8.2 三角恒等变换（同步练习）（含解析）-高中数学人教B版（2019）必修三

8.2 三角恒等变换 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，角的始边均为，终边相互垂直，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．下列函数中，满足“，”的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数的最大值是
B．函数在上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移个单位后图象关于原点对称
5．古希腊数学家帕普斯（Pappus，约A．D．290－A．D．350）利用如图所示的几何图形，由直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
6．在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上有且仅有4个零点．则图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
二、多选题
9．已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为；
B．函数的图象关于对称；
C．在区间上单调递减；
D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．
10．已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在上的最大值为3
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称
12．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数
三、填空题
13．已知，则 ．
14．已知为三角形的两个内角，，则＝ ．
15．将化成（其中，）的形式为 .
16．若函数的一个零点为，则 ；将函数的图象向左至少平移 个单位，得到函数的图象.
四、解答题
17．已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
18．已知平面向量．设函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到，且关于的方程在上恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围和的值．
19．已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
20．已知函数的最大值为.
(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；
(2)求函数的单调递增区间和对称中心.
21．已知函数
(1)求函数的最小正周期
(2)当时，求函数的最大值和最小值
(3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】依题意，，则，
或，则，
所以.
故选：C
2．A
【分析】利用两角和差的正弦公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.
【详解】由，
则，
所以，
所以，
所以或，
因为，，
所以或，
所以的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选：A.
3．B
【分析】ACD选项可以根据举例进行排除，B选项根据两角和的正弦公式，反复操作，结合放缩法进行说明.
【详解】A选项，若，取，则，
再取，可得，即，明显错误，A选项错误；
C选项，若，取，则，
再取，可得，即，明显错误，C选项错误；
D选项，若，取，则，
再取，可得，即，明显错误，D选项错误；
B选项等价于证明，，
根据两角和的正弦公式，绝对值三角不等式，
当取得等号，即，
同样的操作，可以证明，
类似依次进行次操作，最后一个不等式为，，
将上述不等式全相加，即可得到，
当取得等号（显然是一个取等号条件），B选项正确.
故选：B
4．B
【分析】根据题意，化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，
可得最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错误；
当，可得，根据正弦函数的性质，
可得函数在上单调递增，所以B正确；
将函数图象向左平移得到函数，
此时函数的图象不关于原点对称，所以D错误.
故选：B．
5．B
【分析】由已知可得，在中，，在中，，在中，，可得结论.
【详解】在中，，
在中，，
在中，，
由,
所以.
故选：B.
6．A
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则,
，其中锐角满足，故的最大值为,
故选：A

7．D
【分析】化简，由零点个数整体思想求出，并求出对称轴判断其范围，结合赋值法判断各选项.
【详解】，
令，得，
因为，所以，
若在上有且仅有4个零点，则，解得，
令，得，因为，
所以．当，
当，当，只有D符合.
故选：D．
8．D
【分析】利用辅助角公式及二倍角的余弦公式化简函数式并逐一判断即得.
【详解】对于①，，显然，，，
因此函数不是奇函数，①不是；
对于②，的定义域为R，，
函数是奇函数，周期为，②是；
对于③，的定义域为R，，
函数是奇函数，周期为，③是，
故选：D
9．AB
【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解.
【详解】.
A：函数的最小正周期为，故A正确；
B：，为的最小值，故B正确；
C：由，得，所以函数在上单调递增，故C错误；
D：将函数图象向左平移个单位长度，
得图象，
与函数的图象不重合，故D错误；
故选：AB
10．BCD
【分析】由同角三角函数的平方关系计算，和验证ABD选项；，由两角和的正弦公式计算验证C选项.
【详解】，则，
，，故A错误，D正确；
，故B选项正确；
，故C选项正确；
故选：BCD.
11．BCD
【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简，再计算可判断A，计算可判断B，由自变量范围求出范围，换元后利用对勾函数求最值可判断C，根据图象平移计算即可判断D.
【详解】.
因为，所以A错误.
因为
，
所以的图象关于点对称，B正确.
若，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，C正确.
，则，且定义域关于原点对称，
所以为偶函数，其图象关于轴对称，D正确.
故选：BCD
12．ACD
【分析】由，选项A：利用正弦函数的单调性判断； 选项B：利用正弦函数的最值、周期判断；选项C：利用正弦函数的图象判断； 选项D：利用三角函数的图象变换判断.
【详解】，
，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确；
对于B，若且，则，故B不正确；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：

可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
13．/
【分析】由诱导公式、商数关系得，进一步由二倍角公式将所求式子化简成关于的式子，代入即可得解.
【详解】由题意，所以，，
所以
.
故答案为：.
14．
【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得．
【详解】∵为三角形的两个内角，且，
∴，，
∵，，
，
，
，，∴．
故答案为：．
15．
【分析】逆用两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
.
故答案为：
16． 1 /
【分析】利用零点的意义求出；利用辅助角公式化简函数，再借助平衡变换求解即得.
【详解】函数的一个零点为，得，解得；
则，显然，
所以的图象向左至少平移个单位，得到函数的图象.
故答案为：1；
17．(1)
(2)
【分析】（1）由值求值，即可求出；
（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.
【详解】（1）由，可得，
.
（2）由 ，可得，
又，
，
，
由，可得.
18．(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式、辅助角公式化简并求出周期.
（2）求出函数的解析式，作出函数在上的图象及直线，数形结合求出实数的范围及的值.
【详解】（1）由，
得，
所以的最小正周期.
（2）由（1）知，，则，
关于的方程在上恰有三个不同的实数根，
于是直线与函数在上的图象有3个不同的公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，
显然，当时，直线与函数在上的图象有3个不同的公共点，
且点关于直线对称，点关于直线对称，
因此，，，
所以实数的取值范围是，.

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先由两角和正切公式得，再根据齐次式问题运算求解即可；
（2）根据题意可得，再根据两角和差公式分析运算即可.
【详解】（1）由题，
所以
.
（2）因，，所以，
所以，
所以，
所以
，
所以
因为，，则，所以.
20．(1)，
(2)单调递增区间为（），对称中心为，
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的性质求出及取最大值时相应的集合；
（2）由（1）可得，根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为
.
当时，函数取到最大值，
所以，即，
令，，解得，，
所以当函数取到最大值时的集合为.
（2）由（1）得，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为（），
由，，解得，，
所以函数的对称中心为，.
21．(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可；
（2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可；
（3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可.
【详解】（1），
则最小正周期为.
（2）；
则函数的最大值为，最小值为.
（3），
因为，
，
因为对任意的，当时，恒成立，
则对任意的，当时，恒成立，
，
不妨设，则问题转化成在上单调递减，
所以，其中，解得，
所以的取值范围为.