2024—2025年人教版数学九年级上册期末专题提升训练:圆的切线证明(含解析)

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名称 2024—2025年人教版数学九年级上册期末专题提升训练:圆的切线证明(含解析)
格式 docx
文件大小 5.6MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2024-12-10 16:44:22

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2024—2025年人教版数学九年级上册期末专题提升训练:圆的切线证明
1.如图,是的直径,点为上一点,连接,点在的延长线上,点在上,过点作的垂线分别交的延长线于点,交于点,且.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:.
2.如图,是的直径,四边形内接于,是的中点,交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
3.如图,在Rt中,,点在上,以为直径的经过上的点,且.

(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
4.如图,在中,,D为边上的点,以为直径作,连接并延长交于点E,连接,.
(1)求证:是的切线;
(2)连接,若,,求的长.
5.如图,是的直径,点C在上,平分交于点D,过点D作垂直,交的延长线于点E.
(1)求证:直线为的切线;
(2)连接,若的半径为5,,求线段的长.
6.如图,是的内接三角形,是的直径,平分交于点D,过点D作交的延长线于点E.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径.
7.如图,是的直径,于点M,M为的中点,过点作交的延长线于点.点在上,交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
8.如图,已知直线交于、两点,是的直径,点为上一点,且平分,过作,垂足为.
(1)求证:为的切线;
(2)若,的直径为,求的长度.
9.如图,是的外接圆,为直径,D是上一点,且点C是优弧的中点,交的延长线于点E.
(1)求证:;
(2)求证:是的切线;
(3)若,,求的半径长.
10.如图,在中,,以为直径的交于点D,,垂足为E.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径.
11.如图,是的直径,弦,相交于点E,,点F在的延长线上,,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求直径的长.
12.如图,在中,是边上一点,以为直径的经过点,且.
(1)请判断直线是否是的切线,并说明理由.
(2)若,,求的半径.
13.如图,是的内接三角形,是的直径,点在的延长线上,且.
(1)证明:直线是的切线:
(2)若的半径是4,求的长.
14.如图,是的直径,是的弦,点P是外一点,连接、,.
(1)求证:是的切线;
(2)连接,若,且,的半径为4,求阴影部分的面积.
15.如图,为半的直径,弦的延长线与过点B的切线交于点D,E为的中点,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)过点C作,垂足为点F,,求的半径.
16.如图,中,为直径,点为 的中点,过点作的延长线于点.
(1)求证:为的切线;
(2)若,,求的半径长.
17.如图,在中,,,点O为边中点,以点O为圆心的圆与相切于点D.
(1)求证:是的切线;
(2)若的半径为2,求图中阴影部分的面积.
18.已知,在中,,以为直径的与相交于点,在上取一点,使得.
(1)求证:是的切线.
(2)当,时,求的半径.
19.如图,是的直径,是的一条弦,于点M,连接.
(1)若,求的度数;
(2)的延长线相交于点F,是的切线,交于点E,若,求证:.
20.如图,在中,,以上一点O为圆心,长为半径的圆交于点D,交于点E,交于点F,连接,.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的面积.
21.如图,是的直径,A是延长线上的一点,点E在上,,交的延长线于点C,交于点F,且点E是的的中点.

(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径.
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参考答案:
1.(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)由等边对等角可得,由三角形外角的性质可得,由垂线的性质可得,由直角三角形的两个锐角互余可得,进而可得,由三角形的内角和定理可得,由切线的判定定理可得结论;
(2)由(1)可得是的切线,由切线的性质定理可得,由垂线的性质可得,由等边对等角可得,由垂线的性质可得,由直角三角形的两个锐角互余可得,利用等式的性质可得,由对顶角相等可得,进而可得,由等角对等边即可得证.
【详解】(1)证明:如图,连接,










又点在上,
是的切线;
(2)证明:由(1)可得:是的切线,




又,



又,


【点睛】本题主要考查了等边对等角,三角形外角的性质,垂线的性质,直角三角形的两个锐角互余,三角形的内角和定理,切线的判定定理,切线的性质定理,等式的性质,对顶角相等,等角对等边等知识点,熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.
2.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)连接,由圆周角定理可得,从而得,进而即可得到结论;
(2)连接,交于点,利用勾股定理可得,,再证明四边形是矩形,进而即可求解.
【详解】(1)证明:连接,
是的中点,






为半径
是的切线;
(2)连接,交于点,
是直径,


是的中点,
,,



四边形是矩形,
,,



【点睛】本题主要考查切线的判定定理,垂径定理,圆周角定理以及勾股定理,矩形的性质与判定,添加辅助线构造直角三角形和矩形,是解题的关键.
3.(1)证明见解析;
(2).
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定,勾股定理,三角函数及弧长公式,求出是解题的关键.
()连接,可得,得到,即得,即可求证;
()设的半径为,则,在中由勾股定理得,可得,即可求解.
【详解】(1)证明:连接、,则,
,,



是的半径,
是的切线;
(2)解:设的半径为,则,
∵,
∴,
在中,,

解得,

4.(1)详见解析
(2),详见解析
【分析】(1)连接,则,由,得,而,则,即可证明是的切线;
(2)由勾股定理得,而,,所以,求得,则,如图,过点E作交于点F,利用三角形的面积公式求得的长,然后利用勾股定理即可求得的长.
【详解】(1)连接,则,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵是的半径,且,
∴是的切线.
(2)∵,
∴,
∵,,,
∴,,
∴,
解得,

如图,过点E作交于点F,
∴在中,,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴(负值舍去),
∴,
在中, ,
∴,
∴(负值舍去),
∴的长是.
【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理,三角形的面积等知识点,正确地作出辅助线是解题的关键.
5.(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,由角平分线的定义和等腰三角形的性质可证,进而得证;
(2)由垂径定理可得, ,由中位线的性质可得,由勾股定理可求,则,再由勾股定理求解即可.
【详解】(1)证明:连接交于H,


平分交于点,





是的半径,
直线为的切线;
(2)解:连接交于H,如图,


, ,





是的直径,




【点睛】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,垂径定理,中位线的性质,解题的关键是综合运用以上知识求解,有交点,连半径,证垂直即可证明切线.
6.(1)见详解
(2)
【分析】(1)由是的直径,得,则,连接,由,得,则垂直平分,所以,即可证明是的切线;
(2)由,证明四边形是矩形,则,由勾股定理得,求得,则的半径长为.
【详解】(1)解:∵交的延长线于点是的直径,


连接,
∵平分交于点,
∴,
∴,
∴垂直平分,


∵是的半径,且,
∴是的切线.
(2)解:,
∴四边形是矩形,






解得:,
的半径为.
【点睛】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识,正确地作出辅助线是解题的关键.
7.(1)见解析
(2)
【分析】(1)如图所示,连接,由,即垂径定理可得为等边三角形,可得到,由平行线的判定可得,结合交的延长线于点,得到,根据切线的判定即可求解;
(2)如图所示,连接,,由(1)中,根据含角的直角三角形的性质可得,根据垂径定理,等腰直角三角形的判定和性质可得,,,,根据圆周角定理可得,在中,根据含角的直角三角形的性质可得,由此即可求解.
【详解】(1)证明:如图所示,连接,
∵直径,


,为的中点,
∴是的垂直平分线,则,,

为等边三角形,







交的延长线于点,



为半径,,
为切线,
(2)解:如图所示,连接,,
,,,

直径,

,,
,则,



,,,



,,,

【点睛】本题主要考查切线的判定,垂径定理,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,圆周角定理,含的直角三角形的性质等知识的综合,掌握切线的判定方法,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质是解题的关键.
8.(1)见解析;
(2).
【分析】连接,根据可证:,根据角平分线定义可证:,等量代换可得:,根据内错角相等两直线平行可得:,根据可得,又因为是的半径,所以可证为的切线;
过作,则,可证四边形为矩形,设,在△中,由勾股定理得,从而求得的值,由勾股定理得出的长.
【详解】(1)证明:如下图所示,
连接,


平分,




,且为半径,
为的切线;
(2)解:如下图所示,过作,垂足为,

四边形为矩形,
,.

设,则,
的直径为10,


在△中,由勾股定理得.
即,
化简得,
解得,.
大于0,故舍去,

从而,,
,由垂径定理知,为的中点,

【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理,解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理求解.
9.(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)的半径的长为.
【分析】(1)连接,根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等,可得;
(2)连接,由题意可得即可证可得则可证是的切线;
(3)过点作于点,由角平分线的性质可得可证可得根据勾股定理可求的半径长.
【详解】(1)证明:连接,如图:
∵点C是优弧的中点,
∴,
∵四边形是圆内接四边形,

(2)证明:连接,如图:
∵为直径,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是的半径,
∴是的切线;
(3)解:过点作于点,如图:
又∵
在和中,
设则
在中,由勾股定理得,
解得:
∴的半径的长为.
【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.
10.(1)见解析
(2)2
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识,
(1)连接,则,所以,由,得,则,所以,则,即可证明是的切线;
(2)连接,由是的直径,得,则,因为,,所以,有勾股定理可求得直径,即可求解.
【详解】(1)证明:连接,
∵,




∴,

于点,

∴,
是的半径,,
是的切线;
(2)解:连接,
是的直径,

,,
,,



∴,
解得(负值舍去),

即的半径为2.
11.(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理,切线的判定,勾股定理等知识点,熟练掌握相关知识点,是解题的关键.
(1)根据,得出,根据,得出.结合三角形的内角和定理推出,即可推出是的切线.
(2)易得,根据勾股定理的得出.设,则,.根据勾股定理得出,列出方程,求出x的值,即可解答.
【详解】(1)证明:∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
∵是的直径,
∴是的切线.
(2)解:∵,
∴.
∵是的直径,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
设,则,.
在中,,
∴.
解得.
∴.
∴.
12.(1)直线是的切线;理由见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了切线的判定,圆的有关知识,勾股定理等知识,证明直线是否是的切线是本题的关键.
(1)如图,连接,由圆周角定理可得,由等腰三角形的性质可得,可得,可得结论;
(2)由勾股定理可求即可得到答案.
【详解】(1)解:直线是的切线,理由如下:
如图所示,连接,
∵为的直径,
∴,

∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
又∵是半径,
∴直线是的切线;
(2)解:在中,由勾股定理得,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴的半径长为3.
13.(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理,切线的判定定理,等边对等角,勾股定理,
(1)由是直径得到,证得,即,,即可证得与相切.
(2)先证明,得到,求出.证得,利用勾股定理求出.
【详解】(1)证明:是直径,



,即,.
又是半径,
是的切线.
(2)∵,
∴.
∴.
∵,

∴.
∴.
∴.
∴.

14.(1)详见解析
(2)阴影部分的面积为
【分析】对于(1),先连接,根据直径所对的圆周角是直角得,可得,再根据“等边对等角”得,然后结合已知条件得,即可得出结论;
对于(2),先求出,可得,再根据平行线的性质得,即可说明是正三角形,然后结合可得答案.
【详解】(1)证明:如图,连接,
∵是的直径,是的弦,
∴,
即.
又∵,
∴.
∵,
∴,
即.
∵是半径,
∴是的切线;
(2)解:∵是的切线,点B为切点,
∴.
在中,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴是正三角形,


答:阴影部分的面积为.
【点睛】本题主要考查了切线的判定,直径所对的圆周角是直角,等腰三角形的性质,含直角三角形的性质,求扇形的面积,等边三角形的判定,将弓形的面积转化为求扇形和三角形的面积差是解题的关键.
15.(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质及判定、圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理,解题关键是熟练掌握证明切线的方法,能利用勾股定理结合方程思想求解半径.
(1)连接,通过证明得出即可;
(2)设,由勾股定理得,,列方程求出x的值,则.
【详解】(1)证明:连接,
∵是的切线,
∴,
∵是直径,
∴,
∵中,E是的中点,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵点C在圆上,
∴是的切线;
(2)解:∵中, ,
∴,
设,
由勾股定理得:,,
∴,
∴,
解得,
则,
即的半径为.
16.(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了切线的判定,垂径定理,勾股定理,熟练掌握切线的判定,垂径定理,灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键.
(1)连接,交于点,先证,再根据垂径定理得,进而得,然后根据切线的判定和得出结论;
(2)连接,过点作于,先证四边形为矩形,得,,则,然后在中,由勾股定理求出即可.
【详解】(1)证明:连接,,如图1所示:
为的直径,



∴,
点为的中点,


又为的半径,
为的切线;
(2)解:连接,,过点作于,如图2所示:
设的半径为,
由(1)可知:,
又,,
四边形为矩形,
,,

在中,由勾股定理得:,
即,
解得:,
的半径为5.
17.(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,,过点O作于E,根据,点O为边中点,可得平分,根据角平分线的性质,得到,即证明为的半径,点在圆上,结合,根据切线的判定定理即可得证;
(2)先证明四边形是矩形,又,即证明四边形是正方形,由即可解答.
【详解】(1)证明:如图,连接,,过点O作于E.
,点O为边中点,
平分,
与相切于点D,
为的半径,且,
平分,,,

为的半径,点在圆上,
又,
是的切线.
(2)解:∵,
∴四边形是矩形,
∵,
∴四边形是正方形,
∴,
∴图中阴影部分的面积为.
【点睛】本题考查了切线的判定与性质,角平分线的性质,正方形的判定,不规则图形的面积,熟练掌握相关判定和性质是解题的关键.
18.(1)见解析
(2)1.5
【分析】本题考查切线的判定和性质,掌握切线的判定方法是解决问题的前提,转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法.
(1)连接,根据切线的判定方法,只要证明即可;
(2)证出是的中位线,进而求出,再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可.
【详解】(1)如图,连接、,
在和中,
,,,


是的切线;
(2),






又,

在中,由勾股定理得,

即:的半径为.
19.(1)
(2)见详解
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到,求得,根据垂径定理得到,于是得到结论;
(2)连接,,根据切线的性质得到,根据平行线的性质得到,根据等腰三角形的性质得到,求得,根据等腰三角形的性质得到,等量代换得到结论.
本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,圆周角定理,正确地作出辅助线是解题的关键.
【详解】(1)解:,


是的直径,,


故的度数为;
(2)证明:连接,,
是的切线,








是的直径,






20.(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点,掌握切线的判定定理成为解题的关键.
(1)先证明,根据平行线的性质可得即可证明结论;
(2)根据直角三角形的性质可得,再结合可得,即,最后根据圆的面积公式即可解答.
【详解】(1)证明:∵在中,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴是的切线.
(2)解:∵在中,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴的面积为.
21.(1)见解析
(2)2.5
【分析】本题考查了圆周角定理,等边对等角,平行线的判定和性质,勾股定理,切线的判定.熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
(1)连接,根据同圆中,等弧所对的圆周角相等得出,根据等边对等角得出,推得,根据内错角相等,两直线平行得出,根据两直线平行,同位角相等得出,即可证明;
(2)设半径为r,根据勾股定理可得,据此列出方程,解方程求出r即可.
【详解】(1)证明:如图,连接,

∵点E是的中点,
∴,
∴,
又,
∴,
∴,
∴,
又于点C,
∴于点E,
∵是的半径,
∴为的切线
(2)解:设半径为r,
在中,,
∴(,
解得:
即⊙O的半径为2.5.
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