2024-2025学年广东省六校联考高二上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省六校联考高二上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
2.数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线．已知的顶点坐标为，，，则欧拉线的方程为
A. B. C. D.
3.已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，，点是与的交点，则
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，，，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为
A. B. C. D.
6.已知点和圆，圆上两点满足，，是坐标原点动点在圆上运动，则点到直线的最大距离为
A. B. C. D.
7.已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿着折起，使得点折到点的位置，则的最大值是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则
A. 圆上恰有个点到直线的距离为
B. 的最小值是
C. 存在最大值
D. 的最小值是
10.已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是
A. 若，则
B. 当时，直线的倾斜角为或
C. 若，为抛物线上一点，则的最小值为
D. 的最小值为
11.如图，三棱台中，是上一点，平面，，，则
A. 平面
B. 平面平面
C. 三棱台的体积为
D. 若点在侧面上运动含边界，且与平面所成角的正切值为，则长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线，，若，则实数的值为___________．
13.已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为___________．
14.已知实数，满足，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四面体中，平面平面， ，，．
求四面体的体积；
求平面与平面所成角的正切值．
16.本小题分
已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是．
求点的轨迹方程；
若直线与点的轨迹交于两点，且，其中点是坐标原点．试判断点到直线的距离是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
17.本小题分
如图，在斜三棱柱中，是边长为的等边三角形，侧面为菱形，．
求证：；
若为侧棱上包含端点的一动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点点关于轴的对称点为点．
求双曲线的方程；
求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
当时，求面积的最大值．
19.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．
试证明点的旋转坐标公式：；
设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点逆时针旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
试证明方程为的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
解：
解法一：如图：过作，垂足为，由平面平面，
可得平面，即是四面体的面上的高；
设为边的中点，由，可得，
则；
由可得，；
在中，，
；
故四面体的体积；
如图，过作，垂足为，连接，
由Ⅰ知平面，由三垂线定理可得，故为二面角的平面角，
在中，；
在中，，从而，可得；
在中，．
则二面角的平面角的正切值为．
解法二：如图
设是的中点，过作，交与，过作，交与；
由平面平面，知，
因此以为原点，以射线、、为轴、轴、轴，建立空间坐标系，
已知，故A、的坐标分别为，；
设点的坐标为，由，；
有
解可得或舍；
即的坐标为，
又舍的坐标为，
由，，有且；
解可得或舍，
则的坐标为，
从而可得边的高为，
又，；
故四面体的体积；
由知，，
设非零向量是平面的法向量，则由可得，，；
由可得，，；
取，由可得，，，即
显然是平面的法向量，
从而，；
故，；
则二面角的平面角的正切值为．
16.解：设，由题可得，
化简可得，
所以点的轨迹方程为．
点到直线的距离为定值，设，，
当直线的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线：
将代入，解得，
所以点到直线的距离为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与联立消去得
，
，，
因为，
所以，，
即
所以，
整理得，
所以点到直线的距离，
综上可知点到直线的距离为定值．
17.解：
如图所示，
取的中点为为菱形，且，
所以为等边三角形，，
又为等边三角形，则，
所以平面，
又平面平面，
所以．
如图所示，
在中，，由余弦定理可得
，所以，
由得平面，因为平面，所以平面平面，
所以在平面内作，则平面，
以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，
设是平面的一个法向量，，
，则，即
取得，
设，
，
设直线与平面所成角为，
则，
令，则在单调递增，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．

18.解：设双曲线的方程为，
由题意知
解得，
所以的方程为
如图：
直线的方程为，设，则，
由，消得：，
所以，
所以，
直线的方程为，
即
，
所以直线恒过定点
时，
，
令，
所以，
所以，在上单调递减，
所以，
所以的最大值为 ，此时．

19.解：设将轴正半轴绕坐标原点旋转角至，，
由任意角的三角函数的定义，可得和，
所以，
将代入，可得；
设，，由
点的旋转坐标公式，可得和，
由直线的斜率，可得，
即有，
所以，
所以，或，，
所以或，，因为，
所以、、．
证明：设为方程的曲线上任意一点，
将点绕坐标原点旋转至点，
则，可得，
将代入方程，可得，
整理可得，
令，可得，是该方程的解，
所以将方程的曲线按顺时针旋转，所得曲线的方程为，
可得曲线是以，为焦点的双曲线，
又因为曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，所以曲线也是双曲线．
将，按逆时针旋转，得到，，
所以，双曲线的焦点坐标为，．
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