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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024安徽蚌埠·期末）在中，，， 且 和 在同一直线上，如图，若，则（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
3．（2024安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024安徽淮北·期末）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．大小关系不确定
6．（2024安徽合肥·期末）在中，交边于点D，添加下列条件后，还不能使的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024安徽宣城·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024安徽阜阳·期末）如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，垂足分别为、，、相交于点，已知，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2024安徽合肥·期末）已知，其中，则 ．
12．（2024安徽亳州·期末）如图，，则的长是 ．
13．（2024安徽合肥·期末）如图，，，，，、交于点，则的度数是 °．
14．（2024安徽宣城·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC= ．
15．（2024安徽淮北·期末）如图，已知△ABE≌△ACD．
（1）如果BE=6，DE=2，求BC的长；
（2）如果∠BAC=75°，∠BAD=30°，求∠DAE的度数．
16．（2024安徽安庆·期末）学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．例如给定一个三角形，可以这样来画：先作，然后在的两边分别作线段，线段，最后连结，这样得到三角形就和已知的三角形一模一样了．请你按照上面的步骤作出三角形（不写作法，但一定要保留作图痕迹）．
17．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
18．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
19．（2024安徽铜陵·期末）已知如图，，在上，且，，，求证：与互相平分．
20．（2024安徽合肥·期末）如图，在湖泊的岸边有A、两点，难以直接度量出A、两点间的距离，请你利用全等三角形的知识设计一种量出A、两点间距离的方案；并说明你这样设计的理由．
21．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．
22．（2024安徽合肥·期末）在和中，，，．
(1)如图，当点A、、在同一条直线上时，求证：；
(2)如图，当点A，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由，
考点二 角的平分线的性质
1．（2024安徽蚌埠·期末）点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024安徽合肥·期中）如图，有三条公路两两相交，现要修建一个货栈，使它到三条公路的距离相等，则满足修建货栈条件的地点有（ ）
A．一处 B．三处 C．四处 D．无数处
3．（2024安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024安徽铜陵·期末）如图，中，，平分，，，，则 ．
5．（2024安徽合肥·期末）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ．
6．（2024安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则
（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
7．（2024安徽芜湖·期中）已知：如图，中，于D，平分交于F．求证：．
8．（2024安徽宣城·期末）如图，，点E是的中点．平分．
(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
9．（2024安徽合肥·期末）如图，中，为的平分线，，垂足为E．F为上的点，且
(1)求证：；
(2)若，求的长．
10．（2024安徽淮南·期中）如图，在四边形中，．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点E，连接、再在上取一点F，使，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，证明：．
参考答案
考点一 全等三角形的判定与性质
1．【答案】D
【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】∵，
，
在中，，，
．
故此题答案为D
2．【答案】B
【分析】此题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，进而根据线段的和差即可求解；熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
∵和在同一直线上，，
∴，
故此题答案为B．
3．【答案】B
【分析】此题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，由题意得对应角相等，利用三角形内角和定理得，结合即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为B．
4．【答案】C
【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．【答案】D
【分析】此题考查添加条件证明三角形全等，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
当添加条件为，利用，可以证明，故A不符合题意；
当添加条件为，利用，可以证明，故B不符合题意；
当添加条件为，利用，可以证明，故C不符合题意；
当添加条件为，无法证明，故D符合题意；
故此题答案为D．
7．【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，由已知我们可得到两个三角形的两边相等（其中为公共边），根据全等三角形的判定即可解答．
【详解】解：，，
可以添加的条件是：，或或，
故只有仍无法判定；
故此题答案为．
8．【答案】A
【分析】首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，进而求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为A．
9．【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等．
【详解】解：在中，，，
，
，，，
，
，
，
，
．
故此题答案为：B．
10．【答案】C
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，根据全等三角形的性质得到，结合线段的和差关系，即可得到结果．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，，
，
故此题答案为：C．
11．【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的性质，理解性质“全等三角形对应边相等．”是解题关键．
【详解】解：，
，
故答案：．
12．【答案】5
【分析】此题考查的是全等三角形的性质， 利用全等三角形的性质证明，可得，从而可得答案．熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
故此题答案为：5
13．【答案】50
【分析】此题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质及三角形内角和定理，设、交于点，根据三角形外角的性质可求出的度数，根据全等三角形的性质可得，利用三角形内角和为即可得答案．熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【详解】解：如图，设、交于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴
故此题答案为：50
14．【答案】/度
【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F，
在△DCE和△ABD中，
∵，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE=∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
故此题答案为：90度．
【关键点拨】此题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，此题构建全等三角形是关键．
15．【答案】（1）10；（2）15°
【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出BE=CD，根据BE=6，DE=2，得出CE=4，从而得出BC的长；
（2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE=∠CAD，即可得出∠BAD=∠CAE，计算∠CAD﹣∠CAE即得出答案．
【详解】解：（1）∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠BAE=∠CAD，
又∵BE=6，DE=2，
∴EC=DC﹣DE=BE﹣DE=4，
∴BC=BE+EC=10；
（2）∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣30°=45°，
∴∠BAE=∠CAD=45°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°﹣30°=15°．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
16．【答案】见解析
【分析】此题主要考查尺规作图，首先作一条射线,进而截取, ,进而截取,连接即可．
【详解】
三角形即为所求作的三角形．
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用余角性质证明，再利用“”即可证明；
（）由得到，，进而得到，再根据梯形的面积计算公式计算即可求解；
此题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，，
∵，
，
又，，
，
，
∴四边形的面积为．
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理：
（1）先根据等边对等角得到，进而证明，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则由三角形内角和定理得到，进而得到，则由平角的定义可得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
，
，
．
19．【答案】见解析
【分析】先证明，推出，再证明，得到，进而得到，即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与互相平分．
【关键点拨】此题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
20．【答案】见解析
【分析】先在平地上取一个可直接到达A、B两点的点C，连接并分别延长、至E、 D，使， ，测出的长，即得A、两点间距离；理由是根据判定，根据全等三角形的对应边相等可得．
此题主要考查了全等三角形的应用——测距，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
【详解】设计方案：
①先在平地上取一个可直接到达A、B两点的点C，连接，；
②分别延长至E，至D，使，；
③连接，测出的长，即得A、两点间的距离，如图．
设计理由：
∵在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应边相等），
故得A、两点间的距离等于的长．
21．【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题考查全等三角形判定及性质，
（1）根据题意判定即可得到此题答案；
（2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到此题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)是一个固定的值，
【分析】（1）证，即可得证；
（2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证；
（3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于，于．
由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
又，，
平分，
，
．
，
．
【关键点拨】此题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键．
考点二 角的平分线的性质
1．【答案】B
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得到的距离为，再由垂线段最短可得，由此可得答案．
【详解】解：点在的平分线上，点到边的距离等于，
到的距离为，
点是边上任意一点，
，
的最小值为．
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
则共有四处，
故此题答案为C．
【关键点拨】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
3．【答案】A
【详解】解：过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故此题答案为A．
4．【答案】
【分析】此题考查角平分线性质，一元一次方程，全等三角形判定及性质．根据题意过点作，利用角平分线性质可知，设，利用全等三角形性质列出一元一次方程即可得到此题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴设，则，
∵，，
∴，，
∴，解得：，
故此题答案为：．
5．【答案】8
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得到，是解题关键．
【详解】解：延长交于点E如图：
，平分，
，
，
，
，，
，
的面积为4，
,
.
故此题答案为8．
6．【答案】
【分析】（1）过点作交于点，由平分得出，再由，即可求解；
（2）过点A作交于点，交于点，过点作交于点，由平分得出，A、、三点共线，所以的长即的最小值，根据三角形面积公式即可求解最小值。
【详解】解：（1）如图，过点作交于点，
∵平分，
∴，
设，
则：，
解得：；
（2）如图，过点A作交于点，交于点，过点作交于点，
平分，
，
，
又A、、三点共线，
的长即为的最小值，
，
解得：，
即的最小值为．
【关键点拨】此题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题和正确作出辅助线．其中借助面积法进行计算要求能够熟练运用．
7．【答案】见解析
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，在△ABC中，∠ABC=90°，可得∠C=∠ABD，再由角平分线的性质可得GE=DE，然后由两平行线间的距离处处相等，可得ED=FH，从而得到GE=FH，可证得△BEG≌△CFH，即可求证．
【详解】证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵平分，
∴GE=DE，
∵且BD⊥AC，FH⊥AC
∴ED=FH，
∴GE=FH，
在△BEG与△CFH中，
∵∠C=∠ABD，∠BGE=∠FHC，GE=FH，
∴△BEG≌△CFH（AAS），
∴BE=CF．
8．【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；
（1）根据角平分线的性质得出，根据中点定义得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）证明，得出，，根据，得出，，求出，根据，得出即可．
【详解】（1）证明：过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴．
9．【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的和差等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，然后结合已知条件运用即可证明结论；
（2）根据线段的和差可得，再证可得；再根据可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵为的平分线，，
；
在和中，
，
．
（2）解：，，
∵，
∴
又，，
，
，，
，
又，
．
10．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作一个角平分线的方法，作的平分线，以点C为圆心，为半径画弧，交于点F，则，再连接，即可；
（2）证明，得出，，证明，得出，根据，得出，求出，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，为所求作的的平分线，点F为所求作的点，
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【关键点拨】本题主要考查了作一个角的平分线，三角形全等的判定和性质，垂线定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】∵，
，
在中，，，
．
故此题答案为D
2．（2024安徽蚌埠·期末）在中，，， 且 和 在同一直线上，如图，若，则（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
【答案】B
【分析】此题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，进而根据线段的和差即可求解；熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
∵和在同一直线上，，
∴，
故此题答案为B．
3．（2024安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，由题意得对应角相等，利用三角形内角和定理得，结合即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为B．
4．（2024安徽淮北·期末）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故此题答案为C．
5．（2024安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．大小关系不确定
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．（2024安徽合肥·期末）在中，交边于点D，添加下列条件后，还不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查添加条件证明三角形全等，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
当添加条件为，利用，可以证明，故A不符合题意；
当添加条件为，利用，可以证明，故B不符合题意；
当添加条件为，利用，可以证明，故C不符合题意；
当添加条件为，无法证明，故D符合题意；
故此题答案为D．
7．（2024安徽宣城·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，由已知我们可得到两个三角形的两边相等（其中为公共边），根据全等三角形的判定即可解答．
【详解】解：，，
可以添加的条件是：，或或，
故只有仍无法判定；
故此题答案为．
8．（2024安徽阜阳·期末）如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，进而求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为A．
9．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等．
【详解】解：在中，，，
，
，，，
，
，
，
，
．
故此题答案为：B．
10．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，垂足分别为、，、相交于点，已知，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，根据全等三角形的性质得到，结合线段的和差关系，即可得到结果．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，，
，
故此题答案为：C．
11．（2024安徽合肥·期末）已知，其中，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的性质，理解性质“全等三角形对应边相等．”是解题关键．
【详解】解：，
，
故答案：．
12．（2024安徽亳州·期末）如图，，则的长是 ．
【答案】5
【分析】此题考查的是全等三角形的性质， 利用全等三角形的性质证明，可得，从而可得答案．熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
故此题答案为：5
13．（2024安徽合肥·期末）如图，，，，，、交于点，则的度数是 °．
【答案】50
【分析】此题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质及三角形内角和定理，设、交于点，根据三角形外角的性质可求出的度数，根据全等三角形的性质可得，利用三角形内角和为即可得答案．熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【详解】解：如图，设、交于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴
故此题答案为：50
14．（2024安徽宣城·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC= ．
【答案】/度
【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F，
在△DCE和△ABD中，
∵，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE=∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
故此题答案为：90度．
【关键点拨】此题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，此题构建全等三角形是关键．
15．（2024安徽淮北·期末）如图，已知△ABE≌△ACD．
（1）如果BE=6，DE=2，求BC的长；
（2）如果∠BAC=75°，∠BAD=30°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）10；（2）15°
【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出BE=CD，根据BE=6，DE=2，得出CE=4，从而得出BC的长；
（2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE=∠CAD，即可得出∠BAD=∠CAE，计算∠CAD﹣∠CAE即得出答案．
【详解】解：（1）∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠BAE=∠CAD，
又∵BE=6，DE=2，
∴EC=DC﹣DE=BE﹣DE=4，
∴BC=BE+EC=10；
（2）∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣30°=45°，
∴∠BAE=∠CAD=45°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°﹣30°=15°．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
16．（2024安徽安庆·期末）学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．例如给定一个三角形，可以这样来画：先作，然后在的两边分别作线段，线段，最后连结，这样得到三角形就和已知的三角形一模一样了．请你按照上面的步骤作出三角形（不写作法，但一定要保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查尺规作图，首先作一条射线,进而截取, ,进而截取,连接即可．
【详解】
三角形即为所求作的三角形．
17．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用余角性质证明，再利用“”即可证明；
（）由得到，，进而得到，再根据梯形的面积计算公式计算即可求解；
此题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，，
∵，
，
又，，
，
，
∴四边形的面积为．
18．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理：
（1）先根据等边对等角得到，进而证明，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则由三角形内角和定理得到，进而得到，则由平角的定义可得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
，
，
．
19．（2024安徽铜陵·期末）已知如图，，在上，且，，，求证：与互相平分．
【答案】见解析
【分析】先证明，推出，再证明，得到，进而得到，即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与互相平分．
【关键点拨】此题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
20．（2024安徽合肥·期末）如图，在湖泊的岸边有A、两点，难以直接度量出A、两点间的距离，请你利用全等三角形的知识设计一种量出A、两点间距离的方案；并说明你这样设计的理由．
【答案】见解析
【分析】先在平地上取一个可直接到达A、B两点的点C，连接并分别延长、至E、 D，使， ，测出的长，即得A、两点间距离；理由是根据判定，根据全等三角形的对应边相等可得．
此题主要考查了全等三角形的应用——测距，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
【详解】设计方案：
①先在平地上取一个可直接到达A、B两点的点C，连接，；
②分别延长至E，至D，使，；
③连接，测出的长，即得A、两点间的距离，如图．
设计理由：
∵在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应边相等），
故得A、两点间的距离等于的长．
21．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题考查全等三角形判定及性质，
（1）根据题意判定即可得到此题答案；
（2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到此题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．（2024安徽合肥·期末）在和中，，，．
(1)如图，当点A、、在同一条直线上时，求证：；
(2)如图，当点A，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由，
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)是一个固定的值，
【分析】（1）证，即可得证；
（2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证；
（3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于，于．
由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
又，，
平分，
，
．
，
．
【关键点拨】此题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键．
考点二 角的平分线的性质
1．（2024安徽蚌埠·期末）点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得到的距离为，再由垂线段最短可得，由此可得答案．
【详解】解：点在的平分线上，点到边的距离等于，
到的距离为，
点是边上任意一点，
，
的最小值为．
故此题答案为B．
2．（2024安徽合肥·期中）如图，有三条公路两两相交，现要修建一个货栈，使它到三条公路的距离相等，则满足修建货栈条件的地点有（ ）
A．一处 B．三处 C．四处 D．无数处
【答案】C
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
则共有四处，
故此题答案为C．
【关键点拨】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．
3．（2024安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故此题答案为A．
4．（2024安徽铜陵·期末）如图，中，，平分，，，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查角平分线性质，一元一次方程，全等三角形判定及性质．根据题意过点作，利用角平分线性质可知，设，利用全等三角形性质列出一元一次方程即可得到此题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴设，则，
∵，，
∴，，
∴，解得：，
故此题答案为：．
5．（2024安徽合肥·期末）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ．
【答案】8
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得到，是解题关键．
【详解】解：延长交于点E如图：
，平分，
，
，
，
，，
，
的面积为4，
,
.
故此题答案为8．
6．（2024安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则
（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）过点作交于点，由平分得出，再由，即可求解；
（2）过点A作交于点，交于点，过点作交于点，由平分得出，A、、三点共线，所以的长即的最小值，根据三角形面积公式即可求解最小值。
【详解】解：（1）如图，过点作交于点，
∵平分，
∴，
设，
则：，
解得：；
（2）如图，过点A作交于点，交于点，过点作交于点，
平分，
，
，
又A、、三点共线，
的长即为的最小值，
，
解得：，
即的最小值为．
【关键点拨】此题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题和正确作出辅助线．其中借助面积法进行计算要求能够熟练运用．
7．（2024安徽芜湖·期中）已知：如图，中，于D，平分交于F．求证：．
【答案】见解析
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，在△ABC中，∠ABC=90°，可得∠C=∠ABD，再由角平分线的性质可得GE=DE，然后由两平行线间的距离处处相等，可得ED=FH，从而得到GE=FH，可证得△BEG≌△CFH，即可求证．
【详解】证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵平分，
∴GE=DE，
∵且BD⊥AC，FH⊥AC
∴ED=FH，
∴GE=FH，
在△BEG与△CFH中，
∵∠C=∠ABD，∠BGE=∠FHC，GE=FH，
∴△BEG≌△CFH（AAS），
∴BE=CF．
8．（2024安徽宣城·期末）如图，，点E是的中点．平分．
(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；
（1）根据角平分线的性质得出，根据中点定义得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）证明，得出，，根据，得出，，求出，根据，得出即可．
【详解】（1）证明：过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴．
9．（2024安徽合肥·期末）如图，中，为的平分线，，垂足为E．F为上的点，且
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的和差等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，然后结合已知条件运用即可证明结论；
（2）根据线段的和差可得，再证可得；再根据可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵为的平分线，，
；
在和中，
，
．
（2）解：，，
∵，
∴
又，，
，
，，
，
又，
．
10．（2024安徽淮南·期中）如图，在四边形中，．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点E，连接、再在上取一点F，使，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作一个角平分线的方法，作的平分线，以点C为圆心，为半径画弧，交于点F，则，再连接，即可；
（2）证明，得出，，证明，得出，根据，得出，求出，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，为所求作的的平分线，点F为所求作的点，
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【关键点拨】本题主要考查了作一个角的平分线，三角形全等的判定和性质，垂线定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
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