重庆市部分重点校2025届高三第四次质量检测数学试题（含答案）

重庆市部分重点校2025届高三第四次质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“为偶函数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点
A. B. C. D.
5.已知平面向量，满足，，，则
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，，，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形图的边长为，记第个图形的周长为，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为参考数据：
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足，则下列不等关系一定成立的是
A. B. C. D.
10.已知抛物线：，动点位于的下方，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线，分别与轴交于，两点，则
A.
B.
C. 若点在直线上运动，为坐标原点，则
D. 若，则点的轨迹方程为
11.已知数列的前项和为，，则下列式子的值可以确定的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为________．
13.已知圆的圆心在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，若圆经过坐标原点且与圆：相交于，两点，，则圆的方程为________．
14.若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
一年一度的“双”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长．经过调研，得到年到年“双”活动当天某电商平台线上日销售额单位：百亿元与年份第年的组数据时间变量的取值依次为，，，，对数据进行处理，得到如下散点图图及一些统计量的值．其中，．
分别用两种模型：；进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图图残差值真实值预测值．
根据题中信息，通过残差图比较模型，的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；
根据中所选模型，
(ⅰ)求出关于的经验回归方程系数精确到；
(ⅱ)若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系：，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大？
参考公式：，；参考数据：．
17.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为，的周长为，面积为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数，．
若，都有，求实数的取值范围；
当时，若函数的图象在点，处的切线，的倾斜角互补，求证：．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过作直线与抛物线交于，两点在轴的上方，线段的中点到轴的距离的最小值为．
求抛物线的方程；
过作直线与抛物线交于，两点在轴的上方，记直线的斜率为，直线的斜率为，且．
(ⅰ)求证：直线过定点；
(ⅱ)若线段的中点为，求的面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，则，
，，解得，
，，
，
；
由得：，
则时，有
当时，
，
综上可知，数列的前项和
16.解：由残差图图知：模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型的带状区域的宽度更窄，
因此模型的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就会越高，
所以模型拟合效果更好，因此应选择模型进行拟合．
因为，，
所以关于的回归方程为，即．
由题意得，营销成本的预测值，
令，则，
因此由得；由得，
所以函数 在上单调递增，在上单调递减，
因此当时，即约在第年时，取得最大值，所以年“双”活动当日营销成本的预测值最大．
17.解：由题意得，
则，，，
椭圆的方程为：．
当直线与轴重合时，点，，则，，
所以，不满足题意．
当直线与轴不重合时，设，代入椭圆方程，
得，由，得，
设点，，则，，
，
由对称性，不妨假设，则，，
，
解得，
，同理也符合题意．
综上所述，直线的方程为．
18.解：令，
则，令，
有在区间上单调递增，．
若，当时，，
在区间上单调递增，则，即，
在区间上单调递增，则，即成立
若，当时，有，则，
在区间上单调递减，则，即，
在区间上单调递减，则，得，与矛盾．
综上所述，实数的取值范围为
证明：，，
当时，有，，，
在区间上单调递增同理，在区间上单调递减．
由题意可得，，
化简，得，
又在上单调递增，，当且仅当，
可得，且，
，
令，，，
则，令，则，
在区间上单调递增，则，即，
在区间上单调递增，则，即，
，又，则，
得证．
19.解：，设，
代入，得，有，
设，，则，，
中点到轴的距离为，
当且仅当时取等号，
，即，故抛物线的方程为
由知，，
设，，同理，有，
由题易知，，，，
，，即，
化简，得，，
设直线，代入，得，
有，解得，即，恒过定点
(ⅱ)先证明引理：若，，则的面积，
证明如下：
，
由，，，得，
，，
设，，有，，
，，
，，
的面积
，
，，
，当且仅当时取等号，
此时，，，，直线和的斜率均不存在，
故的面积的取值范围为
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