中小学教育资源及组卷应用平台
专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（2024安徽合肥·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方的运算法则逐项运算判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故此题答案为D．
2．（2024安徽淮北·期末）的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：原式．
故此题答案为A．
3．（2024安徽宣城·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．52
【答案】A
【分析】直接利用同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用运算法则将原式变形得出答案．
【详解】∵，
∴
=．
故此题答案为A．
4．（2024安徽安庆·期末）已知三个实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依据题意，由得，，结合，可得，再将代入可以得解．
【详解】解：，
，，
，
．
．
，
．
故此题答案为A．
5．（2024安徽宣城·期末）代数式49m2﹣km+1是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．7 B．±7 C．14 D．±14
【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵49m2-km+1是一个完全平方式，
∴km=±2×7m×1，
解得k=±14．
故此题答案为D．
6．（2024安徽合肥·期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式和幂的运算法则将化为，将已知代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故此题答案为C．
7．（2024安徽合肥·期末）已知，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
.
故此题答案为A．
8．（2024安徽·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5．5
【答案】B
【详解】解：设A，B正方形的面积分别为a，b，则边长分别为，，
由图甲可得，
由图乙可得，即，
a+b=．
故此题答案为B．
9．（2024安徽合肥·期末）如图，点B是线段上一点，以，为边向外做正方形，面积分别为，，若，，三角形的面积是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．5
【答案】A
【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
，，
，
又∵，
，
，
，
.
10．（2024安徽合肥·期末）如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（ ）．
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】B
【分析】设，则，；由、可得、，再根据完全平方公式以及实际意义可得、，进而得到，然后代入即可解答．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，解得：，
∴，，
∴（舍弃负值），（舍弃负值），
∴，
∴．
故此题答案为B．
11．（2024安徽亳州·期末）计算 ．
【答案】3
【详解】解：原式 ．
12．（2024安徽蚌埠·期末）要使的展开式中不含项，则的值为 ．
【答案】3
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，再根据题意得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：
展开式中不含项
解得：．
13．（2024安徽合肥·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据恒等式，求出的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
14．（2024安徽淮北·期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】先通分，再利用完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
15．（2024安徽宣城·期末）如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则原长方形纸片的周长是 ．
【答案】20
【分析】由拼图可知，，由此可得，，得，得进而求得，即可求得原长方形纸片的周长．
【详解】解：∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，
∴，，，
∴，（负值舍去），
∴，
∴负值舍去
∴
解得：
原长方形的周长为
16．（2024安徽淮北·期末）定义：是以a，b，c为系数的二次多项式，即，其中a，b，c均为实数，例如，，则．
（1）当时， ．
（2）若，则 ．
【答案】
【分析】（1）根据定义，求出，再将即可解答；
（2）根据定义，求得，再令，可求得，再化简即得答案．
【详解】（1），
，，
，
当时，，
故答案为：．
（2），，
，
令，
则，
即，
，
即．
17．（2024安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，0
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
18．（2024安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中， ．
【答案】，2
【分析】此题考查了单项式乘多项式，整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则对原式进行化简．
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
当， 时，
原式
19．（2024安徽淮北·期末）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值．
【答案】
【分析】计算，然后结合已知条件即可求得答案．
【详解】解：
，
不含的一次项，
，
．
20．（2024安徽合肥·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米，宽为b米的鱼池供观赏．
(1)求绿化的面积是多少平方米？
(2)若，时，求绿化面积、
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）阴影部分面积正方形的面积矩形的面积，即可求解；
（2）将，代入面积，即可求解
【详解】（1）解：由题意得
（平方米）；
（2）解：当，时，
（平方米）．
21．（2024安徽宣城·期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形．
【答案】证明见解析
【分析】根据结合分式的性质得到，进一步推出，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，
∴三角形是直角三角形．
22．（2024安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算．
①；
②；
③；
④．
(1)计算：_______，________．
(2)若，求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）解：由①②③④运算情况可知，
，
.
（2）解：，，
，，
解得，
将代入中，有，
．
23．（2024安徽安庆·期末）观察点阵图中点与等式之间的关系，寻找规律．
①；
②；
③；
④；
…
按照你发现的规律解答下列问题：
（1）第⑥个等式是______；
（2）用含（为正整数）的等式表示第n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）接着第4个等式，写出第5个和第6个等式即可；
（2）根据前四个等式与n的关系，写出第n个等式，利用完全平方公式展开证明等式成立即可．
【详解】解：（1）接着第4个等式，得：
第5个等式为：，
第6个等式为：，
故此题答案为：；
（2）,
证明：左边，右边，
∴左边右边，等式成立．
【关键点拨】此题考查探究数字型变化规律、完全平方公式，认真观察，仔细思考，善用联想并借用公式证明是解决这类题的方法．
24．（2024安徽安庆·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．
(1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为，用含的式子表示“”形框内的7个数字的和为_______；
(2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数；
(3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为，，且，直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)8
(3)70
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键．
（1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可；
（2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案；
（3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可．
【详解】（1）由题意得，其他6个数分别为，
∴这7个数的和为．
故此题答案为：；
（2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，
由题意得，，
解得，
∴，
∴最小的数是8；
（3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当有最大值时，则有最大值，
∴只需要满足最大，最小时即可，
∵，即，
∴当最大时，最小，
由日历表可知，
当取23，取7时，由日历表可知不符合题意；
当取20，取10，由日历表可知符合题意
∴的最大值为．
25．（2024安徽合肥·期末）【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示）
（ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”）
（ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值．
【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2）
【分析】（1）（ⅰ）根据图形即可求解；
（ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解；
（ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解；
（2）由（1）得，即可求解；
理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得
①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为
（ⅱ）由图②得
当时，
（ⅲ）当时，，
甲同学：当时，
，
，
当时，；
乙同学：
当时，；
（2）
，
由（1）得：
，
，
，
的最小值为．
26．（2024安徽亳州·期末）用几个小的长方形和正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个小长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，请用等式表示你从中得到的结论：________；
(2)利用（1）中的结论解决问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形的边长为a，正方形的边长为b，点D，G，C在同一条直线上，连接，，若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论；
（2）将，代入（1）中的结论运算即可解题；
（3）先表示出阴影部分的面积，再将，代入即可解题．
【详解】（1）解：把图2看作一个大正方形，它的面积是；
如果把图2看作是由6个小长方形和3个小正方形组成的，它的面积为，
由此可得，
故答案为；
（2）解：，
将，代入可得，
解得；
（3）解：由图可知，阴影部分的面积为，
正方形的边长为a，正方形的边长为b，
，
将，代入得阴影部分的面积为．
考点二 因式分解
1．（2024安徽淮北·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意.
故此题答案为C.
2．（2022安徽淮北·期末）把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
【答案】A
【分析】
根据因式分解提公因式，即可得到答案．
【详解】
，
∴另一个因式为（1-m），
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
3．（2023安徽六安·期末）用公式法分解因式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：①，原式因式分解错误，不符合题意；
②，原式因式分解正确，符合题意；
③，原式因式分解错误，不符合题意；
④，原式因式分解正确，符合题意；
∴正确的有2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
4．（2024安徽宣城·期末）下列各式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【详解】解：A．能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
B．，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C．，能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D．，能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故此题答案为B．
5．（2024安徽铜陵·期末）已知，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先把原式中进行因式分解，再把代入进行计算即可．
【详解】解：，
．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把代入进行计算．
6．（2022安徽合肥·期末）若，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
把变形为，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．
【详解】
解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b
=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键在于利用整体代入的思想．
7．（2022安徽淮北·期末）若实数a，b，c满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据，可得，再代入，可得，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．（2024安徽合肥合肥市第四十二中学·临考冲刺）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解
【详解】解：将代入得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论错误，不符合题意；
D.，结论正确，符合题意；
故此题答案为D．
9．（2024安徽合肥·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：.
10．（2024安徽宣城·期末）已知，，则= .
【答案】
【分析】将代数式提取公因式，再整体代入计算求值即可．
【详解】解：．
11．（2024安徽·临考冲刺）一个三位数的百位、十位和个位上数字分别是a,b,c,且满足3a+b=,其中m为正整数,则该三位数一定能被整除的数是 .
【答案】7
【解析】因为3a+b=,所以9a+3b+c=7m.该三位数可以表示为100a+10b+c=91a+7b+(9a+3b+c)=91a+7b+7m=7(13a+b+m).因为m为正整数,所以该三位数一定能被7整除.
12．（2024安徽铜陵·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查因式分解．
（1）提公因式即可；
（2）先将式子整理成，再利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
．
13．（2024安徽宣城·期末）因式分解：．
【答案】
【分析】因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】
．
14．（2024安徽安庆·月考）阅读材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值
【答案】(1)
(2)6
【分析】
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，即可求出的值；
（2）将已知等式25分为，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
又是正整数，
的边c的值2,3,4，5，6；
的边c的最大值6．
15．（2024安徽池州·开学摸底）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
解题过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若，为非零实数，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将组合成完全平方公式，即可进行因式分解；
（2）将分别组合，即可进行因式分解；
（3）将整理得，再利用分组分解法可得，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式以及应用．熟练掌握相应方法，进行正确分组是解题关键．
16．（2024安徽·期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．例如：将式子分解因式．解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
(3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数p的值可能为5或﹣5或1或﹣1
【分析】（1）利用“十字相乘法”即可求解；
（2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解；
（3）将常数进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（2024安徽合肥·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024安徽淮北·期末）的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2024安徽宣城·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．52
4．（2024安徽安庆·期末）已知三个实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024安徽宣城·期末）代数式49m2﹣km+1是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．7 B．±7 C．14 D．±14
6．（2024安徽合肥·期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024安徽合肥·期末）已知，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2024安徽·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5．5
9．（2024安徽合肥·期末）如图，点B是线段上一点，以，为边向外做正方形，面积分别为，，若，，三角形的面积是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．5
10．（2024安徽合肥·期末）如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（ ）．
A．25 B．26 C．27 D．28
11．（2024安徽亳州·期末）计算 ．
12．（2024安徽蚌埠·期末）要使的展开式中不含项，则的值为 ．
13．（2024安徽合肥·期末）若，则 ．
14．（2024安徽淮北·期末）已知，，则 ．
15．（2024安徽宣城·期末）如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则原长方形纸片的周长是 ．
16．（2024安徽淮北·期末）定义：是以a，b，c为系数的二次多项式，即，其中a，b，c均为实数，例如，，则．
（1）当时， ．
（2）若，则 ．
17．（2024安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2024安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中， ．
19．（2024安徽淮北·期末）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值．
20．（2024安徽合肥·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米，宽为b米的鱼池供观赏．
(1)求绿化的面积是多少平方米？
(2)若，时，求绿化面积、
21．（2024安徽宣城·期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，求证：三角形是直角三角形．
22．（2024安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算．
①；
②；
③；
④．
(1)计算：_______，________．
(2)若，求的值．
23．（2024安徽安庆·期末）观察点阵图中点与等式之间的关系，寻找规律．
①；
②；
③；
④；
…
按照你发现的规律解答下列问题：
（1）第⑥个等式是______；
（2）用含（为正整数）的等式表示第n个等式，并证明其正确性．
24．（2024安徽安庆·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．
(1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为，用含的式子表示“”形框内的7个数字的和为_______；
(2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数；
(3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为，，且，直接写出的最大值．
25．（2024安徽合肥·期末）【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示）
（ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”）
（ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值．
26．（2024安徽亳州·期末）用几个小的长方形和正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个小长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，请用等式表示你从中得到的结论：________；
(2)利用（1）中的结论解决问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形的边长为a，正方形的边长为b，点D，G，C在同一条直线上，连接，，若，，求阴影部分的面积．
考点 二 因式分解
1．（2024安徽淮北·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022安徽淮北·期末）把提取公因式后，则另一个因式是（ ）
A． B． C．m D．
3．（2023安徽六安·期末）用公式法分解因式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024安徽宣城·期末）下列各式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024安徽铜陵·期末）已知，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2022安徽合肥·期末）若，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．（2022安徽淮北·期末）若实数a，b，c满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024安徽合肥合肥市第四十二中学·临考冲刺）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024安徽合肥·期末）因式分解： ．
10．（2024安徽宣城·期末）已知，，则= .
11．（2024安徽·临考冲刺）一个三位数的百位、十位和个位上数字分别是a,b,c,且满足3a+b=,其中m为正整数,则该三位数一定能被整除的数是 .
12．（2024安徽铜陵·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
13．（2024安徽宣城·期末）因式分解：．
14．（2024安徽安庆·月考）阅读材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值
15．（2024安徽池州·开学摸底）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
解题过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若，为非零实数，，且，求的值．
16．（2024安徽·期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．例如：将式子分解因式．解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
(3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
参考答案
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方的运算法则逐项运算判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故此题答案为D．
2．【答案】A
【分析】根据积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：原式．
故此题答案为A．
3．【答案】A
【分析】直接利用同底数幂的除法的逆用和幂的乘方的逆用运算法则将原式变形得出答案．
【详解】∵，
∴
=．
故此题答案为A．
4．【答案】A
【分析】依据题意，由得，，结合，可得，再将代入可以得解．
【详解】解：，
，，
，
．
．
，
．
故此题答案为A．
5．【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵49m2-km+1是一个完全平方式，
∴km=±2×7m×1，
解得k=±14．
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】利用完全平方公式和幂的运算法则将化为，将已知代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故此题答案为C．
7．【答案】A
【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
.
故此题答案为A．
8．【答案】B
【详解】解：设A，B正方形的面积分别为a，b，则边长分别为，，
由图甲可得，
由图乙可得，即，
a+b=．
故此题答案为B．
9．【答案】A
【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
，，
，
又∵，
，
，
，
.
10．【答案】B
【分析】设，则，；由、可得、，再根据完全平方公式以及实际意义可得、，进而得到，然后代入即可解答．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，解得：，
∴，，
∴（舍弃负值），（舍弃负值），
∴，
∴．
故此题答案为B．
11．【答案】3
【详解】解：原式 ．
12．【答案】3
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，再根据题意得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：
展开式中不含项
解得：．
13．【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据恒等式，求出的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
14．【答案】
【分析】先通分，再利用完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
15．【答案】20
【分析】由拼图可知，，由此可得，，得，得进而求得，即可求得原长方形纸片的周长．
【详解】解：∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，
∴，，，
∴，（负值舍去），
∴，
∴负值舍去
∴
解得：
原长方形的周长为
16．【答案】
【分析】（1）根据定义，求出，再将即可解答；
（2）根据定义，求得，再令，可求得，再化简即得答案．
【详解】（1），
，，
，
当时，，
故答案为：．
（2），，
，
令，
则，
即，
，
即．
17．【答案】，0
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
18．【答案】，2
【分析】此题考查了单项式乘多项式，整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则对原式进行化简．
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
当， 时，
原式
19．【答案】
【分析】计算，然后结合已知条件即可求得答案．
【详解】解：
，
不含的一次项，
，
．
20．【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）阴影部分面积正方形的面积矩形的面积，即可求解；
（2）将，代入面积，即可求解
【详解】（1）解：由题意得
（平方米）；
（2）解：当，时，
（平方米）．
21．【答案】证明见解析
【分析】根据结合分式的性质得到，进一步推出，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，
∴三角形是直角三角形．
22．【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）解：由①②③④运算情况可知，
，
.
（2）解：，，
，，
解得，
将代入中，有，
．
23．【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）接着第4个等式，写出第5个和第6个等式即可；
（2）根据前四个等式与n的关系，写出第n个等式，利用完全平方公式展开证明等式成立即可．
【详解】解：（1）接着第4个等式，得：
第5个等式为：，
第6个等式为：，
故此题答案为：；
（2）,
证明：左边，右边，
∴左边右边，等式成立．
【关键点拨】此题考查探究数字型变化规律、完全平方公式，认真观察，仔细思考，善用联想并借用公式证明是解决这类题的方法．
24．【答案】(1)
(2)8
(3)70
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键．
（1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可；
（2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案；
（3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可．
【详解】（1）由题意得，其他6个数分别为，
∴这7个数的和为．
故此题答案为：；
（2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，
由题意得，，
解得，
∴，
∴最小的数是8；
（3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当有最大值时，则有最大值，
∴只需要满足最大，最小时即可，
∵，即，
∴当最大时，最小，
由日历表可知，
当取23，取7时，由日历表可知不符合题意；
当取20，取10，由日历表可知符合题意
∴的最大值为．
25．【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2）
【分析】（1）（ⅰ）根据图形即可求解；
（ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解；
（ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解；
（2）由（1）得，即可求解；
理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得
①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为
（ⅱ）由图②得
当时，
（ⅲ）当时，，
甲同学：当时，
，
，
当时，；
乙同学：
当时，；
（2）
，
由（1）得：
，
，
，
的最小值为．
26．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论；
（2）将，代入（1）中的结论运算即可解题；
（3）先表示出阴影部分的面积，再将，代入即可解题．
【详解】（1）解：把图2看作一个大正方形，它的面积是；
如果把图2看作是由6个小长方形和3个小正方形组成的，它的面积为，
由此可得，
故答案为；
（2）解：，
将，代入可得，
解得；
（3）解：由图可知，阴影部分的面积为，
正方形的边长为a，正方形的边长为b，
，
将，代入得阴影部分的面积为．
考点 二 因式分解
1．【答案】C
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意.
故此题答案为C.
2．【答案】A
【分析】
根据因式分解提公因式，即可得到答案．
【详解】
，
∴另一个因式为（1-m），
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
3．【答案】B
【分析】根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：①，原式因式分解错误，不符合题意；
②，原式因式分解正确，符合题意；
③，原式因式分解错误，不符合题意；
④，原式因式分解正确，符合题意；
∴正确的有2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
4．【答案】B
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【详解】解：A．能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
B．，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C．，能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
D．，能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；
故此题答案为B．
5．【答案】B
【分析】先把原式中进行因式分解，再把代入进行计算即可．
【详解】解：，
．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把代入进行计算．
6．【答案】C
【分析】
把变形为，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．
【详解】
解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b
=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键在于利用整体代入的思想．
7．【答案】C
【分析】
根据，可得，再代入，可得，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．【答案】D
【分析】将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解
【详解】解：将代入得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论错误，不符合题意；
D.，结论正确，符合题意；
故此题答案为D．
9．【答案】
【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：.
10．【答案】
【分析】将代数式提取公因式，再整体代入计算求值即可．
【详解】解：．
11．【答案】7
【解析】因为3a+b=,所以9a+3b+c=7m.该三位数可以表示为100a+10b+c=91a+7b+(9a+3b+c)=91a+7b+7m=7(13a+b+m).因为m为正整数,所以该三位数一定能被7整除.
12．【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查因式分解．
（1）提公因式即可；
（2）先将式子整理成，再利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
．
13．【答案】
【分析】因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】
．
14．【答案】(1)
(2)6
【分析】
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，即可求出的值；
（2）将已知等式25分为，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
又是正整数，
的边c的值2,3,4，5，6；
的边c的最大值6．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将组合成完全平方公式，即可进行因式分解；
（2）将分别组合，即可进行因式分解；
（3）将整理得，再利用分组分解法可得，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式以及应用．熟练掌握相应方法，进行正确分组是解题关键．
16．【答案】(1)
(2)
(3)整数p的值可能为5或﹣5或1或﹣1
【分析】（1）利用“十字相乘法”即可求解；
（2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解；
（3）将常数进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
