解一元二次方程--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练（含解析）

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解一元二次方程--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
1．解下列方程：
(1)； (2)．
2．用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
3．用适当的方法解一元二次方程：
(1) (2)
(3) (4)
4．解方程．
(1)． (2)．
5．用适当的方法解方程：
(1) (2)
6．解方程：
(1)； (2)．
7．解方程：
(1)； (2)．
8．解方程：
(1)； (2)．
9．解方程
(1) (2)
10．解方程：
(1)； (2)．
11．解方程：
(1)； (2)．
12．用适当的方法解下列方程．
(1)； (2)．
13．解下列方程
(1)； (2)．
14．解下列方程
(1) (2)
15．解下列方程：
(1)； (2)．
16．解方程
(1)； (2)．
17．解方程
(1) (2) (3)
18．解方程
(1)； (2)； (3)．
19．解方程
(1)； (2)．
20．解方程：
(1)； (2)．
21．用适当的方法解方程：
(1)； (2)．
22．解方程：
(1)； (2)．
23．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
24．解下列方程：
(1)； (2)．
25．解下列方程：
(1)； (2)．
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参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
即，
∴，
∴；
（2）
∴
则
∴或，
解得
2．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）利用公式法解答即可求解；
（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解；
【详解】（1）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
3．(1)
(2)无实数根
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）整理成一般式后，先提取公因式去因式分解，再解方程即可；
（2）配方得到，即可得到此方程无实数根；
（3）利用平方差公式因式分解，再解方程即可；
（4）配方得到，再开平方求解即可．
【详解】（1）解：
整理得：
，
解得：，；
（2）解：
配方得：，
故此方程无实数根；
（3）解：
，
整理得：
解得：，；
（4）解：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：，．
4．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程用直接开平方法求解即可；
（2）方程用配方法求解即可．
【详解】（1）解：
解得：；
（2）解：
．
解得：．
5．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案；
（2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
或
∴，．
6．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，也考查了配方法解一元二次方程．
（1）利用平方差公式进行因式分解解方程即可；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，．
7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
8．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
（1）先移项，然后根据直接开平方法可进行求解；
（2）先移项，然后利用因式分解法求解方程即可．
【详解】（1）解：
即；
（2）解：
解得：．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答；
（2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）利用配方法解一元二次方程，即可解答；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解答．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
11．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌一元二次方程的解法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
或
，
12．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解决问题的关键．
（1）先计算，再用求根公式解一元二次方程即可．
（2）把方程化为：，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
13．(1)，；
(2)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
（1）整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解；
（2）整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解．．
【详解】（1）解：
方程整理得：，
这里，，，
，
，
解得：，；
（2）解：
方程整理得：，
这里，，，
，
，
解得：，．
14．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）变形后根据因式分解法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
15．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程．熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
解得，，；
（2）解：，
，
，
∴或，
解得，，．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：；
，
，
∴，
解得，；
（2）解：，
，
∴，
解得．
17．(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）先移项，然后用因式分解法求解即可；
（3）先移项，然后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
或，
，；
（3）解：，
，
，
或，
，．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）移项，再系数化1，然后开方，即可作答．
（2）先化为一般式，再运用公式法解方程，即可作答．
（3）先整理得，再移项，运用因式分解法来解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
则，
∴
∴；
（3）解：∵
∴
∴
则
解得．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法解一元二次方程，即可作答．
（2）运用公式法解一元二次方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
20．(1)，
(2)．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键；
（1）配方把方程化为：，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）移项把方程化为：，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据配方法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，．
22．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）先提公因式x，然后利用因式分解法解一元二次方程．
（2）把2移到方程右边，利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：原方程可变形为
解得：，．
（2）解：
移项，得．
配方，得，
即
两边开平方，得．
解得：，．
23．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴，，，，
则，
所以，，．
（2）解：
方程右边分解因式，得．
移项，得．
方程左边分解因式，得．
所以，得或．
所以，，．
24．(1)，
(2)，
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法应用，注意熟练利用配方法、公式法、因式分解法解方程是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先整理，得到方程的二次项系数为1，一次项系数为，适合用配方法解方程．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴，；
（2）解：整理得，
配方得，即，
开方得，，
∴，．
25．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握十字相乘法、提公因式法进行因式分解，是解题的关键；
（1）根据解一元二次方程的方法——“十字相乘”分解因式，即可求解；
（2）根据题意，可移项、提公因式，进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：，
移项得，
分解因式得，
解得；
（2）
原方程等价于，
移项得，
提公因式得，
即，
解得．
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