2024-2025学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025 学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（上）月考数学
试卷（11 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 < < 2}， = { |1 < < }，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. (2, +∞) B. (1,2] C. ( ∞, 2] D. [2, +∞)
2.命题 ： > 2， 2 1 > 0，则￢ 是( )
A. > 2， 2 1 ≤ 0 B. ≤ 2， 2 1 > 0
C. > 2， 2 1 ≤ 0 D. ≤ 2， 2 1 ≤ 0
√ 2 √ 3 √ 5
3.若 = | 1|， = | 1|， = | 1|，则( )
2 2 2
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条
边长分别为 、 、 ，则面积 可由公式 = √ ( )( )( )求得，其中 为三角形周长的一半，这
个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足 = 4， + = 6，则此三角形面积的最大
值为( )
A. √ 5 B. 2√ 5 C. √ 10 D. 2√ 10
2 2 8 > 0
5.已知关于 的不等式组{ 2 仅有一个整数解，则 的取值范围为( ) 2 + (2 + 7) + 7 < 0
A. ( 5,3) ∪ (4,5) B. [ 5,3) ∪ (4,5] C. ( 5,3] ∪ [4,5) D. [ 5,3] ∪ [4,5]
1( < 0)
+ +( ) ( )
6.设函数 ( ) = {0( = 0) ，则当 ≠ 时， 的值应为( )
2
1( > 0)
A. | | B. | | C. ， 中的较小数 D. ， 中的较大数
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) ( ) = 2 ( )，则 (0) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
8.如果函数 ( )的定义域为[ , ]，且值域为[ ( ), ( )]，则称 ( )为“ 函数.已知函数 ( ) =
5 , 0 ≤ ≤ 2
{ 2 是“ 函数，则 的取值范围是( ) 4 + , 2 < ≤ 4
A. [4,10] B. [4,14] C. [10,14] D. [14, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 4 2，则下列说法中正确的是( )
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A. ( )的单调递增区间为( ∞, 2]和[0,2]
B. ( ) < (5)
C. ( )的最大值为4
D. 当 < 0时， ( ) = 4 2
10.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1 3
6 4
A. √ 2 = 3( < 0) B. 4 = √
1
( )3( > 0)

1 3
3 3
C. 3 = √ ( ≠ 0) D. [ √( )2]2 = ( > 0)
11.下列四个命题中，不正确的是( )
A. 若 ∈ {1,3, 2}，则 可取值为0，1，3
B. 设 > 0， ∈ ，则“ > ”是“ > | |”的充分不必要条件
+
C. 若 > > 0，则 <
+
D. 命题“ ∈ [1,2]，3 2 ≥ 0”的一个必要不充分条件是 ≤ 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
√ 2
12.已知幂函数 ( )过点(2, )，若 ( + 1) < (3 2 )，则实数 的取值范围是______．
2
13. = √ 10 4√ 6, = √ 10 + 4√ 6，求 + = ______．
(3 1) + 4 , < 1
14.已知函数 ( ) = { ，满足对任意的实数 1， 2且 1 ≠ 2，都有[ ( 1) ( 2)]( , ≥ 1 1

2) < 0，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 4 + 3 ≤ 0}， = { || 3| < 1}， = { || 3| < 1}， = { |2 ≤ ≤
+ 2, ∈ }．
(1)求 ∪ ( )；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
+
设集合 是正实数集上的一个非空子集，定义集合 = { | = √ , ∈ , ∈ }.在均值不等式 ≥
2
√ ( > 0, > 0)中，由它的几何意义知，若 + 为定值，当 ， 越接近时，√ 的值就越大；当 = 时，
√ 取得最大值．
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(1)若集合 = {1,2,3, ,2023,2024}， ∈ ， ∈ 且 + = 2025，求集合 中元素的最大值与最小值；
2
(2)对 > 0， > 0，证明：1 1 ≤ √ ；
+

(3)根据上述材料，试估计√ 6的值(精确到0.01)．
17.(本小题15分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)满足 ( + 1) ( ) = 4 ，且 (0) = 1．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)解关于 的不等式 ( ) ≤ (2 + 6) 4 + 1．
18.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = + ．

(1)当 ∈ [2,6]，求函数 ( )的值域．
1 1
(2)若任意 ∈ [ , ]，使得 2 + 1 ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
4 2
19.(本小题17分)
已知函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，对任意 ， ∈ 且| | ≠ | |，都满足 ( + ) + ( ) =
( 2 2).
(1)求 (1)， ( 1)；
(2)判断 ( )的奇偶性；
(3)若当 > 1时， ( ) > 0，且 (2) = 1，求不等式 ( + 2) ( 1) < 2的解集．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2 3
12.【答案】( , )
3 2
13.【答案】2√ 6
1 1
14.【答案】[ , )
6 3
15.【答案】解：(1) = { | 2 4 + 3 ≤ 0} = { |1 ≤ ≤ 3}， = { || 3| < 1} = { |2 < < 4}，
则 = { | ≤ 2或 ≥ 4}，
∴ ∪ ( ) = { | ≤ 3或 ≥ 4}；
(2) ∵ ∪ = ，∴ ，
又 = { |2 < < 4}， = { |2 ≤ ≤ + 2}，
①当 = 时，2 > + 2，∴ > 2，
2 ≤ + 2
②当 ≠ 时，则{2 > 2 ，解得1 < < 2，
+ 2 < 4
综上所述， 的取值范围为(1,2) ∪ (2, +∞)．
16.【答案】解：(1)因为集合 = {1,2,3, ,2023,2024}， ∈ ， ∈ 且 + = 2025，
= { | = √ , ∈ , ∈ }，
+ 2025
所以√ < = ，
2 2
= 1 = 2024
所以当{ 或{ 时，√ 取得最小值√ 1 × 2024 = 2√ 506，
= 2024 = 1
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{ = 1013 { = 1012当 或 时，√ 取得最大值√ 1012 × 1013 = √ 1025156，
= 1012 = 1013
所以集合 中元素的最大值为√ 1025156，最小值为2√ 506；
1 1
+ 1 1 1
(2)证明：因为 > 0， > 0，所以 ≥ √ = ，
2 √
2 1 1
所以1 1 ≤ √ ，当且仅当 = ，即 = 时取等号；
+

2 +
(3)由题意及(2)可得1 1 ≤ √ ≤ ( > 0, > 0)当且仅当 = 时取等号，
+ 2

2 2+3 120 2 2.4+2.5
所以2.4 = 1 1 < √ 6 < = 2.5， =2 49 1 1
< √ 6 < = 2.45，
+ + 2
2 3 2.4 2 .5
120
又 ≈ 2.449，
49
所以2.449 < √ 6 < 2.45，所以√ 6 ≈ 2.45．
17.【答案】解：(1)因为 (0) = 1，可得 = 1， ( + 1) ( ) = 4 ，
所以[ ( + 1)2 + ( + 1) + 1] ( 2 + + 1) = 4 ，
所以2 + + = 4 ，
{2 = 4 = 2所以 ，解得{ ，
+ = 0 = 2
即 ( ) = 2 2 2 + 1；
(2)由 ( ) ≤ (2 + 6) 4 + 1，
可得不等式2 2 + (2 + 4) + 4 ≤ 0，
即 2 + ( + 2) + 2 ≤ 0，所以( + 2)( + ) ≤ 0，
因为方程( + 2)( + ) = 0的根为 2， ，
当 = 2，即 = 2时，不等式的解集为{ | = 2}；
当 < 2，即 > 2时，不等式的解集为{ | ≤ ≤ 2}；
当 > 2，即 < 2时，不等式的解集为{ | 2 ≤ ≤ }；
综上所述，当 = 2时，不等式的解集为{ | = 2}；
当 > 2时，不等式的解集为{ | ≤ ≤ 2}；
当 < 2时，不等式的解集为{ | 2 ≤ ≤ }．
1
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = + 在[1, +∞)上单调递增，证明如下：

任取 1， 2 ∈ [1,+∞)，且 1 < 2，
则 1 2 < 0， 2 1 1 > 0，
1 1 1 1 ( )( 1)
则 ( 1 2 1 21) ( 2) = ( 1 + ) ( 2 + ) = ( 1 2) + ( ) = ， 1 2 1 2 1 2
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所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )是[1,+∞)上的增函数，因此函数在 ∈ [2,6]单调递增，
5 37 5 37
且 (2) = , (6) = ，所以 ( )的值域为[ , ]．
2 6 2 6
1 1
(2)由任意 ∈ [ , ]，使得 2 + 1 ≥ 0恒成立，
4 2
1 1 2+1 1
可得对任意 ∈ [ , ]， ≤ = + 恒成立，
4 2
1 1 1
由(1)的证明过程可得函数 ( ) = + 在 ∈ [ , ]单调递减，
4 2
1 5 5
所以最小值为 ( ) = ， 的取值范围是{ | ≤ }
2 2 2
19.【答案】解：(1)因为函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0,+∞)，
对任意 ， ∈ 且| | ≠ | |，都满足 ( + ) + ( ) = ( 2 2)，
令 = 1， = 0，得 (1) + (1) = (1)，
可得 (1) = 0，
令 = 1， = 0，得 ( 1) + ( 1) = (1) = 0，
∴ ( 1) = 0．
+
(2)对任意非零实数 ， ，令 = , = ，
2 2
可得 ( ) + ( ) = ( )．
在上式中，令 = 1，得 ( ) + ( 1) = ( )，
即有 ( ) = ( )，满足偶函数定义，
∴ ( )是偶函数．

(3) ∵对任意 1， 2 ∈ (0, +∞)且 1 < 2，有
2 > 1，∴ ( 2) > 0，
1 1
2 2
由(2)知 ( 2) = ( × 1) = ( ) + ( 1) > ( 1)， 1 1
∴ ( )在区间(0,+∞)上单调递增．
∵ (2) = 1，∴ 2 = 1 + 1 = (2) + (2) = (4)，
∵ ( + 2) ( 1) < 2，
∴ ( + 2) < ( 1) + 2 = ( 1) + (4) = (4 4)，
∵ ( )是定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)的偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，
∴原不等式转化为0 < | + 2| < |4 4|，
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2
得 < 2或 2 < < 或 > 2，
5
2
∴原不等式的解集为( ∞, 2) ∪ ( 2, ) ∪ (2, +∞)．
5
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