2024—2025年人教版数学九年级上册期末专题提升训练：解一元二次方程（含解析）

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2024—2025年人教版数学九年级上册期末专题提升训练：解一元二次方程
1．解下列方程：
(1)； (2)．
2．解方程：
(1)； (2)．
3．解方程．
(1)． (2)．
4．解方程：
(1)； (2)．
5．解下列方程
(1) (2)
6．解方程：
(1)； (2)．
7．解方程：
(1)； (2)．
8．请用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
9．解下列方程：
(1) (2)
10．解下列方程：
(1)； (2)．
11．解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)．
12．解方程：
(1)； (2)（用配方法）；
(3)； (4)（用公式法）．
13．用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)．
14．解方程：
(1)； (2)．
15．解方程：
(1)； (2)．
16．解一元二次方程：
(1)； (2)
17．解方程：
(1)； (2)．
18．用适当的方法解下面的方程：
(1)； (2)．
19．解下列方程：
(1) (2)
20．解方程：
(1)； (2)．
21．解方程
(1)； (2)．
22．解方程：
(1)． (2)．
23．用适当的方法解下列方程．
(1)； (2)．
24．解方程
(1)； (2)；
(3)； (4)．
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参考答案：
1．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键．
（1）先移项、然后运用因式分解法求解即可；
（2）直接运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
所以或．
（2）解：，
，
所以，
所以，．
2．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法解一元二次方程．
（1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可；
（2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
即．
或．
解得，．
3．(1)，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法和配方法，并正确计算．
（1）利用直接开方法求解即可；
（2）利用因式分解法得到，解两个一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：
∴
解得：，；
（2）解：
∴
∴或
解得：
4．(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1），
，
∴，
即，
解得：；
（2），
∴，
解得：，．
5．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）先配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后接两个一次方程即可．
【详解】（1）解：
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
方程化为一般式为，
∴，
或，
解得：．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
或
解得：．
7．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：移项，得：，
配方得：，
即，
开平方得：，
解得：，．
（2）解：，
，
或．
，．
8．(1)
(2)，
【分析】（）把方程整理出一般式，再利用因式分解法解答即可；
（）把方程整理出一般式，再利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：方程整理得，，
∴，
∴；
（2）解：方程整理得，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）整理后用配方法求解即可；
（2）整理后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
先把方程变形得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1），
，
，
所以，；
（2），
，
或，
所以，．
11．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
则，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
则或，
∴，；
（4）解：∵，
则，
∴或，
∴，．
12．(1)，
(2)
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用直接开平方法进行求解即可；
（2）利用配方法进行求解即可；
（3）利用因式分解法进行求解即可；
（4）利用公式法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，
∴，
∴或，
∴，．
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
13．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，.
14．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
【详解】（1）解：，
则，
或，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
则，
或，
解得：，．
15．(1)，
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）把常数项移动等号的右边，利用配方法进行求解即可；
（2）移项后，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴，；
（2）
∴．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）运用配方法求解可得；
（2）运用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
或，
，；
（2）解：，
开方得，
或，
，．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用公式法直接求出方程的解即可；
（2）先移项整理，再提取公因式得出，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（2）解：移项，得，
原方程可化为，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法是解题的关键．
（1）把方程化为：，再利用直接开平方法求解；
（2）先求解，再利用求根公式解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选用适当的解法是解题的关键．
（1）把方程化为：，再利用配方法求解即可；
（2）把方程化为：，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）解：
整理得：，
因式分解得：，
∴，，
∴，．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
（2）解：∵
∴
∴或
∴，
22．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
【详解】（1）解：
∴，，
∴，；
（2）解：
∴，，
∴，．
23．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求解即可；；
（2）利用公式法解方程即可解答．
【详解】（1）解：∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：方程中
，，，
∴，
∴，
∴， ．
24．(1)，；
(2)，；
(3)，．
(4)，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是解本题的关键；
（1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算，再利用公式法解方程即可；
（3）把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（4）利用直接开平方法把方程化为或，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴即，
∴或，
解得：，．
（4）解：，
∴或，
解得：，．
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