(共45张PPT)
目录
考点梳理
考点1 点、直线和圆的位置关系
考点2 切线的性质与判定
考点3 三角形的外接圆和内切圆
考点精研
命题点1 点、直线和圆的位置关系
命题点2 切线的性质与判定
命题点3 三角形的外接圆和内切圆
第2节 与圆有关的位置关系
考点梳理
1
点、直线和圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心O的距离为d，则
（1） 点在圆内；
（2）d＝r 点在圆 ；
（3） 点在圆外.
d＜r
上
d＞r
2. 直线与圆的位置关系
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交
图示
d与r 的关系 d r d r d r
交点的情况 没有交点 有且只有一个交点 有两个交点
＞
＝
＜
1. 已知☉O的半径为5，线段OA的长为d.若点A在☉O外，则d的取值范
围为 .
d＞5
2. 已知点A（3，4），若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则☉A
与x轴的位置关系为 .
相离
3. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为6 cm，该圆的直径是
.
9 cm或
3 cm
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.若以C点为圆心，r为半
径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 .
3＜r≤4或r＝2.4
切线的性质与判定
1. 切线的性质
（1）圆的切线 于经过 的半径.
（2）经过圆心且垂直于切线的直线经过 .
（3）经过切点且垂直于切线的直线经过 .
垂直
切点
切点
圆心
2. 切线的判定
（1）与圆有且只有 个公共点的直线是圆的切线.
（2）如果圆心到一条直线的距离等于圆的 ，那么这条直线是圆的
切线.
（3）经过半径的 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
一
半径
外端
提醒
证明切线的两种常用方法
（1）当直线与圆有公共点时，“连半径，证垂直”.（2）当不确定直线与
圆是否有公共点时，“作垂直，证相等”.
3. 切线长及切线长定理
（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫
做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长 ，圆心和这
一点的连线 两条切线的夹角.
相等
平分
1. 如图，AB与☉O相切于点B，连接AO并延长交☉O于点C，连接BC.
若∠C＝35°，则∠A的度数是 .
20°
2. 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点.若∠OAB＝30°，则
∠APB＝ .
60°
3. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），半径为1的动圆
☉P沿x轴正方向运动.若运动后☉P与y轴相切，则点P的运动距离为 .
3或5
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为
半径作☉A. 当AB＝ cm时，BC与☉A相切.
6
三角形的外接圆和内切圆
1. 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.
2. 三角形的外接圆和内切圆
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
定义 经过三角形三个顶点的圆 与三角形三边都相切的圆
图示
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
圆心 三角形的外心，三角形三条
边 的交点 三角形的内心，三角形三条
的交点
性质 三角形的外心到三角形的三个顶
点的距离 ，等于外接圆
的半径 三角形的内心到三角形三边的距
离 ，等于内切圆的半径
垂直平分线
角
平分线
相等
相等
提醒
三角形内切圆的半径
（1）已知Rt△ABC的两条直角边长为a，b，斜边长为c，则Rt△ABC的内切圆半径r＝ .
（2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，则△ABC的内切圆
半径r＝ .
1. 直角三角形的两边长为6和8，则此三角形的外接圆半径为 .
4或5
2. 已知△ABC的面积是54 cm2，周长是36 cm，则△ABC的内切圆半径
是 cm.
3
3. 如图，在△ABC中，∠A＝68°.若点O是△ABC的外心，则∠BOC
＝ ；若点O是△ABC的内心，则∠BOC＝ .
第3题图
136°
124°
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ，
半径是 .
第4题图
（5， 2）
2
考点精研
2
点、直线和圆的位置关系
1. （2023宿迁）在同一平面内，已知☉O的半径为2，圆心O到直线l的距
离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ B ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. （2023镇江）已知一次函数y＝kx＋2的图像经过第一、二、四象限，以
坐标原点O为圆心，r为半径作☉O. 若对于符合条件的任意实数k，一次
函数y＝kx＋2的图像与☉O总有两个公共点，则r的最小值为 .
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
切线的性质与判定
3. （2024盐城）如图，点C在以AB为直径的☉O上，过点C作☉O的切线
l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
（1）求证：△ABC∽△ACD；
解析：（1）证明：如图，连接OC，
∵l是☉O的切线，∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
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9
（2）若AC＝5，CD＝4，求☉O的半径.
解析：（2）∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AD＝ ＝3，
∵△ABC∽△ACD，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴AB＝ ，
∴☉O的半径为 .
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4. （2024镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应
点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，☉O经过点A，D. 若
∠ACB＝90°，判断BC与☉O的位置关系，并说明理由.
解析：BC与☉O相切.理由如下：
如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
由翻折可知∠CAD＝∠OAD.
∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，
∴∠ACB＝∠ODB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵D在☉O上，∴BC与☉O相切.
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9
5. （2024宿迁）如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂
足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使
∠FCD＝2∠B.
（1）求证：CF是☉O的切线；
解析：（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B，
∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，
∴∠COE＋∠OCE＝90°，
∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE，
∴∠FCD＋∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°，
∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线.
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（2）求EF的长.
解析：（2）∵AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，且AB⊥CD，
∴CE＝ CD＝6，∵AB＝20，∴OC＝10，
∴OE＝ ＝8，
∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，
∴△OCE∽△OFC，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴OF＝ ，
∴EF＝OF－OE＝ －8＝ .
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6. （2023宿迁）（1）如图，AB是☉O的直径，AC与☉O交于
点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE，DB， .
求证： .
从①DE与☉O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，
余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），
并完成证明过程；
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9
证明：连接OD.
∵DE与☉O相切于点D，∴∠ODE＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，
∴∠AED＝180°－∠ODE＝90°，∴DE⊥AC.
解析：（1）当选择①作为条件，②作为结论时，
如图1，AB是☉O的直径，AC与☉O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC
上，连接DE，DB，DE与☉O相切，求证：DE⊥AC.
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当选择②作为条件，①作为结论时，
如图2，AB是☉O的直径，AC与☉O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC
上，连接DE，DB，DE⊥AC，求证：DE与☉O相切.
证明：连接OD.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°.
∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切.
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（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，
求阴影部分的面积. 重难点拨
解析：（2）如图3，连接OF，DF.
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝6，∠BAD＝30°，
∴BD＝ AB＝3，AD＝ BD＝3 .
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，
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在Rt△AED中，DE＝ AD＝ ，AE＝ DE＝ ，
∵∠EAD＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°.
∵OD＝OF，∴△DOF，△DOB都是等边三角形，
∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，
∴DF∥AB，∴S△ADF＝S△ODF，
∴S阴影＝S△AED－S扇形DOF
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＝ AE·DE－
＝ × × －
＝ －
＝ ，
∴阴影部分的面积为 .
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三角形的外接圆和内切圆
7. （2023常州）如图，AD是☉O的直径，△ABC是☉O的内接三角形.若
∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则☉O的直径AD＝ .
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8. （2022南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝
CE. 过A，D，E三点作☉O，连接AO并延长，交BC于点F.
（1）求证：AF⊥BC；
解析：（1）证明：如图，连接AD，AE.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴AD＝AE.
连接OD，OE，则OD＝OE.
∵AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（SSS），
∴∠DAF＝∠EAF，∴AF⊥BC.
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（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求☉O的半径.
解析：（2）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝ BC＝6，
∴AF＝ ＝ ＝8.
∵BD＝2，∴DF＝4.
设DO＝AO＝x，∴OF＝AF－x＝8－x.
∵OD2＝OF2＋DF2，∴x2＝（8－x）2＋42，∴x＝5，
∴☉O的半径为5.
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9. （2023南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，
过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC， 于点E，F，射线
AF交直线BC于点G.
（1）求证：AC＝CG；
解析：（1）证明：如图1，过点A作直径AM.
∵AB＝AC，∴AM⊥BC，∴∠E＋∠EOM＝90°.
∵AC⊥EF，∴∠OAD＋∠AOD＝90°.
∵∠EOM＝∠AOD，∴∠E＝∠OAD.
∵OA＝OF，
∴∠OAD＋∠DAF＝∠AFO＝∠E＋∠G，
∴∠DAF＝∠G，∴AC＝CG.
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（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数；
解析：（2）∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM.
设∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°－∠BAC）＝90°－2α，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°－α，
∴∠BAG＝2α＋2α＋45°－α＝45°＋3α.
如图2，连接AE，
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∵EF⊥AC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，∴EC＝AE.
∵BH＝HC，又EB＝CG，∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，∴AE＝AG，∴EC＝AG.
∵EB＝CG，∴EB＋BC＝BC＋CG，
∴EC＝BG，∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°＋3α＝90°－2α，
∴α＝9°，∴∠BAC＝4α＝36°.
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（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变
化过程，并说明理由.
解析：（3）当CG＝6时，BE＝0.
当CG＞6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小.
说明：①如图3，当BE＝0时，点E与B重合.
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在△BOH和△AOD中，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，
∴CA＝CG＝6.
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②如图4，当CG＞6时，
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH∽△ECD，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴BE＝ CG2－6，
∴BE随CG的增大而增大.
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③如图5，当3＜CG＜6时，
∵∠ACH＝∠DCE，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△AHC∽△EDC，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
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∴BE＝－ CG2＋6，
∴BE随CG的增大而减小.
综上所述，当CG＝6时，BE＝0；
当CG＞6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小.
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9(共65张PPT)
目录
考点梳理
考点1 弧、弦、圆心角的关系
考点2 垂径定理及其推论
考点3 圆周角定理及其推论
考点精研
命题点1 弧、弦、圆心角的关系
命题点2 垂径定理
命题点3 圆周角定理及其推论
命题点4 圆内接四边形
第1节 圆的基本性质
考点梳理
1
弧、弦、圆心角的关系
1. 圆的相关概念
图
示
圆 （1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一
个端点A所形成的图形叫做圆.如图，固定的端点O叫做 ，线
段OA叫做 ；
（2）圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点称为圆
心，定长称为半径
圆心
半径
弦 （1）连接圆上任意两点的 叫做弦，如AB，BC.
（2）经过 的弦叫做直径，直径是圆中最 的弦，如AC
弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做弧，如 ， ， .
（2） 半圆的弧叫做劣弧，如 ， ；
（3） 半圆的弧叫做优弧，如 .
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
线段
圆心
长
小于
大于
圆心角 顶点在 的角叫做圆心角，如∠AOB
圆周角 顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周
角，如∠ACB
圆心
圆上
相交
提醒
（1）半圆是弧，不是封闭图形.（2）弧长相等的弧不一定是等弧.
2. 圆的对称性
对 称
性 （1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
（2）圆是中心对称图形， 是它的对称中心
旋转 不变
性 把圆绕 旋转任意一个角度后所得的图形都能与原图形重合
圆心
圆心
3. 弦、弧、圆心角之间的关系
定
理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也
推
论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，
即“知一推二”.如图，∠AOB＝∠COD
＝ AB＝CD
相等
相等
提醒
上述定理及其推论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，做题时一
定要多注意.
1. 已知☉O中最长的弦为16 cm，则☉O的半径为 cm.
8
2. 如图， ＝ .若AB＝3，则CD＝ .
第2题图
3
3. 如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝
DA，则∠BCD＝ .
第3题图
120°
4. 如图，☉O的弦AB的延长线与半径OC的延长线交于点D，BD＝OA.
若∠AOC＝120°，则∠D的度数是 .
20°
垂径定理及其推论
定
理 垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的
∵AB是☉O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝ ， ＝ ， ＝
平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 这条弦所对的
两条弧
平分
两条弧
DE
垂直
平分
提醒
利用垂径定理及其推论解题时，常过圆心向弦作垂线，在计算时，常
涉及半径r，弦长a，弦心距d（圆心到弦的距离），它们之间的关系是r2
＝d2＋（ ）2.
1. 如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D. 若OC＝5 cm，DC＝2 cm, 则AB＝ .
8 cm
2. 如图，AB，AC是☉O的两条弦，且AB⊥AC. 若AB＝8，AC＝6，则
☉O的半径等于 .
5
3. 如图，直径为10 dm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB
为8 dm，则水的最大深度CD是 dm.
2
4. 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E. 若CE＝ ，BE＝1，则
OC＝ .
2
圆周角定理及其推论
定
理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ，同弧或等弧所
对的圆周角
情
况 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角
内部 圆心在圆周角外部
一半
相等
图
形
结
论 ∠AOB＝2∠APB
推
论 半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦
是
直角
直径
提醒
常见的与圆性质有关的分类讨论
（1）已知圆内一条弦与其对应的圆心角，求其对应的圆周角（如图1）；
（2）已知圆内两条平行弦，求这两条弦间的距离（如图2）.
1. 如图，A，B，C为☉O上的三点.若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数
为 °.
第1题图
70
2. 如图，AB是☉O的直径，C，D在☉O上.若∠ABC＝70°，则∠D的
度数为 °.
第2题图
20
3. 半径为1的☉O中，弦AB＝ ，弦AB所对的圆周角的度数为
.
45°或
135°
圆内接四边形
定
义 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个
圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆
性质 圆内接四边形的对角 . 如图，∠A＋ ＝180°，∠B
＋ ＝180°
四边形ABCD
是☉O的内接
四边形
延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对
角（和它相邻内角的对角）.如图，∠DCE
＝
互补
∠BCD
∠D
∠A
1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点.若∠A＝
80°，则∠DCE＝ °.
80
2. 如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD. 若∠BOD＝130°，
则∠C的度数是 °.
115
3. 如图，在☉O中，点A在 上.若∠BOC＝100°，则∠BAC
＝ °.
130
考点精研
2
弧、弦、圆心角的关系
1. 如图，在扇形AOB中，D为 上的点，连接AD并延长，与OB的延长
线交于点C. 若CD＝OA，∠O＝72°，则∠A的度数为（ D ）
A. 35° B. 52.5°
C. 70° D. 72°
第1题图
D
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21
2. （2023苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上， ＝
，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.
设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若 ＝ ，则tan∠ACO的值为
（ A ）
A. B.
C. D.
第2题图
A
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3. 如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的☉O与AB，
BC，AC分别交于点F，D，G，且D是 的中点.
（1）求证AB＝AC；
解析：（1）证明：如图，连接AD.
∵AE是☉O的直径，∴∠EDA＝90°.
∵D是 的中点，∴ ＝ ，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
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21
（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长.
解析：（2）如图，连接DG.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.
∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6.
由勾股定理，得AD＝ ＝8.
∵DF∥AC，∴ ＝ ，∴BF＝FA.
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DF＝ AB＝5.
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
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∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AE＝ .
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝ ，AD＝8，
∴DE＝ ＝ ，
∴EC＝CD－DE＝ .
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垂径定理
4. 如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠.
若 恰好过圆心O，则BC的长是（ A ）
A. 3 B. π C. 2π D. 4π
第4题图
A
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5. 如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于
A，B，C，D四点.已知A（6，0），B（－2，0），C（0，3），则点
D的坐标为 .
第5题图
（0，4）
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6. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆
弧所在的圆外接于矩形门洞.如图，已知矩形门洞的宽为 m，高为3 m，
则改建后门洞的圆弧长是 m.（结果请保留π）
π
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圆周角定理及其推论
7. 如图，点C，D在半圆O上， ＝2 ＝2 ，AD，BC相交于点
E， 的值为（ D ）
A. B. C. D.
第7题图
D
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8. （2024镇江）如图，AB是☉O的内接正n边形的一边，点C在☉O上，
∠ACB＝18°，则n＝ .
第8题图
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9. （2024常州）如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，连接AD，
BC，BD. 若∠BCD＝20°，则∠ABD＝ °.
第9题图
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10. （2024苏州）如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC＝28°，
则∠A＝ °.
第10题图
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11. （2024盐城）如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠C＝40°，连接
OA，OB，则∠OAB＝ °.
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12. （2024连云港）如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均
在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3
＋∠4＝ °. 重难点拨
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13. （2023南通）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上.若∠DAB＝
66°，则∠ACD＝ °.
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14. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，
垂足分别为E，F. 若OF＝ ，则AB＝ .
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15. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC所在直
线折叠， 恰好经过点O. 若AB＝4，则 的长是 .
π
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16. （2024苏州）如图，△ABC中，AB＝4 ，D为AB中点，∠BAC＝
∠BCD， cos ∠ADC＝ ，☉O是△ACD的外接圆.
（1）求BC的长；
解析：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD，∴ ＝ ，
∵AB＝4 ，D为AB中点，∴BD＝AD＝2 ，
∴BC2＝16，∴BC＝4.
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（2）求☉O的半径.
解析：（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO并延长，
交☉O于F，连接AF，
∵在Rt△AED中， cos ∠CDA＝ ＝ ，AD＝2 ，
∴DE＝1，∴AE＝ ＝ ，
∵△BAC∽△BCD，∴ ＝ ＝ ，
设CD＝x，则AC＝ x，CE＝x－1，
∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，
∴（ x）2＝（x－1）2＋（ ）2，即x2＋2x－8＝0，
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解得x＝2或x＝－4（舍去），∴CD＝2，AC＝2 ，
∵∠AFC与∠ADC都是 所对的圆周角，
∴∠AFC＝∠ADC，
∵CF为☉O的直径，∴∠CAF＝90°，
∴ sin ∠AFC＝ ＝ sin ∠CDA＝ ＝ ，
∴CF＝ ，即☉O的半径为 .
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17. （2023无锡）如图，AB是☉O的直径，FD为☉O的切线，CD与AB
相交于点E，DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD，连接DA.
（1）求∠F的度数；
解析：（1）如图，连接OD.
∵FD为☉O的切线，∴∠ODF＝90°.
∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°－∠ODF＝90°，
∴∠ACD＝ ∠AOD＝45°.
∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝ ＝67.5°.
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（2）若DE·DC＝8，求☉O的半径.
解析：（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°.
∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD.
∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE∽△DCA，
∴ ＝ ，∴DA2＝DE·DC＝8.
∵DA＞0，∴DA＝2 .
∵OA2＋OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，
∴OA＝2，即☉O的半径为2.
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圆内接四边形
18. （2023淮安）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BC是☉O的
直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °.
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19. （2022南京）如图，四边形ABCD内接于☉O，它的3个外角∠EAB，
∠FBC，∠GCD的度数之比为1∶2∶4，则∠D＝ °.
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20. （2024无锡）如图，AB是☉O的直径，△ACD内接于☉O， ＝
，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD.
（1）求证：△CAD∽△CEA；
解析：（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEA.
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（2）求∠ADC的度数.
解析：（2）连接BD，如图.
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，∴∠CAE＝2α，
由（1）知△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠CAB＋∠CDB＝180°，
即2α＋2α＋90°＝180°，解得α＝22.5°，
∴∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°.
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21. （2024扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种
常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，
证明结论.
已知△ABC，CA＝CB，☉O是△ABC的外接圆，点D在☉O上（AD＞
BD），连接AD，BD，CD. 重难点拨
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，
则AD－BD与CD的数量关系为 ；
AD－BD＝CD
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解析：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∵AD为☉O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∴CD＝BD＝ AD，
∴AD－BD＝CD.
故答案为AD－BD＝CD.
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【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB＝60°，点C，D在AB同侧，
判断AD－BD与CD的数量关系并说明理由；
解析：（2）若∠ACB＝60°，点C，D在AB同侧，
AD－BD与CD的数量关系为AD－BD＝CD，理由：
延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图1，
∵CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝60°，
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∵DE＝CD，∴△CDE为等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋∠BCD，
∵∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝60°＋∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE.
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠E＝60°.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD＝BE，
∵BE＝BD＋DE＝BD＋CD，
∴AD＝BD＋CD，∴AD－BD＝CD.
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【拓展性延伸】
（3）若∠ACB＝α，直接写出AD，BD，CD满足的数量关系.（用含α的
式子表示）
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（3）①当点C，D在AB同侧时，
延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图2，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，
∴∠CAB＝∠CBA＝90°－ α，
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∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE＝∠BAC＝90°－ α，
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝90°－ α，∠DCE＝α.
∵CF⊥DE，∴∠DCF＝∠ECF＝ α，DF＝EF＝CD· sin α，∴DE＝2DF
＝2CD· sin α，
∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝α＋∠BCD，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝α＋
∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
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∵∠ADC＝∠ABC＝90°－ α，∴∠ADC＝∠E.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD＝BE，
∵BE＝BD＋DE＝BD＋2CD· sin α，
∴AD－BD＝2CD· sin α.
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②当点C，D在AB两侧时，
延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图3，
∵CA＝CB，∠ACB＝α，∴∠CAB＝∠CBA＝90°－ α，
∵四边形ADBC为圆的内接四边形，
∴∠CBE＝∠DAC，
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在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE（SAS），∴CD＝CE，∠ADC＝∠E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°－ α，∴∠E＝90°－ α，
∵CF⊥DE，∴∠DCF＝∠ECF＝ α，DF＝EF＝CD· sin α，∴ DE＝
CD· sin α，
∴DE＝2CD· sin α，
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∴AD＋BD＝2CD· sin α.
综上，若∠ACB＝α，AD，BD，CD满足的数量关系为：当点C，D在AB同侧
时，AD－BD＝2CD· sin α；当点C，D在AB两侧时，AD＋BD＝2CD· sin α.
∵DE＝BD＋BE＝AD＋BD，
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21(共9张PPT)
目录
类型一 “定点定长”构造圆
类型二 “定弦定角”构造圆
微专题10 辅助圆在解题中的应用
“定点定长”构造圆
核心知识
如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则点A，B，C，D在以点O为圆心，
OA（或OB，OC，OD）为半径的圆上.
提醒
上述结论的本质是圆的定义.
即时训练
1. 如图，已知∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，AB＝AC＝AD，则
∠CAD的度数为 .
88°
2. 如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等.若
∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是 °.
130
3. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC＝CD＝AC＝2 ，AB
＝ ，则BD的长为 .
“定弦定角”构造圆
核心知识
前提：在△ABC中，∠C为定角（∠C＝α），所对的弦AB长度固定.
分类 图形 结论
∠C为直角 如图，点C在以点O为圆心，AB为直
径的圆上运动（不包含点A，B）
∠C为锐角 如图，点C在以点O为圆心，圆心角为
360°－2α的优弧 上运动（O，C
在AB同侧，不包含点A，B）
分类 图形 结论
∠C为钝角 如图，点C在以O为圆心，圆心角为
360°－2α的劣弧 上运动（O，C
在AB异侧，不包含点A，B）
即时训练
4. （2024扬州）如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2
于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线
段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时， sin ∠BAH的值
为 .
5. 如图，点A是半径为8的☉O上一定点，点B是☉O上一动点，点P是弦
AB的中点.若点B绕圆周运动一周，则点P所经过的路径长为 .
8π (共38张PPT)
目录
考点梳理
考点1 圆内接正多边形的有关计算
考点2 弧长与扇形面积的计算
考点3 圆锥的相关计算
考点精研
命题点1 圆内接正多边形的计算
命题点2 弧长与扇形面积的计算
命题点3 圆锥的相关计算
第3节 与圆有关的计算
考点梳理
1
圆内接正多边形的有关计算
1. 有关概念
正多边形的中心 一个正多边形 的圆心
正多边形的半径 正多边形 的半径
正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角
正多边形的边心距 正多边形的 到正多边形的一边的距离
外接圆
外接圆
中心
2. 有关计算
如图，已知圆内接正多边形的边数为n，边长为a，半径为R，中心角为
α，边心距为r，周长为l，面积为S.
（1）边长：a＝ ；
2R· sin
（2）周长：l＝na；
（3）边心距：r＝ ；
（4）面积：S＝ ；
（5）内角度数为 ；
（6）外角度数为 ；
（7）中心角度数为 .
R· cos
a·r·n
提醒
正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍；正方形的边长等于其外接
圆半径的 倍；正六边形的边长等于其外接圆的半径.
1. 一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 .
9
2. 半径为4的圆的内接正三角形的边长为 4 ，面积为 12 .
4
12
3. 边长为2 cm的正六边形的外接圆半径是 cm，内切圆半径
是 cm.（结果保留根号）
2
4. 将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等
于 .（结果保留根号）
1＋
弧长与扇形面积的计算
如图，已知扇形AOB的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，面积为S.
（1）弧长：l＝ ；
（2）扇形面积：S＝ ＝ lR .
lR
提醒
与圆有关的阴影部分面积的计算
方法 图示 计算公式
直接和差法 S阴影＝S△ABC－S扇形ACD
构造和差法 S阴影＝S△OBC－S扇形OBD
等积转化法 （其中CD∥AB） S阴影＝S扇形OCD
1.75°的圆心角所对的弧长是 π，则此弧所在圆的半径为 .
6
2. 已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 .
4π
3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝ ，以点A为圆心、AB长为半
径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 .
4. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆
心、AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的
周长是 .
3＋π
5. 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M. 连接OC，DB. 如
果OC∥DB，OC＝2 ，那么图中阴影部分的面积是 .
2π
圆锥的相关计算
图示
圆锥的 相关结论 （1）圆锥的侧面展开图是 .
（2）圆锥的母线长等于其侧面展开图（扇形）的半径.
（3）圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线长l、底面
圆的半径r和圆锥的高h之间的数量关系为
扇形
r2＋h2＝l2
圆锥的 底面周长 圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图（扇形）的弧长，即
2πr＝
圆锥的侧面积 S侧面＝πrl
圆锥的表面积 S表面＝
πrl＋πr2
1. 若圆锥的侧面积是24π cm2，母线长是8 cm，则该圆锥底面圆的半径
是 cm.
3
2. 已知一个圆锥的底面直径为20 cm，母线长30 cm，则这个圆锥的表面积
是 .
400π cm2
3. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3 cm的扇形，则这
个圆锥的底面圆半径是 cm.
1
4. 若要制作一个母线长为9 cm，底面圆的半径为4 cm的圆锥，则这个圆锥
的侧面展开图的圆心角度数是 .
160°
考点精研
2
圆内接正多边形的计算
1. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径
与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的（ B ）
A. 27倍 B. 14倍
C. 9倍 D. 3倍
第1题图
B
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2. （2023连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方
向旋转，使得新正六边形A'B'CD'E'F'的顶点D'落在直线BC上，则正六边形
ABCDEF至少旋转 °.
第2题图
60
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3. （2023南京）如图，☉O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于
点C，F. 若AB＝2，则☉O的半径为 . 重难点拨
第3题图
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4. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且
AM＝2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所
截的线段长是 .
第4题图
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弧长与扇形面积的计算
5. 如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB、AC交于点D，E.
若BC＝6，∠A＝60°，则 的长为（ B ）
A. π B. π C. 2π D. 3π
第5题图
B
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6. 如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个
顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三
角形的边长为3，则勒洛三角形的周长为（ B ）
A. 2π－2 B. 3π
C. π－ D. 2 π
第6题图
B
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7. （2023连云港）如图，矩形ABCD内接于☉O，分别以AB，BC，
CD，AD为直径向外作半圆.若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是
（ D ）
A. π－20 B. π－20
C. 20π D. 20
第7题图
D
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8. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧
长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为
（ B ）
A. π－ B. π－
C. π－2 D. π－
第8题图
B
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9. （2024镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长
为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则 的长
l＝ .（结果保留π）
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10. （2024宿迁）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆
心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的 的长为 .
第10题图
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11. （2024苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.
如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应
的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是△ABO的
内心，若AB＝2 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ .（结
果保留π）
8π
第11题图
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12. （2024南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，☉A与BC
相切于点D.
（1）求图中阴影部分的面积；
解析：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
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∴AB2＋AC2＝32＋42＝25＝52＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵BC与☉A相切于D，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝ AD·BC＝ AC·AB，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∴S阴影＝S△ABC－S扇形＝ ×3×4－ ＝6－ π.
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（2）设☉A上有一动点P，连接CP，BP. 当CP的长最大时，求BP的长.
解析： （2）如图2，延长CA交☉A于P，连接BP，AD，此时CP最长，
由（1）知∠BAC＝∠PAB＝90°，AP＝AD＝ ，
∴PB＝ ＝ .
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圆锥的相关计算
13. （2024无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积
为（ B ）
A. 6π B. 12π
C. 15π D. 24π
B
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14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直
线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ B ）
A. 12π B. 15π
C. 20π D. 24π
B
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15. 底面半径为10 cm，高为10 cm的圆锥的侧面展开图的面积
为（ A ）
A. 200π cm2 B. 100π cm2
C. 200 π cm2 D. 100 π cm2
A
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16. （2024南通）已知圆锥的底面半径为2 cm，母线长为6 cm，则该圆锥的
侧面积为 cm2.
12π
17. （2024宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇
形的圆心角的度数为 °.
90
18. （2024扬州）若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则
这个圆锥底面圆的半径为 cm.
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19. （2023苏州）如图，在 ABCD中，AB＝ ＋1，BC＝2，
AH⊥CD，垂足为H，AH＝ .以点A为圆心，AH长为半径画弧，与
AB，AC，AD分别交于点E，F，G. 若用扇形AEF围成一个圆锥的侧
面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，
记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1－r2＝ .（结果保留根号）
重难点拨
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19(共19张PPT)
目录
类型一 “点圆”最值问题
类型二 “线圆”最值问题
微专题11 与圆有关的最值问题
“点圆”最值问题
核心知识
平面内一定点D和☉O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有
最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论（设OD＝d，☉O的半径为r）：
分类 图形 结论
D点在☉O外 （d＞r） 当D，E，O三点共线时，
线段DE出现最值，
DE的最大值为d＋r，
DE的最小值为d－r
分类 图形 结论
D点在☉O上 （d＝r） 当D，E，O三点共线时，
线段DE出现最值，
DE的最大值为2r，
DE的最小值为0
分类 图形 结论
D点在☉O内（d＜r） 当D，E，O三点共线时，
线段DE出现最值，
DE的最大值为r＋d，
DE的最小值为r－d
即时训练
1. （2024苏州姑苏一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，☉O与
边AD，对角线AC均相切，过点B作☉O的切线，切点为P，则切线长BP
的最小值为（ D ）
A. 6 B. 7 C. 5 D. 4
D
2. （2023南京鼓楼校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝
12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（ B ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
B
3. （2024宿迁沭阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为
（2，0），点C在第一象限内，直线OC与以OA为直径的圆相交于点B，
连接AB，AC，如果OC＝3AB，则AC的最小值为 .
－3
4. 若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a，最小距离为b
（a＞b），则此圆的半径为 .
或
5. 如图，正方形ABCD的边长为4，☉O的半径为1.若☉O在正方形ABCD
内平移（☉O可以与该正方形的边相切），则点A到☉O上的点的距离的最
大值为 .
3 ＋1
6. （2024无锡锡山一模）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB
＝6，BC＝8，点D是边AC的中点.以点A为圆心，2为半径在△ABC内部
画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，PQ＋QD的最
小值是 ；
－2
（2）如图2，矩形ABCD中AB＝200 ，BC＝300.E为CD中点，要在以
点A为圆心，10为半径的圆弧上选一处点P，边BC上选一处点Q，M，N
是以Q为圆心，10为半径的半圆的三等分点处，PM＋NE的最小值
是 .
570
“线圆”最值问题
核心知识
1. ☉O与直线l相离，点P是☉O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离
为d，☉O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r（如图1），点P
到直线l的最大距离是d＋r（如图2）.
2. AB为☉O的一条定弦，C为圆上一动点.
（1）如图1，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段
CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.
（2）如图2，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且直线CH过圆心O时，线
段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.
即时训练
7. ☉O的半径为1，直线l与☉O相离，点P是直线l上一动点，过点P作
☉O的一条切线PA（其中点A是切点），圆心O到直线l的距离为3，则PA
的最小值是（ B ）
A. 2 B. 2
C. 3 D.
B
8. （2024宿迁泗阳三模）如图，扇形AOB的半径为8，∠AOB＝90°，点
C，D，E分别为弧AB，半径OA，OB上的动点，∠CED＝90°，
tan∠CDE＝ ，则△CDE周长的最小值为 ＋8 .
＋8
9. （2024连云港海州三模）如图，C在以AB为直径半圆上，AC＝ ，
∠CAB＝30°，点D是弧BC上的一动点，CE⊥AD，连接BE，则BE的
最小值是 .
10. 已知☉O的直径为6，圆心O到直线l的距离为5，若点P为☉O上一动
点，点P到直线l的距离的最大值为 ，最小值为 .
8
2
11. 如图，☉O的半径是3，点A在☉O上，点P是☉O所在平面内一点，且
AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA.
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若点M，N是直线l与☉O的公共点，则当线段MN的长度最大时，
OP的长为 .
5
