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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024安徽淮北·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故此题答案为C．
2．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）
A．14 B．10 C．3 D．2
【答案】B
【详解】设第三边是x,由三角形边的性质可得：8-5∴3故此题答案为B.
3．（2024安徽合肥·期末）已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，据此求出周长范围即可．
【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：，
即，
设三角形的周长为
则该三角形的周长范围为：，
故此题答案为：A．
4．（2024安徽合肥·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米那么，间的距离不可能是
A．5米 B．8.7米 C．27米 D．18米
【答案】C
【详解】解：连接，设米，米，米，由三角形三边关系定理得：，，所以选项C不符合，选项A、B、D符合，故此题答案为C．
5．（2024安徽合肥·期末）如图所示，从点到点，下列路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边可知路径最短．
【详解】解：由“三角形两边之和大于第三边”可知：
，
，
，
故：路径最短．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了“三角形两边之和大于第三边”；熟练掌握该性质是解题的关键．
6．（2024安徽铜陵·期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义判断即可．
【详解】解：∵在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，
∴线段BE是△ABC的中线，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了三角形中线的定义，熟知连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线是解题的关键．
7．（2024安徽淮南·期中）港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道．港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键．
【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，
这样做的根据是三角形具有稳定性．
故此题答案为：三角形具有稳定性．
8．（2024安徽蚌埠·期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 .
【答案】13
【分析】此题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．根据三角形三边关系求出第三边的取值，即可求解
【详解】解：设第三边长为，
∴，
∵第三边为整数，
∴最小整数为，
∴ 周长最小为，
故此题答案为：．
9．（2024安徽淮北·期末）已知等腰的两边长分别为3和6，则等腰的周长为 ．
【答案】15
【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．等腰的两边长分别为3和6，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是3，底边是6时，，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是6时，能构成三角形，则其周长．
故此题答案为：15
10．（2024安徽合肥·期中）如图，在中，分别是边上的中线和高，，则 ．
【答案】8
【分析】根据中线定义得到，然后根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴
11．（2024安徽合肥·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ．
【答案】3
【详解】解：是的中线，，是的中线，，，，，即，解得：．
12．（2024安徽淮北·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①，，； ②，，．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ．
【答案】 ① 10或12或13或14
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解．
【详解】：（1）①，
∴能组成“不均衡三角形”；
②，
∴不能组成“不均衡三角形”．
故此题答案为：①．
（2）①当16为最长边，为最短边时，
，
解得：，
，
解得：，
故不合题意，舍去；
②当为最长边，为最短边时，
解得：，
∵，
解得：，
，
为整数，
，
经检验，当时，可构成三角形；
③当为最长边，16为最短边时，
解得：，
∵，
解得：，
，
为整数，
或或，都可以构成三角形；
综上所述，的整数值为或或或；
故此题答案为：或或或．
【关键点拨】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键．
13．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）△ABC的三边长分别为m 2，2m+1，8．
(1)求m的取值范围；
(2)若△ABC是等腰三角形，求三边长.
【答案】(1)3＜m＜5
(2)、8、8
【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可；
（2）分三种情况分别讨论即可求得，代入m 2，2m＋1即可求得另外两边的长．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得，
解得3＜m＜5；
（2）解：当m 2＝2m+1时，
解得m＝ 3（不合题意，舍去），
当m 2＝8时，
解得，m＝10＞5（不合题意，舍去），
当2m+1＝8时，
解得，，
所以若△ABC为等腰三角形，，
则m 2＝，2m+1＝8，
所以，△ABC三边长为、8、8．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
14．（2024安徽合肥·期中）在中，，，．
（1）求的取值范围．
（2）若为等腰三角形，求周长．
【答案】（1）；（2）52.
【详解】解：（1）由题意得：，，故；
（2）为等腰三角形，或，则或，，，的周长．
15．（2024安徽淮北·期中）已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c的值；
（2）判断的形状．
【答案】（1）4或6；（2）等腰三角形
【分析】（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可；
（2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果；
【详解】（1）∵的周长为，且周长小于18，即，．
又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数，
∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6．
∵当时，，不能构成三角形，故舍去，
∴c的值为4或6．
（2）由（1）得当时，有；当时，有，
为等腰三角形．
【关键点拨】本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键．
16．（2024安徽合肥·期中）已知的三边长分别为，，．
(1)化简式子________．
(2)若，，．
①的取值范围是________；
②当为等腰三角形时，求，，的值．
【答案】(1)；
(2)①；②，．
【分析】（1）利用三角形三边关系可得，，利用绝对值定义可得，，化简即可；
（2）①利用三角形的三边关系列出不等式组，求不等式组解集即可；
②根据为等腰三角形时进行分类讨论，可以得出，，三种情况，其中及两种情况不成立舍去，利用建立等量关系求解即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
；
故此题答案为：
（2）①由三边关系可知：
，解得：
∴不等式组的解集为：；
∴的取值范围是；
②∵为等腰三角形，
∴当时，即：
解得：，
此时，；
当时，即：
不成立；
当时，即：
解得：
∵
∴不成立；
∴当为等腰三角形时，，．
【关键点拨】本题考查了三角形的三边关系，绝对值化简及等腰三角形的分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系及分类讨论的数学思想是解决本题的关键．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，D是延长线上一点，，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可．
【详解】解：∵是的一个外角，，
∴；
故此题答案为B．
2．（2024安徽合肥·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查平角定义及三角形内角和定理，并且要明确知道三角尺各角的度数，进行计算．由三角尺角的特殊性，利用平角定义及三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：如图所示：
，
因为，
所以．
故此题答案为C．
3．（2024安徽淮南·期末）线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°﹣55°=35°，
∴∠2=35°．
故此题答案为B．
4．（2024安徽合肥·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，
延长交于，
，，
，
又，
，
故此题答案为B．
5．（2024安徽淮北·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，相交于点，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．（2024安徽合肥·期末）在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解．
【详解】，
，
，
，，
是等腰三角形，
当即（不符合题意，舍去），
或，
当时， ，
当时，.
故此题答案为A．
7．（2024安徽合肥·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】C
【分析】设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答．
【详解】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故此题答案为C．
8．（2024安徽宣城·期末）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．
【答案】或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；
若，
则，
∴；
若，且三角形是锐角三角形，
则；
若，且三角形是钝角三角形，
则．
综上：的度数为或或或
9．（2024安徽安庆·期末）如图，四边形中，，，若沿图中虚线剪去，则 °．
【答案】235
【分析】由平行线的性质可得，再运用三角形内角和定理、邻补角的定义可得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
10．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】/115度
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】，
，
，
，
又，
，
，
．
故此题答案为：．
11．（2024安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中）按下图所示的方式摆放在两条平行线之间．
（1）如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，则的度数为 ．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，则与的数量关系为 ．
【答案】
【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可得，再，进行计算即可得到答案；
（2）由平行的性质可得，从而得到，再由，从而得到，再将进行替换即可得到答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
.
12．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）在锐角△ABC中，将∠α的顶点P放置在BC边上，使∠α的两边分别与边AB，AC交于点E，F（点E不与B点重合，点F不与点C重合，且点E，F均不与点A重合）．
（1）当∠BAC=40°，∠α=60°时，∠BEP+∠CFP= °；
（2）直接写出∠BEP，∠CFP，∠BAC，∠α之间的数量关系 ．
【答案】 100 ∠BEP+∠CFP=∠BAC +∠α
【分析】（1）连接AP，得到∠BAP+∠CAP =40°，∠APE+∠APF=60°，根据三角形的外角性质得∠BEP=∠BAP+∠APE，∠CFP=∠CAP+∠APF，进一步计算可得结论；
（2）同（1）理可得∠BEP，∠CFP，∠BAC，∠α之间的数量关系．
【详解】解：（1）连接AP，
∵∠BAC=40°，∠α=60°，
∴∠BAP+∠CAP =40°，∠APE+∠APF=60°，
∵∠BEP和∠CFP分别是△AEP和△AFP的外角，
∴∠BEP=∠BAP+∠APE，∠CFP=∠CAP+∠APF，
∴∠BEP+∠CFP=∠BAP+∠APE+∠CAP+∠APF=40°+60°=100°，
故此题答案为：100；
（2）连接AP，
∴∠BAP+∠CAP =∠BAC，∠APE+∠APF=∠α，
∵∠BEP和∠CFP分别是△AEP和△AFP的外角，
∴∠BEP=∠BAP+∠APE，∠CFP=∠CAP+∠APF，
∴∠BEP+∠CFP=∠BAP+∠APE+∠CAP+∠APF=∠BAC +∠α，
故此题答案为：∠BEP+∠CFP=∠BAC +∠α；
【关键点拨】此题考查了三角形的外角性质，解答时注意运用数形结合的思想是关键．
13．（2024安徽合肥·期末）中，，，求的各内角度数．
【答案】，，
【分析】此题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解，，
，
，
，
解得：，
，．
14．（2024安徽合肥·期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证；
（2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解；
（3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴;
（3）∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【关键点拨】此题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法．
考点三 多边形及其内角和
1．（2024安徽淮北·期末）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝900°，
解得n＝7．
故此题答案为C．
2．（2024安徽安庆·期末）过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】B
【分析】过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可．
【详解】解：设多边形的边数是n，
由题意得：，
．
这个多边形的边数是七．
故此题答案为B．
3．（2024安徽安庆·期末）一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【详解】解：∵多边形外角和等于，
∴，
则此多边形为八边形，
故此题答案为D．
4．（2024安徽宣城·期末）一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．不存在
【答案】C
【分析】设这个正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的一个内角的度数为，根据正多边形一个内角的度数和一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据正多边形外角度数之和为360度即可求出对应的边数．
【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的一个内角的度数为，
∴，
∴，
∴这个正多边形的边数为，
故此题答案为C．
5．（2024安徽安庆安庆四中·期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（ ）
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形
C．正五边形和正八边形 D．正方形和正十边形
【答案】B
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可．
【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满；
C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故此题答案为B．
6．（2024安徽蚌埠·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答．
【详解】解：设新多边形边数为n，
∵新多边形内角和为，
∴，
解得，
若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：
∴原多边形边数为4或5或6，
故此题答案为D．
7．（2024安徽蚌埠·期末）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A．22度 B．23度 C．24度 D．25度
【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可．
【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
8．（2024安徽合肥·期末）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ．
【答案】6/六
【分析】根据n边形内角和定理，列方程解答即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得
9．（2024安徽宣城·期末）正八边形的对角线的条数为 条．
【答案】
【分析】根据n边形对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：正八边形的对角线的条数为条
10．（2024安徽合肥·期末）已知一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数为 ．
【答案】20
【分析】设这个多边形的边数为n，则其内角和为，再由每个内角都为列出方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的边数为20，
11．（2024安徽安庆·期末）一个多边形的内角与外角的和是1440°,那么这个多边形是 边形.
【答案】八
【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】设多边形的边数为n,
根据题意，得
（n-2） 180+360=1440，
解得：n=8．
答：这个多边形是八边形,故答案为:八.
12．（2024安徽滁州·期末）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度．
【答案】48
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角
∴
在中：
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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024安徽淮北·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A． B．
C． D．
2．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）
A．14 B．10 C．3 D．2
3．（2024安徽合肥·期末）已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024安徽合肥·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米那么，间的距离不可能是
A．5米 B．8.7米 C．27米 D．18米
5．（2024安徽合肥·期末）如图所示，从点到点，下列路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024安徽铜陵·期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
7．（2024安徽淮南·期中）港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道．港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是 ．
8．（2024安徽蚌埠·期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 .
9．（2024安徽淮北·期末）已知等腰的两边长分别为3和6，则等腰的周长为 ．
10．（2024安徽合肥·期中）如图，在中，分别是边上的中线和高，，则 ．
11．（2024安徽合肥·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ．
12．（2024安徽淮北·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①，，； ②，，．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ．
13．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）△ABC的三边长分别为m 2，2m+1，8．
(1)求m的取值范围；
(2)若△ABC是等腰三角形，求三边长.
14．（2024安徽合肥·期中）在中，，，．
（1）求的取值范围．
（2）若为等腰三角形，求周长．
15．（2024安徽淮北·期中）已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数．
（1）求c的值；
（2）判断的形状．
16．（2024安徽合肥·期中）已知的三边长分别为，，．
(1)化简式子________．
(2)若，，．
①的取值范围是________；
②当为等腰三角形时，求，，的值．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，D是延长线上一点，，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．（2024安徽合肥·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024安徽淮南·期末）线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
4．（2024安徽合肥·期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024安徽淮北·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，相交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024安徽合肥·期末）在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
7．（2024安徽合肥·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
8．（2024安徽宣城·期末）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．
9．（2024安徽安庆·期末）如图，四边形中，，，若沿图中虚线剪去，则 °．
10．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ．
11．（2024安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中）按下图所示的方式摆放在两条平行线之间．
（1）如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，则的度数为 ．
（2）如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，则与的数量关系为 ．
12．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）在锐角△ABC中，将∠α的顶点P放置在BC边上，使∠α的两边分别与边AB，AC交于点E，F（点E不与B点重合，点F不与点C重合，且点E，F均不与点A重合）．
（1）当∠BAC=40°，∠α=60°时，∠BEP+∠CFP= °；
（2）直接写出∠BEP，∠CFP，∠BAC，∠α之间的数量关系 ．
13．（2024安徽合肥·期末）中，，，求的各内角度数．
14．（2024安徽合肥·期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
考点三 多边形及其内角和
1．（2024安徽淮北·期末）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024安徽安庆·期末）过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
3．（2024安徽安庆·期末）一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．（2024安徽宣城·期末）一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．不存在
5．（2024安徽安庆安庆四中·期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（ ）
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形
C．正五边形和正八边形 D．正方形和正十边形
6．（2024安徽蚌埠·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
7．（2024安徽蚌埠·期末）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A．22度 B．23度 C．24度 D．25度
8．（2024安徽合肥·期末）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ．
9．（2024安徽宣城·期末）正八边形的对角线的条数为 条．
10．（2024安徽合肥·期末）已知一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的边数为 ．
11．（2024安徽安庆·期末）一个多边形的内角与外角的和是1440°,那么这个多边形是 边形.
12．（2024安徽滁州·期末）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 度．
参考答案
考点一 与三角形有关的线段
1．【答案】C
【分析】此题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故此题答案为C．
2．【答案】B
【详解】设第三边是x,由三角形边的性质可得：8-5∴3故此题答案为B.
3．【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，据此求出周长范围即可．
【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：，
即，
设三角形的周长为
则该三角形的周长范围为：，
故此题答案为：A．
4．【答案】C
【详解】解：连接，设米，米，米，由三角形三边关系定理得：，，所以选项C不符合，选项A、B、D符合，故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边可知路径最短．
【详解】解：由“三角形两边之和大于第三边”可知：
，
，
，
故：路径最短．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了“三角形两边之和大于第三边”；熟练掌握该性质是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义判断即可．
【详解】解：∵在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，
∴线段BE是△ABC的中线，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了三角形中线的定义，熟知连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线是解题的关键．
7．【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键．
【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，
这样做的根据是三角形具有稳定性．
故此题答案为：三角形具有稳定性．
8．【答案】13
【分析】此题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．根据三角形三边关系求出第三边的取值，即可求解
【详解】解：设第三边长为，
∴，
∵第三边为整数，
∴最小整数为，
∴ 周长最小为，
故此题答案为：．
9．【答案】15
【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．等腰的两边长分别为3和6，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是3，底边是6时，，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是6时，能构成三角形，则其周长．
故此题答案为：15
10．【答案】8
【分析】根据中线定义得到，然后根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴
11．【答案】3
【详解】解：是的中线，，是的中线，，，，，即，解得：．
12．【答案】 ① 10或12或13或14
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解．
【详解】：（1）①，
∴能组成“不均衡三角形”；
②，
∴不能组成“不均衡三角形”．
故此题答案为：①．
（2）①当16为最长边，为最短边时，
，
解得：，
，
解得：，
故不合题意，舍去；
②当为最长边，为最短边时，
解得：，
∵，
解得：，
，
为整数，
，
经检验，当时，可构成三角形；
③当为最长边，16为最短边时，
解得：，
∵，
解得：，
，
为整数，
或或，都可以构成三角形；
综上所述，的整数值为或或或；
故此题答案为：或或或．
【关键点拨】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键．
13．【答案】(1)3＜m＜5
(2)、8、8
【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可；
（2）分三种情况分别讨论即可求得，代入m 2，2m＋1即可求得另外两边的长．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得，
解得3＜m＜5；
（2）解：当m 2＝2m+1时，
解得m＝ 3（不合题意，舍去），
当m 2＝8时，
解得，m＝10＞5（不合题意，舍去），
当2m+1＝8时，
解得，，
所以若△ABC为等腰三角形，，
则m 2＝，2m+1＝8，
所以，△ABC三边长为、8、8．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
14．【答案】（1）；（2）52.
【详解】解：（1）由题意得：，，故；
（2）为等腰三角形，或，则或，，，的周长．
15．【答案】（1）4或6；（2）等腰三角形
【分析】（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可；
（2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果；
【详解】（1）∵的周长为，且周长小于18，即，．
又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数，
∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6．
∵当时，，不能构成三角形，故舍去，
∴c的值为4或6．
（2）由（1）得当时，有；当时，有，
为等腰三角形．
【关键点拨】本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键．
16．【答案】(1)；
(2)①；②，．
【分析】（1）利用三角形三边关系可得，，利用绝对值定义可得，，化简即可；
（2）①利用三角形的三边关系列出不等式组，求不等式组解集即可；
②根据为等腰三角形时进行分类讨论，可以得出，，三种情况，其中及两种情况不成立舍去，利用建立等量关系求解即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
；
故此题答案为：
（2）①由三边关系可知：
，解得：
∴不等式组的解集为：；
∴的取值范围是；
②∵为等腰三角形，
∴当时，即：
解得：，
此时，；
当时，即：
不成立；
当时，即：
解得：
∵
∴不成立；
∴当为等腰三角形时，，．
【关键点拨】本题考查了三角形的三边关系，绝对值化简及等腰三角形的分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系及分类讨论的数学思想是解决本题的关键．
考点二 与三角形有关的角
1．【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可．
【详解】解：∵是的一个外角，，
∴；
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】此题考查平角定义及三角形内角和定理，并且要明确知道三角尺各角的度数，进行计算．由三角尺角的特殊性，利用平角定义及三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：如图所示：
，
因为，
所以．
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°﹣55°=35°，
∴∠2=35°．
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，
延长交于，
，，
，
又，
，
故此题答案为B．
5．【答案】A
【分析】此题考查了三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解．
【详解】，
，
，
，，
是等腰三角形，
当即（不符合题意，舍去），
或，
当时， ，
当时，.
故此题答案为A．
7．【答案】C
【分析】设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答．
【详解】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故此题答案为C．
8．【答案】或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；
若，
则，
∴；
若，且三角形是锐角三角形，
则；
若，且三角形是钝角三角形，
则．
综上：的度数为或或或
9．【答案】235
【分析】由平行线的性质可得，再运用三角形内角和定理、邻补角的定义可得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
10．【答案】/115度
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】，
，
，
，
又，
，
，
．
故此题答案为：．
11．【答案】
【分析】（1）由平行线的性质可得，从而可得，再，进行计算即可得到答案；
（2）由平行的性质可得，从而得到，再由，从而得到，再将进行替换即可得到答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
.
12．【答案】 100 ∠BEP+∠CFP=∠BAC +∠α
【分析】（1）连接AP，得到∠BAP+∠CAP =40°，∠APE+∠APF=60°，根据三角形的外角性质得∠BEP=∠BAP+∠APE，∠CFP=∠CAP+∠APF，进一步计算可得结论；
（2）同（1）理可得∠BEP，∠CFP，∠BAC，∠α之间的数量关系．
【详解】解：（1）连接AP，
∵∠BAC=40°，∠α=60°，
∴∠BAP+∠CAP =40°，∠APE+∠APF=60°，
∵∠BEP和∠CFP分别是△AEP和△AFP的外角，
∴∠BEP=∠BAP+∠APE，∠CFP=∠CAP+∠APF，
∴∠BEP+∠CFP=∠BAP+∠APE+∠CAP+∠APF=40°+60°=100°，
故此题答案为：100；
（2）连接AP，
∴∠BAP+∠CAP =∠BAC，∠APE+∠APF=∠α，
∵∠BEP和∠CFP分别是△AEP和△AFP的外角，
∴∠BEP=∠BAP+∠APE，∠CFP=∠CAP+∠APF，
∴∠BEP+∠CFP=∠BAP+∠APE+∠CAP+∠APF=∠BAC +∠α，
故此题答案为：∠BEP+∠CFP=∠BAC +∠α；
【关键点拨】此题考查了三角形的外角性质，解答时注意运用数形结合的思想是关键．
13．【答案】，，
【分析】此题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为．利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解，，
，
，
，
解得：，
，．
14．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）根据三角形的内角和，得出，结合对顶角相等，即可求证；
（2）设，，根据（1）中的结论，列出方程组，可得，即可求解；
（3）根据题意可得，，推出，根据（1）中的结论得出，推出，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴;
（3）∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【关键点拨】此题主要考查了是三角形的内角和，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角形的内角和为，对顶角相等，以及加减消元法．
考点三 多边形及其内角和
1．【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝900°，
解得n＝7．
故此题答案为C．
2．【答案】B
【分析】过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可．
【详解】解：设多边形的边数是n，
由题意得：，
．
这个多边形的边数是七．
故此题答案为B．
3．【答案】D
【详解】解：∵多边形外角和等于，
∴，
则此多边形为八边形，
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】设这个正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的一个内角的度数为，根据正多边形一个内角的度数和一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据正多边形外角度数之和为360度即可求出对应的边数．
【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的一个内角的度数为，
∴，
∴，
∴这个正多边形的边数为，
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可．
【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满；
C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故此题答案为B．
6．【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答．
【详解】解：设新多边形边数为n，
∵新多边形内角和为，
∴，
解得，
若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：
∴原多边形边数为4或5或6，
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可．
【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
8．【答案】6/六
【分析】根据n边形内角和定理，列方程解答即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得
9．【答案】
【分析】根据n边形对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：正八边形的对角线的条数为条
10．【答案】20
【分析】设这个多边形的边数为n，则其内角和为，再由每个内角都为列出方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的边数为20，
11．【答案】八
【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】设多边形的边数为n,
根据题意，得
（n-2） 180+360=1440，
解得：n=8．
答：这个多边形是八边形,故答案为:八.
12．【答案】48
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角
∴
在中：
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