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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．（2024安徽合肥·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下关于“鱼”的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；是解决问题的关键．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故符合题意．
故此题答案为D．
2．（2024安徽宣城·期末）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形．故此题答案为项正确；
B、不是轴对称图形．故此题答案为项错误；
C、不是轴对称图形．故此题答案为项错误；
D、不是轴对称图形．故此题答案为项错误．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
3．（2024安徽安庆·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、时轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故此题答案为C．
4．（2024安徽蚌埠·期末）方块字是中国文化瑰宝，有些方块字具有对称性，下列方块字是轴对称图形的是（ ）
A．蚌 B．怀 C．五 D．固
【答案】D
【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故此题答案为D．
5．（2024安徽淮北·期末）如图，四边形纸片的边，是边上任意一点，三角形沿折叠，点落在点的位置．，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点F作，交于点M，交于点N，根据平行线的性质可得出，，进而可得出，由折叠的性质得，，根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：如图，过点F作，交于点M，交于点N，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，
故此题答案为B．
6．（2024安徽宣城·期末）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解．
【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
7．（2024安徽淮南·期中）如图，中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．13
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
的周长，
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2024安徽合肥·期末）下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形任何一个内角
B．两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
D．有两个内角互余的三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】此题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定，垂直平分线的判定，直角三角形的判定．对于真命题，需要证明，而对于假命题，只需举一个反例即可．因此选项A，B，C可举反例说明是假命题，D选项进行证明．
【详解】A选项：如图，是钝角的外角，明显小于内角；
∴命题“三角形的外角大于三角形任何一个内角”是假命题；
B选项：如图，在和中，，，，明显和不全等．
∴命题“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是假命题；
C选项：如图，直线l是线段的垂直平分线，点P是直线上一点，点D是线段上任意一点，．
∴命题“垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等”是假命题；
D选项：如图，在中，与互余，
即，
∴，
∴是直角三角形．
∴命题“有两个内角互余的三角形是直角三角形”是真命题．
故此题答案为：D
9．（2024安徽淮南·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择三边的垂直平分线的交点．
故此题答案为：D．
10．（2024安徽铜陵·期末）如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，D为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．11 D．12
【答案】C
【分析】此题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可．
【详解】解：连接，
，
∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F，
∴，
∵D为边的中点，
∴当点在上时，的周长最小，
∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点，
∴，，
∴的周长为：，
故此题答案为C．
11．（2024安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【分析】先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，
∴，
∵的周长是18，，
∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，
∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．
故此题答案为B．
12．（2024安徽芜湖·期末）学行线后，李强，张明，王玲三位同学分别想出了过一点画一条直线的平行线的新的方法，他们分别是这样做的：
李强的方法：
张明的方法：
王玲是通过折纸的方法：
你认为这三位同学的做法，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】图1，由作图可知，∠2=∠1，利用平行线的判定即可解决问题；
图2，由作图可知，a⊥PQ，a⊥l，SR=PQ，利用平行线的判定即可解决问题；
图3，由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用平行线的判定即可解决问题．
【详解】解：图1，由作图可知，∠2=∠1，
∴利用同位角相等，两直线平行，判定c∥a；
图2，由作图可知，a⊥PQ，a⊥l，SR=PQ，
∴利用平行线间的距离处处相等，判定b∥a；
图3，由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，
∴可以利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，判定CD∥a，即b∥a．
故此题答案为D．
13．（2024安徽合肥·期中）等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴．
【答案】3
【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．
【详解】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴，
∴等边三角形有3条对称轴．
14．（2024安徽淮南·期末）如图，把长方形沿折叠后，使落在处，若，则的度数为 ．
【答案】110°/110度
【分析】根据折叠的性质可得∠BFE=∠NFE，再由AD∥BC，可得∠AEF=∠CFE，然后根据，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠BFE=∠NFE，AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∵，
∴，
∴∠AEF=∠CFE=∠1+∠EFN=110°．
15．（2024安徽安庆·一模）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长．
【详解】解：由作法得，垂直平分，
，
的周长为15，
，
，
即，
∴，
解得，
∴．
16．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接．
(1)若，的周长为7，求的周长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)的周长为；
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解；
（2）证得，根据即可求解．
【详解】（1）解：是线段的垂直平分线，
，.
，
.
的周长为，
的周长为
（2）解：是线段的垂直平分线，
.
，
.
，
.
在和中，
，
.
考点二 等腰三角形
1．（2024安徽合肥·期末）在等腰三角形中，，则的度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分为底角和顶角两种情况，分别根据等腰三角形的性质求出，然后根据排除法即可解答．
【详解】解：当为顶角时，，则B选项不符合题意；
当为底角、为顶角时时，，则C选项不符合题意；
当、为底角时，，则D选项不符合题意；
综上，选项A不符合题意．
故此题答案为A．
2．（2024安徽蚌埠·期末）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A．22度 B．23度 C．24度 D．25度
【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可．
【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
3．（2024安徽滁州·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，米，，则横梁的长为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．12米
【答案】A
【分析】此题考查含的直角三角形三边关系．根据题意利用在直角三角形中含角所对的边是斜边的一半即可得到此题答案．
【详解】解：∵立柱垂直于横梁，
∴，
∵米，，
∴米，
故此题答案为A．
4．（2024安徽蚌埠·期末）下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
【答案】D
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.
【详解】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；
故此题答案为D.
【关键点拨】此题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形.
（2）判定定理1：三个角都想等的三角形是等边三角形.
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
5．（2024安徽淮北·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，相交于点，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．（2024安徽合肥合肥四十五中·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故此题答案为A．
7．（2024安徽亳州·期末）如图，已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为边向上作等边三角形，连接，则下列结论中错误的是（）
A．当时，是的垂直平分线 B．当时，的面积最小
C．当点D在直线上时， D．当点D在直线上时，
【答案】B
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是证明全等；
先证明全等，再根据选项确定即可；
【详解】∵和都是等边三角形，
即，
在和中，
，
，D正确；
，C正确；
当时，
故是的垂直平分线，故A正确；
故错误的为B，
故此题答案为B．
8．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等．
【详解】解：在中，，，
，
，，，
，
，
，
，
．
故此题答案为：B．
9．（2024安徽亳州·期末）如图，已知，平分，点D是上一点，过点D作交于点F，过点D作于点E．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】此题考查角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质，过点作于G，由角平分线的性质得，结合，可知，，则．
【详解】解：过点作于G，
∵平分，D是上一点，，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
故此题答案为B．
10．（2024安徽宣城·期末）已知：如图，在， 中， ， ， ，点 三点在同一直线上，连接 ， ；以下四个结论： ；；； ；其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项正确；
即：，本选项正确；
，本此选项正确；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
11．（2024安徽铜陵·期末）如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，D为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．11 D．12
【答案】C
【分析】此题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可．
【详解】解：连接，
，
∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F，
∴，
∵D为边的中点，
∴当点在上时，的周长最小，
∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点，
∴，，
∴的周长为：，
故此题答案为C．
12．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，点为内一点，，为延长线上的一点，且，若点在上，且．则下列结论：
；°；直线垂直平分线段；；正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的性质与判定，由等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，灵活运用性质是解题的关键．
【详解】解∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；故正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴点、都在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分线段，故正确；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确，
故正确的有：，
故此题答案为．
13．（2024安徽合肥·期末）在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解．
【详解】，
，
，
，，
是等腰三角形，
当即（不符合题意，舍去），
或，
当时， ，
当时，.
故此题答案为A．
14．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，，交，于，两点，连接，以点为顶点作，使得，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明△BEG≌△EDF，即可判断②；得到BG=EF，再由，得到∠A=∠BEG=∠EDF，即可判断③；证明△AEF≌△EGB得到AE=EG，则，即可判断④．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，故①正确；
∵，
∴∠BEG=∠EDF，
又∵∠1=∠2，EB=DE，
∴△BEG≌△EDF（ASA），故②正确；
∴BG=EF
∵，
∴∠A=∠BEG=∠EDF，故③正确；
∵∠AED=∠1+∠EGB=∠2+∠AEF，
∴∠BGE=∠AEF，
又∵BG=EF，∠1=∠AFE，
∴△AEF≌△EGB（ASA），
∴AE=EG，
∴，故④正确，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
15．（2024安徽宣城·期末）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．
【答案】或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；
若，
则，
∴；
若，且三角形是锐角三角形，
则；
若，且三角形是钝角三角形，
则．
综上：的度数为或或或
16．（2024安徽合肥·期末）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，则PC的长为 cm．
【答案】6
【分析】如图，作PH⊥OB于H．由角平分线的性质定理推出PH＝PD＝3cm，再证明∠PCH＝30°即可解决问题．
【详解】解：如图，作PH⊥OB于H．
∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3cm，
∵PC∥OA，
∴∠POA＝∠CPO＝15°，
∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PC＝2PH＝6cm．
故此题答案为6．
【关键点拨】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
17．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】/115度
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】，
，
，
，
又，
，
，
．
故此题答案为：．
18．（2024安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为 ；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为 ．
【答案】 /60度 4
【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案；
（2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案．
【详解】解：（1）是等边三角形，且，
，
由题意知，在和中，
，
，
，
；
（2）延长至点P，使，如图，
由题意知，点F在线段上运动，
当时，最短，此时，
，
．
故此题答案为：，4．
【关键点拨】此题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离．
19．（2024安徽铜陵·期末）如图，在四边形ABDE中，点C边BD上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB＋DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 ．
【答案】①②④
【分析】由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB=CD，BC=DE，可证AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB=∠CMD，BM=DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求∠MGH=45°=∠MBD，可证，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°=∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC=∠ECD，
又∵AC=CE， ∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；
如图，连接MC，
∵AC=CE，∠ACE=90°，点M是AE的中点，
∴ AM=CM=ME，∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，
∴∠BAM=∠MCD，
又∵AB=CD， ∴△ABM≌△CDM（SAS），
∴∠AMB=∠CMD，BM=DM，
∴∠AMB+∠BMC=∠BMC+∠DMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC， ∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∵∠AMC=∠GMH=90°，
∴∠AMG=∠CMH，
又∵AM=CM，∠MAG=∠MCH，
∴△AMG≌△CMH（ASA），
∴MG=MH，
∴∠MGH=45°=∠MBD，
∴，故④正确；
故此题答案为：①②④．
【关键点拨】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2024安徽宣城·期末）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．（2024安徽合肥·期末）已知：如图，在和中，点D在上，平分，且．
求证：．
【答案】详见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，再证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得结论．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
22．（2024安徽合肥·期末）求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查等腰三角形判定的证明．
分析命题后用几何语言写出已知和求证，再进行证明．已知：如图，在中，．求证：．证明：作于点D，通过“”证明，即可解答．
【详解】已知：如图，在中，．
求证：．
证明：过点A作于点D，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
23．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）如图，．
(1)用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)按下面要求画出图形：和交于点D，交于点E，连接并延长，交于点F；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据角平分线与垂直平分线的作图步骤一次作图即可；
（2）根据画图语言依次画图即可；
（3）由平分，可得，证明，可得，，证明，再结合角平分线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，射线、直线即为所求
（2）如图，点E，D，线段即为所求．
（3）证明：过点D作于点T．
∵平分，，
∴，
∵垂直平分线段，，
∴，，
∵，∴，
∵，，平分，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，角平分线的性质与线段的垂直平分线的性质的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的作角平分线与垂直平分线是解此题的关键．
24．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可；
（2）根据题意中结论设表示出即可证明
【详解】（1）解：根据题意，
是的平分线，
（2）根据题意，
是的平分线，
设
25．（2024安徽宣城·期末）如图，等边三角形中，点D，E分别在，边上，且，，相交于点F．
(1)请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)求出的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了等边三角形性质和全等三角形判定与性质，
（1）由等边三角形性质可得，，结合已知利用边角边即可证明，由此得出结论．
（2）由可得，再由三角形外角性质可得．
【详解】（1）解：；
理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（2024安徽淮北·期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，且
(1)试说明：
(2)试判断和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，得出，证出，即可得出
（2）得出，再由，得，即可证出结论
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∵.，即，
在和中, ，，
∴
∴
（2）延长分别交和于G和F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴
【关键点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键
27．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）数学模型学习与应用：
学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
(1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）；
(2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)是等边三角形，理由见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是此题的关键．
（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
的长度为；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：由（1）知：，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
28．（2024安徽淮北·期末）已知为等腰三角形，，，是边上的高，点，分别在，上，且满足．．
(1)如图1，若．
①求的值；
②证明：为等腰三角形；
(2)如图2，当点，分别在，上运动时，写出线段，，的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等：
（1）①先求出，再由三线合一定理得到，由，得到，则，设，则，可求出，则；②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，由角平分线的性质得到，证明，得到，利用三角形内角和定理证明，得到，即可证明为等腰三角形；
（2）如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，同理得到，求出，得到，证明，得到，则，即：，由此可得．
【详解】（1）解：①∵为等腰三角形，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：，证明如下：
如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∵，，
∴，且，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
29．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）已知，在和中，，，，且A，，三点在同一条直线上．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，并延长交于点．当时，判断的形状，并说明理由；
(3)如图3，过点作，垂足为，若，，当时，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)等边三角形，见解析；
(3)6
【分析】（1）证明≌（AAS），即可得到结论；
（2）证明△AOC和△BOD都是等边三角形，得到∠CAO=∠BDO=，求得∠AQD=，即可得到△AQD是等边三角形；
（3）在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，证明△QHD≌△QBA（SAS），得到HD=BA，由（1）可知△AOB≌△COD，得到AB=CD，推出HD=CD，由（2）可知，当时，求出∠Q=4，由此推出QG=DG=5，HQ=QB=4，即可求出QC．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴≌（AAS），
∴OB=OD；
（2）解：△AQD是等边三角形，
理由：∵，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠CAO=∠BDO=，
∴QA=QD，
∴△AQD是等边三角形；
（3）解：如图，在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，
∵QD=QA，∠Q=∠Q，QH=QB，
∴△QHD≌△QBA（SAS），
∴HD=BA，
由（1）可知△AOB≌△COD，
∴AB=CD，
∴HD=CD，
由（2）可知，当时，∠OAC=∠ODB=，
∴∠Q=4，
∵DG⊥AQ，
∴QG=DG=5，
∵HD=CD，
∴CG=GH，
∵QB=4，
∴HQ=4，
∴HG=CG=1，
∴QC=CG+GH+QH=4+1+1=6．
【关键点拨】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 轴对称及垂直平分线的性质
1．（2024安徽合肥·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下关于“鱼”的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024安徽宣城·期末）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．（2024安徽安庆·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024安徽蚌埠·期末）方块字是中国文化瑰宝，有些方块字具有对称性，下列方块字是轴对称图形的是（ ）
A．蚌 B．怀 C．五 D．固
5．（2024安徽淮北·期末）如图，四边形纸片的边，是边上任意一点，三角形沿折叠，点落在点的位置．，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024安徽宣城·期末）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024安徽淮南·期中）如图，中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．13
8．（2024安徽合肥·期末）下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形任何一个内角
B．两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
D．有两个内角互余的三角形是直角三角形
9．（2024安徽淮南·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
10．（2024安徽铜陵·期末）如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，D为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．11 D．12
11．（2024安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
12．（2024安徽芜湖·期末）学行线后，李强，张明，王玲三位同学分别想出了过一点画一条直线的平行线的新的方法，他们分别是这样做的：
李强的方法：
张明的方法：
王玲是通过折纸的方法：
你认为这三位同学的做法，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2024安徽合肥·期中）等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴．
14．（2024安徽淮南·期末）如图，把长方形沿折叠后，使落在处，若，则的度数为 ．
15．（2024安徽安庆·一模）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ．
16．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接．
(1)若，的周长为7，求的周长；
(2)若，，求的度数．
考点二 等腰三角形
1．（2024安徽合肥·期末）在等腰三角形中，，则的度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024安徽蚌埠·期末）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A．22度 B．23度 C．24度 D．25度
3．（2024安徽滁州·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，米，，则横梁的长为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．12米
4．（2024安徽蚌埠·期末）下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
5．（2024安徽淮北·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，相交于点，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024安徽合肥合肥四十五中·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024安徽亳州·期末）如图，已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为边向上作等边三角形，连接，则下列结论中错误的是（）
A．当时，是的垂直平分线
B．当时，的面积最小
C．当点D在直线上时，
D．当点D在直线上时，
8．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024安徽亳州·期末）如图，已知，平分，点D是上一点，过点D作交于点F，过点D作于点E．若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．（2024安徽宣城·期末）已知：如图，在， 中， ， ， ，点 三点在同一直线上，连接 ， ；以下四个结论： ；；； ；其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024安徽铜陵·期末）如图，等腰的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，D为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．11 D．12
12．（2024安徽合肥·期末）如图，在中，，，点为内一点，，为延长线上的一点，且，若点在上，且．则下列结论：
；°；直线垂直平分线段；；正确的有（ ）
A． B． C． D．
13．（2024安徽合肥·期末）在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
14．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，，交，于，两点，连接，以点为顶点作，使得，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024安徽宣城·期末）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．
16．（2024安徽合肥·期末）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，则PC的长为 cm．
17．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ．
18．（2024安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为 ；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为 ．
19．（2024安徽铜陵·期末）如图，在四边形ABDE中，点C边BD上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB＋DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 ．
20．（2024安徽宣城·期末）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，求的度数．
21．（2024安徽合肥·期末）已知：如图，在和中，点D在上，平分，且．
求证：．
22．（2024安徽合肥·期末）求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
23．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）如图，．
(1)用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)按下面要求画出图形：和交于点D，交于点E，连接并延长，交于点F；
(3)求证：．
24．（2024安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
25．（2024安徽宣城·期末）如图，等边三角形中，点D，E分别在，边上，且，，相交于点F．
(1)请在图中找出与相等的线段，并证明．
(2)求出的度数．
26．（2024安徽淮北·期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，且
(1)试说明：
(2)试判断和的位置关系，并说明理由．
27．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）数学模型学习与应用：
学习：如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到，．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．
(1)应用：如图2，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）；
(2)拓展：如图3，在（2）的条件下，若，且是等边三角形，试判断的形状，并说明理由．
28．（2024安徽淮北·期末）已知为等腰三角形，，，是边上的高，点，分别在，上，且满足．．
(1)如图1，若．
①求的值；
②证明：为等腰三角形；
(2)如图2，当点，分别在，上运动时，写出线段，，的数量关系，并给出证明．
29．（2024安徽合肥合肥市第三十八中学·期末）已知，在和中，，，，且A，，三点在同一条直线上．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，并延长交于点．当时，判断的形状，并说明理由；
(3)如图3，过点作，垂足为，若，，当时，求的长．
参考答案
考点一 轴对称及垂直平分线的性质
1．【答案】D
【分析】此题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；是解决问题的关键．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故符合题意．
故此题答案为D．
2．【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形．故此题答案为项正确；
B、不是轴对称图形．故此题答案为项错误；
C、不是轴对称图形．故此题答案为项错误；
D、不是轴对称图形．故此题答案为项错误．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
3．【答案】C
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、时轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故此题答案为C．
4．【答案】D
【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故此题答案为D．
5．【答案】B
【分析】过点F作，交于点M，交于点N，根据平行线的性质可得出，，进而可得出，由折叠的性质得，，根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：如图，过点F作，交于点M，交于点N，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，
故此题答案为B．
6．【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解．
【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
7．【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
的周长，
故此题答案为：C．
【关键点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】此题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定，垂直平分线的判定，直角三角形的判定．对于真命题，需要证明，而对于假命题，只需举一个反例即可．因此选项A，B，C可举反例说明是假命题，D选项进行证明．
【详解】A选项：如图，是钝角的外角，明显小于内角；
∴命题“三角形的外角大于三角形任何一个内角”是假命题；
B选项：如图，在和中，，，，明显和不全等．
∴命题“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是假命题；
C选项：如图，直线l是线段的垂直平分线，点P是直线上一点，点D是线段上任意一点，．
∴命题“垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等”是假命题；
D选项：如图，在中，与互余，
即，
∴，
∴是直角三角形．
∴命题“有两个内角互余的三角形是直角三角形”是真命题．
故此题答案为：D
9．【答案】D
【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择三边的垂直平分线的交点．
故此题答案为：D．
10．【答案】C
【分析】此题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可．
【详解】解：连接，
，
∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F，
∴，
∵D为边的中点，
∴当点在上时，的周长最小，
∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点，
∴，，
∴的周长为：，
故此题答案为C．
11．【答案】B
【分析】先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，
∴，
∵的周长是18，，
∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，
∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．
故此题答案为B．
12．【答案】D
【分析】图1，由作图可知，∠2=∠1，利用平行线的判定即可解决问题；
图2，由作图可知，a⊥PQ，a⊥l，SR=PQ，利用平行线的判定即可解决问题；
图3，由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用平行线的判定即可解决问题．
【详解】解：图1，由作图可知，∠2=∠1，
∴利用同位角相等，两直线平行，判定c∥a；
图2，由作图可知，a⊥PQ，a⊥l，SR=PQ，
∴利用平行线间的距离处处相等，判定b∥a；
图3，由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，
∴可以利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，判定CD∥a，即b∥a．
故此题答案为D．
13．【答案】3
【分析】根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．
【详解】解：∵等边三角形三条边上的高线所在直线均为对称轴，
∴等边三角形有3条对称轴．
14．【答案】110°/110度
【分析】根据折叠的性质可得∠BFE=∠NFE，再由AD∥BC，可得∠AEF=∠CFE，然后根据，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠BFE=∠NFE，AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∵，
∴，
∴∠AEF=∠CFE=∠1+∠EFN=110°．
15．【答案】5
【分析】也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长．
【详解】解：由作法得，垂直平分，
，
的周长为15，
，
，
即，
∴，
解得，
∴．
16．【答案】(1)的周长为；
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解；
（2）证得，根据即可求解．
【详解】（1）解：是线段的垂直平分线，
，.
，
.
的周长为，
的周长为
（2）解：是线段的垂直平分线，
.
，
.
，
.
在和中，
，
.
考点二 等腰三角形
1．【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分为底角和顶角两种情况，分别根据等腰三角形的性质求出，然后根据排除法即可解答．
【详解】解：当为顶角时，，则B选项不符合题意；
当为底角、为顶角时时，，则C选项不符合题意；
当、为底角时，，则D选项不符合题意；
综上，选项A不符合题意．
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可．
【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】此题考查含的直角三角形三边关系．根据题意利用在直角三角形中含角所对的边是斜边的一半即可得到此题答案．
【详解】解：∵立柱垂直于横梁，
∴，
∵米，，
∴米，
故此题答案为A．
4．【答案】D
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.
【详解】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；
故此题答案为D.
【关键点拨】此题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形.
（2）判定定理1：三个角都想等的三角形是等边三角形.
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
5．【答案】A
【分析】此题考查了三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．【答案】A
【分析】先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故此题答案为A．
7．【答案】B
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是证明全等；
先证明全等，再根据选项确定即可；
【详解】∵和都是等边三角形，
即，
在和中，
，
，D正确；
，C正确；
当时，
故是的垂直平分线，故A正确；
故错误的为B，
故此题答案为B．
8．【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等．
【详解】解：在中，，，
，
，，，
，
，
，
，
．
故此题答案为：B．
9．【答案】B
【分析】此题考查角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质，过点作于G，由角平分线的性质得，结合，可知，，则．
【详解】解：过点作于G，
∵平分，D是上一点，，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
故此题答案为B．
10．【答案】D
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项正确；
即：，本选项正确；
，本此选项正确；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
11．【答案】C
【分析】此题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可．
【详解】解：连接，
，
∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F，
∴，
∵D为边的中点，
∴当点在上时，的周长最小，
∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点，
∴，，
∴的周长为：，
故此题答案为C．
12．【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的性质与判定，由等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，灵活运用性质是解题的关键．
【详解】解∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；故正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴点、都在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分线段，故正确；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确，
故正确的有：，
故此题答案为．
13．【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解．
【详解】，
，
，
，，
是等腰三角形，
当即（不符合题意，舍去），
或，
当时， ，
当时，.
故此题答案为A．
14．【答案】D
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明△BEG≌△EDF，即可判断②；得到BG=EF，再由，得到∠A=∠BEG=∠EDF，即可判断③；证明△AEF≌△EGB得到AE=EG，则，即可判断④．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，故①正确；
∵，
∴∠BEG=∠EDF，
又∵∠1=∠2，EB=DE，
∴△BEG≌△EDF（ASA），故②正确；
∴BG=EF
∵，
∴∠A=∠BEG=∠EDF，故③正确；
∵∠AED=∠1+∠EGB=∠2+∠AEF，
∴∠BGE=∠AEF，
又∵BG=EF，∠1=∠AFE，
∴△AEF≌△EGB（ASA），
∴AE=EG，
∴，故④正确，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
15．【答案】或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；
若，
则，
∴；
若，且三角形是锐角三角形，
则；
若，且三角形是钝角三角形，
则．
综上：的度数为或或或
16．【答案】6
【分析】如图，作PH⊥OB于H．由角平分线的性质定理推出PH＝PD＝3cm，再证明∠PCH＝30°即可解决问题．
【详解】解：如图，作PH⊥OB于H．
∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3cm，
∵PC∥OA，
∴∠POA＝∠CPO＝15°，
∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PC＝2PH＝6cm．
故此题答案为6．
【关键点拨】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
17．【答案】/115度
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】，
，
，
，
又，
，
，
．
故此题答案为：．
18．【答案】 /60度 4
【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案；
（2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案．
【详解】解：（1）是等边三角形，且，
，
由题意知，在和中，
，
，
，
；
（2）延长至点P，使，如图，
由题意知，点F在线段上运动，
当时，最短，此时，
，
．
故此题答案为：，4．
【关键点拨】此题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离．
19．【答案】①②④
【分析】由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB=CD，BC=DE，可证AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB=∠CMD，BM=DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求∠MGH=45°=∠MBD，可证，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°=∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC=∠ECD，
又∵AC=CE， ∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；
如图，连接MC，
∵AC=CE，∠ACE=90°，点M是AE的中点，
∴ AM=CM=ME，∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，
∴∠BAM=∠MCD，
又∵AB=CD， ∴△ABM≌△CDM（SAS），
∴∠AMB=∠CMD，BM=DM，
∴∠AMB+∠BMC=∠BMC+∠DMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC， ∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∵∠AMC=∠GMH=90°，
∴∠AMG=∠CMH，
又∵AM=CM，∠MAG=∠MCH，
∴△AMG≌△CMH（ASA），
∴MG=MH，
∴∠MGH=45°=∠MBD，
∴，故④正确；
故此题答案为：①②④．
【关键点拨】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．【答案】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．【答案】详见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，再证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得结论．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】见解析
【分析】此题考查等腰三角形判定的证明．
分析命题后用几何语言写出已知和求证，再进行证明．已知：如图，在中，．求证：．证明：作于点D，通过“”证明，即可解答．
【详解】已知：如图，在中，．
求证：．
证明：过点A作于点D，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
23．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据角平分线与垂直平分线的作图步骤一次作图即可；
（2）根据画图语言依次画图即可；
（3）由平分，可得，证明，可得，，证明，再结合角平分线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，射线、直线即为所求
（2）如图，点E，D，线段即为所求．
（3）证明：过点D作于点T．
∵平分，，
∴，
∵垂直平分线段，，
∴，，
∵，∴，
∵，，平分，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，角平分线的性质与线段的垂直平分线的性质的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的作角平分线与垂直平分线是解此题的关键．
24．【答案】(1)
(2)见详解
【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可；
（2）根据题意中结论设表示出即可证明
【详解】（1）解：根据题意，
是的平分线，
（2）根据题意，
是的平分线，
设
25．【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了等边三角形性质和全等三角形判定与性质，
（1）由等边三角形性质可得，，结合已知利用边角边即可证明，由此得出结论．
（2）由可得，再由三角形外角性质可得．
【详解】（1）解：；
理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，得出，证出，即可得出
（2）得出，再由，得，即可证出结论
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∵.，即，
在和中, ，，
∴
∴
（2）延长分别交和于G和F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴
【关键点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键
27．【答案】(1)；
(2)是等边三角形，理由见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是此题的关键．
（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
的长度为；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：由（1）知：，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
28．【答案】(1)①；②证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等：
（1）①先求出，再由三线合一定理得到，由，得到，则，设，则，可求出，则；②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，由角平分线的性质得到，证明，得到，利用三角形内角和定理证明，得到，即可证明为等腰三角形；
（2）如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，同理得到，求出，得到，证明，得到，则，即：，由此可得．
【详解】（1）解：①∵为等腰三角形，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：，证明如下：
如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∵，，
∴，且，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
29．【答案】(1)见解析；
(2)等边三角形，见解析；
(3)6
【分析】（1）证明≌（AAS），即可得到结论；
（2）证明△AOC和△BOD都是等边三角形，得到∠CAO=∠BDO=，求得∠AQD=，即可得到△AQD是等边三角形；
（3）在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，证明△QHD≌△QBA（SAS），得到HD=BA，由（1）可知△AOB≌△COD，得到AB=CD，推出HD=CD，由（2）可知，当时，求出∠Q=4，由此推出QG=DG=5，HQ=QB=4，即可求出QC．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴≌（AAS），
∴OB=OD；
（2）解：△AQD是等边三角形，
理由：∵，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠CAO=∠BDO=，
∴QA=QD，
∴△AQD是等边三角形；
（3）解：如图，在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，
∵QD=QA，∠Q=∠Q，QH=QB，
∴△QHD≌△QBA（SAS），
∴HD=BA，
由（1）可知△AOB≌△COD，
∴AB=CD，
∴HD=CD，
由（2）可知，当时，∠OAC=∠ODB=，
∴∠Q=4，
∵DG⊥AQ，
∴QG=DG=5，
∵HD=CD，
∴CG=GH，
∵QB=4，
∴HQ=4，
∴HG=CG=1，
∴QC=CG+GH+QH=4+1+1=6．
【关键点拨】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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