 已知一组数据的最大值是256，最小值是200.画频数分布直方图时，若设
定组距为6，则这组数据应分成 组.
10
4. 某校学生自主建立了一个学习用品义卖社团，已知八年级200名学生义卖
所得金额的频数分布直方图如图所示，那么40～50元这个小组的频率
是 .
0.15
数据的分析
1. 平均数
（1）定义：一组数据的平均值称为这组数据的平均数.
（2）算术平均数与加权平均数
①算术平均数（简称平均数）： ＝ （x1＋x2＋…＋xn）.
②加权平均数： ＝ （f1x1＋f2x2＋…＋fkxk），其中f1，f2，…，fk分别表
示x1，x2，…，xk出现的次数，n＝ .
f1＋f2＋…＋fk
（3）特点：平均数能反映一组数据的平均水平，易受极端值的影响.
（4）应用：概括两组数据的平均值，评价哪组数据的整体水平好.
2. 中位数
（1）定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
个数是奇数，那么处于 的数叫做这组数据的中位数；如果数据
的个数是偶数，那么处于中间位置的 叫做这组数据的中
位数.
（2）特点：中位数通过数据排列得到，不受极端值的影响.
（3）应用：常用来判断某一数据在某组数据中所处的位置，比中位数大，
则位于前 ，比中位数 ，则位于后50％.
中间位置
两个数的平均数
50％
小
3. 众数
（1）定义：一组数据中出现次数 的数据叫做这组数据的众数.
（2）特点：众数能反映一组数据的集中程度，可能不止一个，也可能没
有，但一定是原数据.
（3）应用：常用来解决与“最满意”“最受欢迎”“最受关注”等有关的
问题.
最多
4. 方差
（1）定义：对于n个数x1，x2，…，xn，它们的平均数为 ，则它们的方
差s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2].
（2）意义：方差反映一组数据的波动大小.方差越 ，数据的波动越
大；方差越小，数据的波动越 .
（3）应用：在平均数相同的情况下，比较两组数据的稳定性.
大
小
1. 某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）的测试成绩如下（单位：
次/min）：46，44，43，42，50，46，47，45，则这组数据的平均数
为 ，中位数是 ，众数是 .
45.375
45.5
46
2. 小王参加某公司招聘测试，他的笔试、面试、计算机操作得分分别为80
分，85分，90分.若三项得分依次按照25％，20％，55％确定成绩，则小王
的成绩是 .
86.5分
3. 一组数据：2，4，5，6，8的方差是 .
4
4. 小明、小兵两名同学参加学校举办的“强国有我”知识大赛，两人5次成
绩的平均数都是95分，方差分别是 ＝2.5， ＝3，则两人成绩较稳
定的是 .
小明
考点精研
2
数据的收集与整理
1. （2024镇江）下列各项调查适合普查的是（ B ）
A. 长江中现有鱼的种类
B. 某班每位同学视力情况
C. 某市家庭年收支情况
D. 某品牌灯泡使用寿命
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2. 2023年5月14日至5月20日是第32届“全国城市节约用水宣
传周”，为了解某校900名初三学生节约用水的情况，从初三年级22个班级
中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ B ）
A. 900名学生是总体
B. 50是样本容量
C. 22个班级是抽取的一个样本
D. 每名学生是个体
B
1
2
3
4
5
6
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22
23
24
3. （2023盐城）在英文句子“Happy Teachers’ Day！”中，字母“a”出
现的频数为 .
3
4. 将40个数据分成6组，第一组到第四组的频数分别为9，5，8，6，第六组
的频率是0.1，则第五组的频率是 .
0.2
1
2
3
4
5
6
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8
9
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22
23
24
统计图（表）的分析
5. （2024常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合
理分配体能，运动员通常会记录每行进1 km所用的时间，即“配速”（单
位：min）.小华参加5 km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下
列说法中错误的是（ D ）
A. 第1 km所用的时间最长
B. 第5 km的平均速度最大
C. 第2 km和第3 km的平均速度相同
D. 前2 km的平均速度大于最后2 km的平均速度
D
1
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22
23
24
6. （2024盐城）甲、乙两家公司2019～2023年的利润统计图如下，比较这
两家公司的利润增长情况，可知 重难点拨（ A ）
A
A. 甲始终比乙快
B. 甲先比乙慢，后比乙快
C. 甲始终比乙慢
D. 甲先比乙快，后比乙慢
1
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23
24
7. （2024南通）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识.为了
解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量
（单位：m3），绘制出如下未完成的统计图表：
1
2
3
4
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22
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24
组别 家庭月均用水量/m3 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
50个家庭去年月均用水量频数分布表
1
2
3
4
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6
7
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22
23
24
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
解析：（1）根据题意可知360°× ＝108°，
解得n＝15，∴m＝50－7－15－6－2＝20.
20
15
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20
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23
24
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
解析：（2）∵一共有50个用水量数据，
∴将50个数据从小到大排列，中位数为第25个和第26个数的平均数，即中位
数在B组，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组.
（3）若该小区有1 200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8 m3的家庭有多
少个.
解析：（3）1 200× ＝648（个），故估计去年月均用水量小于4.8 m3的家庭有
648个.
B
1
2
3
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5
6
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24
8. （2024苏州）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，
开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排
球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目.为
了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取
部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部
分信息如下：
1
2
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21
22
23
24
根据上信息，解决下列问题：
（1）将图1中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
解析：（1）此次调查的总人数为9÷15％＝60，
D项目的人数为60－6－18－9－12＝15，
补全条形统计图如下：
1
2
3
4
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23
24
（2）图2中项目E对应的圆心角的度数为 °；
解析：（2）题图2中项目E对应的圆心角的度数为360°× ＝72°.
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓
球）的人数.
解析：（3）800× ＝240（名），
答：估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数为240.
72
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24
9. （2024无锡）“五谷者，万民之命，国之重宝.”夯实粮食
安全根基，需要强化农业科技支撑.农业科研人员小李在试验田里种植了新
品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究.
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作
为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本；
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本；
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本.
解析：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，故答案为③.
③
1
2
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24
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1
cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度x/cm 频率
4.0≤x＜4.7 0.04
4.7≤x＜5.4 m
5.4≤x＜6.1 0.45
6.1≤x＜6.8 0.30
6.8≤x＜7.5 0.09
合计 1
1
2
3
4
5
6
7
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23
24
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝ ；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
0.12
解析：（2）①m＝1－（0.04＋0.45＋0.3＋0.09）＝0.12.
②麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数为100×0.3＝30，
频数分布直方图补全如下：
1
2
3
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6
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24
【作出合理估计】
（3）请你估计在该试验田里长度不小于5.4 cm的麦穗所占比例为多少.
解析：（3）0.45＋0.3＋0.09＝0.84.
答：估计在该试验田里长度不小于5.4 cm的麦穗所占比例为84％.
1
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24
平均数、中位数、众数
10. （2024无锡）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中
位数分别是（ C ）
A. 34，34 B. 35，35
C. 34，35 D. 35，34
C
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11. （2024扬州）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视
发生，共同守护光明未来”.某校积极响应，开展视力检查.某班45名同学
视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的众数是（ B ）
A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9
B
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24
12. （2024苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒
可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示.序号为1到5号的盲盒已选定，
这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号
盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择
（ C ）
A. 甲、丁 B. 乙、戊
C. 丙、丁 D. 丙、戊
C
1
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23
24
13. （2024镇江）一组数据：1，1，1，2，5，6，它们的众数为 .
1
14. （2024宿迁）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 .
12
15. （2024镇江）小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数
为 环.
7.5
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2
3
4
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24
16. （2024连云港）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽
取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统
计分析：
【收集数据】
100 94 88 88 52 79 83 64 83 87
76 89 91 68 77 97 72 83 96 73
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【整理数据】
该校规定：x≤59为不合格，59＜x≤75为合格，75＜x≤89为良好，89＜
x≤100为优秀.（成绩用x表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 a 0.20
良好 10 0.50
优秀 5 b
合计 20 1.00
1
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24
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c；
【解决问题】
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
解析：（1）a＝20×0.2＝4，b＝1－0.05－0.20－0.50＝0.25，
将七年级20名男生的测试成绩从小到大排列为52，64，68，72，73，76，77，
79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100，
排在第10，11位的是83，83，
∴中位数c＝ ＝83.
故答案为4；0.25；83.
4
0.25
83
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（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有
多少人.
解析：（2）300×0.25＝75（人）.
答：估计七年级300名男生中有75人体能测试能达到优秀.
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法. 重难点拨
解析：（3）平时应加强体能训练，（答案不唯一，只要合理即可）.
1
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17. （2023苏州）某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动
技能培训课程.为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训
后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行
现场评估，分成“合格”“良好”“优秀”3个等级，依次记为2分，6分，
8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）.学校随机抽取32名学
生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 ；（填“合
格”“良好”或“优秀”）
解析：（1）由题意得，这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格.
合格
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24
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少；
解析：（2）培训前的平均分为（25×2＋5×6＋2×8）÷32＝3（分），
培训后的平均分为（8×2＋16×6＋8×8）÷32＝5.5（分），
则培训后比培训前的平均分提高了2.5分.
1
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（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优
秀”的学生人数之和是多少.
解析：（3）估计培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生共有320× ＝240（名）.
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24
18. （2023常州）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级
学生上学、放学途中的用时情况进行了调查.本次调查在八年级随机抽取了
20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面
直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：
1
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24
（1）根据图中信息，下列说法中正确的是 ；（写出所有正确说
法的序号）
①这20名学生上学途中用时都没有超过30 min；
②这20名学生上学途中用时在20 min以内的人数超过一半；
①②③
③这20名学生放学途中用时最短为5 min；
④这20名学生放学途中用时的中位数为15 min.
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解析：（1）根据在坐标系中点的位置可知，
这20名学生上学途中用时最长的时间为30 min，故①说法正确；这20名学生上学途
中用时在20 min以内的人数为17人，超过一半，故②说法正确；这20名学生放学途
中用时最段的时间为5 min，故③说法正确；这20名学生放学途中用时的中位数是
用时第10和第11的两名学生用时的平均数，在图中，用时第10和第11的两名学生
的用时均小于15 min，故这20名学生放学途中用时的中位数也小于15 min，即④说
法错误.故答案为①②③.
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（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超
过25 min的人数；
解析：（2）根据图中信息可知，上学途中用时超过25 min的学生有1人，
故估计该校八年级学生上学途中用时超过25 min的人数为400× ＝20.
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24
（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近.请直接写出这条
直线对应的函数表达式并说明实际意义.
解析：（3）如图：
1
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设直线的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），根据图像可得，直线经过点（10，
10），（－5，－5），
将（10，10），（－5，－5）代入y＝kx＋b，
得解得
故直线的函数表达式为y＝x.
则这条直线可近似反映学生上学途中用时和放学途中用时一样.
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19. （2023南通）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主
题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，
进行整理、分析，得出有关统计图表.
抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 83 87 52.6
八年级 82 84 91 65.6
注：设竞赛成绩为x（分），规定：
90≤x≤100为优秀；75≤x＜90为良好；
60≤x＜75为合格；x＜60为不合格.
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（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的有 人；
解析：（1）估计优秀等次的有300× ＝90（人）.
（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面
说明理由.
解析：（2）八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，而八年级
的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好
（答案不唯一）.
1
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（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面
说明理由.
解析：（2）八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，而八年级
的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好
（答案不唯一）.
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极差与方差
20. 第1组数据为0，0，0，1，1，1，第2组数据为
， ，其中m，n是正整数.下列结论：①当m＝n
时，两组数据的平均数相等；②当m＞n时，第1组数据的平均数小于第2组
数据的平均数；③当m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位
数；④当m＝n时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差.其中正确的是
（ B ）
B
A. ①② B. ①③
C. ①④ D. ③④
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21. （2024常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落
点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20 m，方差
是 m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成
绩的方差是 m2，则 （填“＞”“＝”或“＜”）.
＞
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22. （2023淮安）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两
组数据的平均数都是7.设甲、乙两组数据的方差分别为 ， ，则
.（填“＞”“＝”或“＜”）
＜
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23. 若一组数据1，3，5，a，8的方差是2，则另一组数3，9，15，3a，24
的方差是 .
18
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2
3
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24. （2023扬州）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名
学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下
信息：
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 m 87
八年级参赛学生成绩 85.5 85 n
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
解析：（1）七年级成绩中80分的最多，有3个，所以众数m＝80.
将八年级成绩按从小到大排列为76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，所
以中位数n＝ ＝86.
80
86
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（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为 ， ，请判断： .
（填“＞”“＜”或“＝”）
解析：（2）∵七年级的方差 ＝ ×[（74－85.5）2＋3×（80－85.5）2＋（86－
85.5）2＋2×（88－85.5）2＋（89－85.5）2＋（91－85.5）2＋（99－85.5）2]＝46.05，
八年级的方差 ＝ ×[（76－85.5）2＋（77－85.5）2＋3×（85－85.5）2＋2×
（87－85.5）2＋2×（88－85.5）2＋（97－85.5）2]＝31.25，
∴ ＞ .故答案为＞.
＞
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24
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好. 重
难点拨
解析：（3）∵平均数相同，七年级的中位数较大，∴七年级的成绩较好.
1
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