2025年中考数学复习专题 ★★ 几何探究题课件（58张PPT）

(共58张PPT)
2025年中考数学复习专题 ★★
　几何探究题
考向1：证明线段相等
方法1：利用直角三角形斜边上的中线
1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高线，EG⊥
AD于点G，AG＝DG.求证：CD＝AE.
证明：∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，
∵D是BC的中点，∴DE＝DC＝BC，
∵EG⊥AD，AG＝DG，∴EG是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，∴CD＝AE.
若题中已知直角三角形，且所证线段是斜边中线，常通过直角三角形斜边来转化．
方法2：利用等角对等边
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE.求证：AB＝AC.
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°.
∴∠ABC＋∠BAD＝∠C＋∠CBE＝90°.
又∵∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠C.
∴AB＝AC.
若题中所证线段是同一个三角形的两边，常通过等腰三角形的等角对等边求证．
方法3：利用全等证线段相等
3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD上一点，过点B作BF∥AE，交CD的延长线于点F.求证：DE＝DF.
证明：∵D是AB的中点，∴AD＝BD，
∵BF∥AE，∴∠DAE＝∠DBF，∠DEA＝∠DFB，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF(AAS)，
∴DE＝DF.
若题中所证线段在两个三角形中，常通过证三角形全等得对应边相等．
4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别是边AB，BC上的点．若∠EDF＝60°，求证：DE＝DF.
证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBF＝60°＝∠A，AD＝BD，
∵∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF.
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是
AC的中点，连接DF，EF.
(1)求证：DF＝EF；
(1)证明：∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵F是AC的中点，
∴在Rt△AEC中，EF＝AC，
在Rt△ADC中，DF＝AC，
∴EF＝DF.
(2)连接DE，若AC＝2，ED＝1.判断△DEF的形状，并说明理由．
(2)解：△DEF是等边三角形，
理由：连接DE，
由(1)知EF＝DF＝AC＝1，
∵ED＝1，∴ED＝EF＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD，AC于点F，E.求证：CE＝CF.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB＋∠CBE＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DBF＋∠BFD＝90°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠BFD，
又∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠CEB＝∠CFE，∴CE＝CF.
7．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为射线CB上一动点，连接AE，作 AF⊥AE 且AF＝AE.
(1)如图①，过F点作FG⊥AC交于点G，求证：AG＝EC；
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，∴∠CAE＋∠FAG＝90°，
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
∴△AGF≌△ECA(AAS)，∴AG＝EC.
(2)如图②，连接BF交AC于点G，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E为BC的中点．
(2)过点F作FD⊥AC于点D，
∵AC＝4，AG＝3，∴CG＝4－3＝1，
由(1)可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FD＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
∴△FDG≌△BCG(AAS)，∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，∴BE＝BC－CE＝2，
∴CE＝EB，即E为BC的中点．
考向2：证明两角相等
方法1：利用角平分线的判定定理
1．如图，已知△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F分别作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于
点N，FG⊥AC于点G，
∵BF平分∠CBD，
FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，同理，FG＝FN，
∴FM＝FG，
又∵FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上．
若题中已知角的平分线，可作角两边的垂线(或已知角两边的垂线)，通过角平分线的性质与判定来证得．
方法2：利用等边对等角
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.
求证：∠ABD＝∠ACD.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB.
∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB.
即∠ABD＝∠ACD.
若题中所证角度是同一个三角形的两个内角，常通过等腰三角形的等边对等角求证．
方法3：利用全等或相似证对应角相等
3．如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC＝BF，AB＝DE.求证：∠EAB＝∠EDB.
证明：∵EC＝BF，∴EC＋EB＝BF＋EB，
即CB＝FE，∵AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，
在Rt△ACB与Rt△DFE中，
∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)，∴∠ABE＝∠DEF，
在△AEB与△DBE中，
∴△AEB≌△DBE(SAS)，∴∠EAB＝∠EDB.
4．如图，锐角三角形ABC的高AD，BE交于点H，连接DE.
求证：∠CDE＝∠CAB.
证明：∵锐角三角形ABC的高AD，BE交于点H，
∴∠C＋∠CAD＝∠C＋∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBE，∴＝，
∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，
∴∠CDE＝∠CAB.
若题中所证角度在两个三角形中，常通过三角形全等或相似证对应角相等．
5．如图，AD是△ACE的角平分线，BA＝BC，BD∥AE.求证：∠C＝∠E.
证明：∵AD是△ACE的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵BD∥AE，
∴∠ADB＝∠DAE，
∠BDC＝∠E，
∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，
∵BA＝BC，∴BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC，∴∠C＝∠E.
6．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.
(1)求证：∠ADE＝∠AED；
(2)若AC＝CD，求证：∠DAE＝∠C.
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
(2)∵AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD，∴∠C＝180°－2∠CDA，
由(1)知∠ADE＝∠AED，
∴∠DAE＝180°－2∠ADE，
∴∠DAE＝∠C.
7．如图①，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝BC，EF＝DF，点D在边AB上，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.
(1)求证：AD·BD＝AM·BN；
证明：(1)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝∠MDN＝45°.
∵∠BDM＝∠BDN＋∠MDN＝∠A＋∠AMD，
∴∠BDN＝∠AMD，
∴△BDN∽△AMD，∴＝，
即AD·BD＝AM·BN.
(2)如图②，若E是BC延长线上一点，DE与AC交于点N，D是AB的中点，连接CD，EM，其他条件不变．求证：ED平分∠BEM.
(2)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝∠MDN＝45°，
∵∠ADE＝∠ADM＋∠MDN＝∠B＋∠BED，
∴∠ADM＝∠BED，
∴△ADM∽△BED，∴＝，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，∴＝，
∵∠MDE＝∠DBE＝45°，
∴△MDE∽△DBE，∴∠DEM＝∠BED，
即ED平分∠BEM.
考向3：截长补短证明a＝b＋c
1．如图，已知△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，满足∠ADB＝
∠ADC＝60°，求证：BD＋CD＝AD.
证明：在AD上截取DE＝CD，
∵∠ADC＝60°，∴△DCE为等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE－∠BCE＝∠ACB－∠BCE，
即∠DCB＝∠ACE，
∴△DCB≌△ECA(SAS)，∴BD＝AE，
∵AE＋DE＝AD，∴BD＋CD＝AD.
截长法：在最长边上截取一段等于另外两条短边的其中一边长. (最好与原线段共顶点)
补短法：有两种方法：①沿其中一条短边延长使得这条短边延长后等于最长边；②沿其中一条短边延长使得延长出来的部分等于另一条短边长．(可从每条短边的不同端点延长)
2．如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N，连接EN.
(1)求证：∠1＝∠2；
证明：∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝CB，∠1＋∠NCA＝ 90°，
∵CN⊥AE，
∴∠2＋∠NCA＝90°，
∴∠1＝∠2.
(2)求证：AE＝CN＋EN.
证明：在AE上截取AM＝CN，连接CM，
∵AC＝CB，∠1＝∠2，AM＝CN，
∴△ACM≌△CBN(SAS)，
∴CM＝BN，∠ACM＝∠B＝45°，
∴∠MCE＝45°，∴∠B＝∠MCE.
又∵E为BC的中点，∴BE＝CE，
∴△MCE≌△NBE(SAS)，∴EM＝EN.
∵AE＝AM＋EM，∴AE＝CN＋EN.
3．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于点E，DF⊥BC于点F，交AE于点G，且DF＝AD.
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(1)解：在 ABCD中，
AB＝DC＝2，∠C＝60°，
DF⊥BC，∴∠BAD＝∠C＝60°，
∠CDF＝30°，
∴CF＝1，DF＝CF＝.
∵DF＝AD，∴AD＝DF＝.
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝30.
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAE＝∠DAE＝30°，
∴AD＝DE＝，∴EC＝DC－DE＝2－.
(2)求证：AB＝DG＋FC.
(2)证明：延长FD至点M，使DM＝FC，连接AM.
在△ADM和△DFC中，
∴△ADM≌△DFC(SAS)，
∴∠DAM＝∠FDC，AM＝DC.
由(1)知∠DAE＝∠AED，
∴∠DAE＋∠DAM＝∠AED＋∠FDC，
即∠MAG＝∠MGA，∴AM＝MG，
∴DC＝AM＝MG＝DG＋DM＝DG＋FC.
∵AB＝CD，∴AB＝DG＋FC.
考向4：证明a2＝bc
类型1：直接求证法(2021T23)
利用直接求证法证明a2＝b·c时，先化为＝，然后分别找到a，b和a，c所在的两个三角形，利用相似三角形对应边成比例进行证明．
(2024·无为模拟)如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，过点E作EF⊥
AE，EF交AB的延长线于点F.求证：AE2＝DE·AF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D＝90°，
∴∠DEA＝∠EAF，
又∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠D，∴△ADE∽△FEA，
∴＝，∴AE2＝DE·AF.
类型2：利用等线段转化法(2017T23)
利用等线段转化法证明a2＝b·c时，同样先化为＝，如果三条线段在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或三条线段虽然能组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与a，b，c中某条线段相等的另一条线段d来代替这条线段，然后再根据直接求证法来证明相似三角形．
如图，在矩形ABCD中，E 为对角线的交点，BF⊥AE，垂足为F，且BF的延长线交AD于点M.求证：AB2＝AM·AD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAM＝∠ADC＝90°，
∴∠FAM＋∠ACD＝90°，∵BF⊥AE，
∴∠AFM＝90°，∴∠FAM＋∠AMB＝90°，
∴∠ACD＝∠AMB，
∴△ABM∽△DAC，∴＝，
∵AB＝CD，∴AB2＝AM·AD.
类型3：利用等比转化法(2019T23)
利用等比转化法证明a2＝b·c时，先化为＝，当三条线段不在两个三角形中时，考虑利用第三组线段的比为比例搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比进行代换，然后再用直接求证法来证明相似三角形．
如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，过点E作BC的垂线，交CA的延长线于点M，交BD于点G，交BC于点H.
求证：HE2＝HG·MH.
证明：∵CE⊥AB，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵HE⊥BC，∴∠EBC＋∠BEH＝90°，
∴∠BEH＝∠BCE，∴△BHE～△EHC，
∴＝，即HE2＝BH·CH，
∵BD⊥AC，∴∠M＋∠MGD＝90°，
∵∠GBH＋∠BGH＝90°，且∠BGH＝∠MGD，
∴∠M＝∠GBH，又∵∠BHG＝∠MHC＝90°∴△BHG～△MHC
∴＝，即BH·CH＝HG·MH，∴HE2＝HG·MH.
1．(2024·淮北模拟)如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE.
(1)求证：△AFC～△CFD；
(1)证明：∵∠ACB ＝ 90°，∴∠ACF＋∠DCF ＝90° ，
∵CE⊥AD，∴∠CDF＋∠DCF＝90°
∴∠ACF＝∠CDF ，
∵∠AFC＝∠CFD＝90°，∴△AFC～△CFD.
(2)如图②，若AB＝，DE⊥BC，求的值．
(2)解：在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°， AC＝ BC, AB＝，
则AC＝BC＝1，∠B＝45°，
设CD＝x，则BD＝1－x，
在Rt△BDE中，∠B＝45° ，则DE＝BD＝1－x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90° ，∴△ACD～△CDE，
∴＝，即＝，解得x1＝，x2＝(舍去)，
∵DE⊥BC，∠ACB＝90° ，
∴DE∥AC，
∴＝＝.
2．如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，过点 F作FG∥CD交AE于点G，连接DG，GE＝1，AG＝2.
(1)求证：△FGE为等腰三角形；
(1)证明：∵GF∥DE，
∴∠FGE＝∠DEG.由折叠可得GD＝GF，DE＝FE，∠DGE＝∠FGE，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴GD＝DE，∴GF＝FE，
∴△FGE为等腰三角形．
(2)求FG的长．
(2)解：连接DF，交AE于点O.
由(1)可得GD＝ED＝GF＝EF，
∴四边形FEDG为菱形，
∴GE⊥DF，OG＝OE＝GE.
∵∠DOE＝∠ADE＝90°，∠OED＝∠DEA，
∴△DOE∽△ADE，
∴＝，即DE2＝OE·AE，
∵OE＝GE，DE＝FG，∴FG2＝GE·AE，
∵AE＝AG＋GE＝2＋1＝3，
∴FG＝＝.
考向5：求线段的比值
类型1：利用相似列比例式求线段比
当所求线段是相似三角形的对应边时，需先证得相似，再根据相似三角形的对应边成比例，求得对应线段的比．
1．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，则＝ .
【思路点拨】连接AC，AF构造相似三角形．
2．(2024·谢家集区模拟)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G，若AF＝2，FB＝1，求的值．
解：∵ABCD是正方形，EF⊥AB，
∴∠EFA＝∠CBA＝90°，DC∥AB，
DC＝AB，∴＝＝，
∠DCA＝∠CAB，∠CDM＝∠G
∴△DCE∽△GAE，∴＝＝，即AG＝2DC＝2AB，
∴BG＝CD，
同理可得△DCM∽△GBM，∴＝＝1.
类型2：利用设参数法求线段比
若题干中有线段比，可用含参数的式子表示对应线段，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理或等腰三角形的性质进行求解.
3.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G，＝.求的值．
解：过点G作GH⊥CD于点H，连接GE，则
∠GHF＝90°，即四边形AGHD为矩形，
四边形BCHG为矩形，
∴GH＝BC＝AB，∠AGH＝∠ABE＝∠GHF＝90°，
设CH＝BG＝3x，则BE＝4x，
∴AG＝GE＝DH＝5x，∴AB＝CD＝8x，
∵∠BAE＋∠AGF＝90°，∠AGF＋∠FGH＝90°，
∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE≌△GHF(ASA)，∴BE＝HF＝4x，
∴DF＝CD－CH－FH＝x，CF＝CH＋FH＝7x，
∴＝.
类型3：利用解直角三角形求线段比
见到含30°，45°，60°的三角形，可以通过构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形求解.
4.如图，在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝45°，求 的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵sin A＝，sin B＝，
∴AC＝，CB＝，
∴＝＝.
5．如图，在 ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交边CD于点F，交对角线AC于点G.
(1)求证：△BGC∽△EGA；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，
∴∠GAE＝∠GCB，
∠GEA＝∠GBC，
∴△BGC∽△EGA.
(2)若＝，求 的值．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，设BC＝AD＝2x，
∵BC∥AD，∴△BGC∽△EGA，
∴＝＝，
∴AE＝3x，∴DE＝x，
同(1)证△DEF∽△CBF，
∴＝＝.
6．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H.
(1)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
解：(1)连接OC，
∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cos∠DAB＝cos∠COE＝＝＝.
(2)在(1)的条件下，求 的值．
(2)由(1)知OE＝2.5x，OC＝1.5x，∴EC＝2x，
∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG＋∠FAG＝90°，
∵∠COE＋∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴＝＝＝.
7．在 ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且∠ABC＝∠CFE＝60°，连接EC.
(1)如图①，若AB＝AD，在CD上截取DG＝DF，连接FG，求证：AE＝DF；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝120°，
∵DG＝DF，∴AF＝CG，△DFG为等边三角形，
∴FG＝DF，∠DGF＝60°，∴∠CGF＝120°，
∴∠A＝∠CGF，∵∠EFC＝∠D＝60°，
∴∠AFE＋∠DFC＝∠DFC＋∠DCF＝180°－60°＝120°，
∴∠AFE＝∠DCF，∴△AEF≌△GFC(ASA)，
∴AE＝GF，∴AE＝DF.
(2)如图②，若BC＝3BE，∠AFE＝∠ECB，求 的值．
(2)解：在CD上截取DG＝DF，连接FG，
由(1)得∠AFE＝∠DCF，
∵∠AFE＝∠ECB，∴∠DCF＝∠ECB.
∵∠B＝∠D＝60°，∴△CDF∽△CBE，
∴DF∶CD＝BE∶BC＝1∶3，
设DF＝DG＝x，则CG＝2x，
由(1)知△DFG是等边三角形，∴GF＝x，∠FGC＝∠A＝120°，
∴△GFC∽△AEF，∴GF∶CG＝AE∶AF＝1∶2，设AE＝y，则AF＝2y，
BE＝AB－AE＝CD－AE＝3x－y，AD＝x＋2y，∴BC＝3BE＝9x－3y，
∵BC＝AD，∴9x－3y＝x＋2y，
∴x＝y，∴＝＝.