2024-2025年人教版八年级上册数学期末专题提升训练：第十四章乘法公式的应用（含解析）

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2024-2025年人教版八年级上册数学期末专题提升训练：第十四章乘法公式的应用
一、单选题
1．若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A． B．4 C．4或 D．2或
2．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．设代数式的值为，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则a的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
6．若，则的值为（ ）
A．12 B．6 C．3 D．
7．若，则的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
8．如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若，那么多项式的值是 ．
10．若，则的值为 ．
11．如果，那么 ．
12．已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
13．已知，则 ．
14．已知，则 ．
15．实数满足，则的值是 ．
16．若．则 ．
三、解答题
17．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______；
根据上面的思路与方法，解决下列问题：
（2）①若，，则______；
②若，则______．
（3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
18．定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：．
(1)把多项式配方成的形式，则________，________；
(2)若多项式，．
①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数；
②求多项式的最小值．
(3)已知正整数，，满足不等式，求的值．
19．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式．
例如图1得到：，基于此，请回答下列问题：
【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： ；
【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，则的平方根是 ．
【拓展】（3）已知∶ ，求的值．
20．如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形．
(1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____；
(2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____；
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
21．综合与实践：如图①，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形，设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为．
(1)请直接用含和的代数式表示___________，___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________；（用式子表达）
(2)依据这个公式，康康展示了“计算”的解题过程．
解：原式
．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：；
(3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A D C A B C
1．C
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【详解】解：∵方程的左边是一个完全平方式，
∴，
∴，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．根据阴影部分面积相等列等式即可．
【详解】解：由面积相等可知，
故选：C．
3．A
【分析】此题考查了完全平方公式的应用．利用完全平方公式把变形为，利用即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵代数式的值为，
∴，
故选：A
4．D
【分析】本题考查乘法公式-平方差公式的结构特征，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键．
【详解】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查完全平方公式，将展开，再比较系数即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．A
【分析】此题主要考查代数式求值，关键是利用完全平方公式对原式进行变形．
把原式利用完全平方公式进行变形，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选A
7．B
【分析】此题考查了完全平方公式变形求值．把和整体代入即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴
故选：B
8．C
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
由大正方形的面积小正方形的面积＝长方形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，
拼成的是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：C．
9．8
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
10．
【分析】可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案．
【详解】解：方法一：利用乘法公式展开
，
，
，
；
方法二：取特殊值法
，
求的值，可以取得到，
即；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及整式乘法运算、完全平方和公式、多项式乘以多项式、多项式相等等知识，熟记整数乘法运算展开是解决问题的关键．
11．
【分析】本题考查平方差公式，根据条件，利用平方差公式，代值求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M．
【详解】解：①∵，
∴，
②若中M是多项式的平方，
则；
故答案为：或．
13．
【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把式子两边同时平方，利用完全平方公式求出的值，同理可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据得出，即可求出，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，利用整体的思想和完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：．
16．1
【分析】此题考查了完全平方公式的变形求值．把代入即可求出答案．
【详解】∵．
∴，
故答案为：1
17．（1）；（2）①6；②13；（3）
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
（1）两种方法计算大正方形的面积可得答案；
（2）①由，可得，而，故；
②由，知，又，故；
（3）由，得，又，故；即图中阴影部分面积为16.5．
【详解】解：（1）大正方形的面积用面积公式计算为，用小正方形面积加上4个长方形面积为，
∴关于、的关系式可表示为：；
故答案为：；
（2）①，
，
，
，
，
；
故答案为：6；
②，
，
，
，
，
故答案为：13；
（3）根据题意得：，
，
，
，
；
；
图中阴影部分面积为16.5．
18．(1)2，1；
(2)①见解析，②9
(3)1
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
（1）根据配方法的定义配方即可；
（2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将配方成，即可确定最小值；
（3）根据原式可变形得，再配方可得，再根据平方的非负性质求解即可．
【详解】（1）解：
，
，，
故答案为：2，1；
（2）①证明：，
多项式的值一定恒为正数；
②解：
，
的最小值为9；
（3），
，
，
，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，则或2.5或1.5，且，，为正整数，
，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
19．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与图形面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用：
（1）根据正方形面积的两种计算方法，即可得到数学等式；
（2）计算多项式乘以单项式，进而求得、、的值，计算，再求平方根可求解；
（3）令，，则，，再根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）由图形可知，，
故答案为：；
（2），
，，，
，
的平方根是，
故答案为：；
（3）令，，
，
，
，
，
，
．
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】此题考查了利用完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键．
（1）根据长方形的面积进行计算，由图形面积间和差关系可得此题结果为；
（2）由图形面积间关系可得：；
（3）由（2）题关系式可得，，就能求得最后结果．
【详解】（1）解：由题意得，图1中的每个小长方形的面积是；
图2中间空白的部分的面积是．
故答案为：；；
（2）解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：．
故答案为：；
（3）解：由（2）题关系式可得，，
，
即的值是．
21．(1)，，
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查平方差公式的运算．
（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解；
（2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解；
（3）根据（1）中结论，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，，
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：
；
（3）解：设一个奇数为（为正整数），则另一个相邻的奇数为，
，
任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
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