换元法解一元二次方程问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练（含解析）

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换元法解一元二次方程问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．3或1
2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
4．若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
5．解方程时，若设，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数x满足，则代数式的值是（ ）
A．7 B． C．7或 D．或3
7．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
9．已知方程的解是，，则方程的解 ．
10．已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ．
11．如果，那么 ．
12．已知 ，则代数式 的值为 ．
13．若，都是实数，且满足，则的值为 ．
14．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于方程的两根分别为 ．
15．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个方程的解是 ．
16．方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是 ．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
18．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于、的方程，求的值．
解：设，则方程变形为：
，
即或
(1)【引申】已知，则_____________．
(2)【拓展】已知，求的值．
19．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)请用上述方法解方程：．
(2)已知实数满足，求的值．
20．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，
解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
(1)解方程．
(2)解方程
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B B A C A
1．C
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
∴，
∴，，
解得：，，
∵，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到必有一根为，进而求出的值即可．
【详解】解：，整理，得：，
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴方程必有一根为，即：，
故选B．
3．A
【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2024，
∴必有一根为，
解得：；
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及非负数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
设，根据题意可得，整理并求出的值，结合，确定符合题意的的值，即可获得答案．
【详解】解：设，根据题意可得，
整理可得，
∴，
∴，，
∵，
∴，即．
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答．
【详解】解：，
∴，
设，则，
整理得：．
故选B．
6．A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法解一元二次方程，代数式求值是解题的关键．
设，，则，可求满足要求解为，然后代值求解即可．
【详解】解：设，，
∴，
，
解得，（舍去）或，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，，
令，
∴对于关于的一元二次方程的解为，，
即或，
即，，
∴关于的一元二次方程的解是，．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键．
令，即可得出，，计算求解即可．
【详解】解：令，
即，
∵方程的解是，，
∴，，
∴或，
解得，，
故选：A．
9．，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则方程化为，利用方程的解是，得到，，然后分别计算对应的x的值可确定方程的解．
【详解】解：设，则方程化为，
∵方程的解是，，
∴方程为的解是，，
当时，，解得；
当时，，解得，
∴方程的解是，．
故答案为：，．
10．或
【分析】本题主要考查了一元二次方程，换元法解一元高次方程，方程有实数解的问题等知识点，对于高次方程，可以尝试通过变形将其转化为我们熟悉的解一元二次方程的形式来求解，然后根据非负数的性质和不等式的性质来确定a的取值范围，熟练掌握换元法变形方程是解决此题的关键．
【详解】∵当时，方程左边，
∴不是方程的解，
∴将方程两边同时除以得，
，
整理可得，
令，则，
∴，
∴原方程就变为，即，
∵方程有实数解，
∴，
∴或，
当时， ，
∴，
∴，
当时， ，
∴，
∴，
∵，
∴或，
设方程的两根，，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
同理可得，时，，
综合以上情况，a的取值范围是或，
故答案为：或．
11．5
【分析】该题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是设．
先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得：，从而求得的值．
【详解】解：设，则原方程为，
原方程变形为，
则，
解得：，
因为是非负数，
所以．
故答案为：5．
12．1
【分析】本题主要查了解一元二次方程，将看作整体是解题关键．利用直接开平方法解答，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴．
故答案为：1
13．4
【分析】本题考查了换元法，因式分解法一元二次方程，根据题意，设，则原式得，根据因式分解法求解即可．
【详解】解：设，
∴，整理得，，
解得，，
∵，
∴，
故答案为：4 ．
14．，
【分析】本题考查了一元二次方程的同解问题，理解方程的解，掌握解法是解题的关键．根据题意将关于方程变形为即可得到或，即可求解．
【详解】解：由得
，
一元二次方程的两根分别为，，
或，
，；
故答案为：，．
15．或
【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可．
【详解】解：令，
∴整理为，
∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴的解是，，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
16．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则方程可以化为，根据题意可得方程的解是，，则或，据此求解即可．
【详解】解：设，则方程可以化为，
∵方程的解是，，
∴方程的解是，，
∴或，
解得或，
故答案为：或，
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）先化为一般式，再利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用换元法和因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，；
（2）解：方程化为，
，
或，
∴，；
（3）解：，
，
，
即，
∴或，
∴，；
（4）解：，
令，
则有，
，
∴或，
∴或6，
即或6，
∴，
18．(1)
(2)或
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程；
（1）设进而解一元一次方程，即可求解；
（2）设，得出，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设
∴，
∴
故答案为：10；
（2）设
∴
∴
∴
解得：或
即或
19．(1)，，，；
(2)
【分析】本题考查换元法解一元二次方程：
（1）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可；
（2）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设，
则原方程化为：，
解得：，，
当时，，
，
当时，，
，
原方程的解为：，，，；
（2）解：设，
则原方程化为：，
解得：，
，
，
．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设，则原方程可化为，求出方程的解，再求出即可；
（2）原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可．
【详解】（1）解：设，原方程可化为，
解得：，．
由，得，．
由，得方程，
，此时方程无解．
∴原方程的解为：，．
（2）解：原方程可化为，
设，原方程可化为，
解得，，
由，得，，
由，此时方程无解，
∴原方程的解为，．
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