2024-2025学年江苏省苏州市某中学高一（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025 学年江苏省苏州市某中学高一（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
3 7
1.已知sin( ) = ，则cos( + )等于( )
3 5 6
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
3
2.设函数 ( ) = 2 ( + ) 1( > 0)，若对于任意实数 ， ( )在区间[ , ]上至少有2个零点，至多
4 4
有3个零点，则 的取值范围是( )
8 16 16 20 8 20
A. [ , ) B. [4, ) C. [4, ) D. [ , )
3 3 3 3 3 3
2 + , ≤ 1 或 ≥ 1
3.设 ( ) = { ， ( ) = 2 + + ，其中 ， ， 为实数，则下列命题中，正确的
2 , 1 < < 1
是( )
1
A. 若函数 = [ ( )]的值域为[0, +∞)，则 ≤
3
B. 若函数 = [ ( )]的值域为[0, +∞)，则 ≥ 1
1
C. 存在实数 ， ， 且 ≤ ，使函数 = [ ( )]的值域为( ∞, 0]
3
D. 存在实数 ， ， 且 ≥ 1，使函数 = [ ( )]的值域为[0, +∞)
2 3, ≥ 0
4.已知函数 ( ) = { ，若函数 = ( ( )) 有3个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
+ 1, < 0
A. (1,4) B. (1,4] C. [1,4) D. [1,4]
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5.若正实数 ， 满足 = 1，则下列选项正确的是( )
A. + 有最小值2 B. 2 + 2有最小值4
√ 2
C. √ + √ 有最小值2 D.
2+ 2
2 有最大值
2+ 12
3
6.已知关于 的不等式 ≤ 2 3 + 4 ≤ ，下列结论正确的是( )
4
3
A. 当 < < 1，不等式 ≤ 2 3 + 4 ≤ 的解集为
4
3
B. 当 = 2时，不等式 ≤ 2 3 + 4 ≤ 的解集可以为{ | ≤ ≤ }的形式
4
3 4
C. 不等式 ≤ 2 3 + 4 ≤ 的解集恰好为{ | ≤ ≤ }，那么 =
4 3
3
D. 不等式 ≤ 2 3 + 4 ≤ 的解集恰好为{ | ≤ ≤ }，那么 = 4
4
7.已知实数 ， ， 满足0 < < 1 < < ，则( )
第 1 页，共 7 页
3
A. < B. log > log C. √ < √ D. <
8.关于 的方程( 2 1)2 | 2 1| + = 0，给出下列四个命题，其中真命题的是( )
A. 存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根
B. 存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
C. 存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根
D. 存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
9.不等式 √ 3 ≥ 0的解集是______．
2 2
( +1) ( +1)
10.已知 > 1， > 1，则 + 最小值为 ．
1 1

11.已知函数 ( ) = 2 ( + )， > 0的图像在区间[ 1,1]上恰有三个最低点，则 的取值范围为______．
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题12分)
定义：设函数 ( )的定义域为 ，若存在实数 ， ，对任意的实数 ∈ ，有 ( ) ≤ ，则称函数 ( )为
有上界函数， 是 ( )的一个上界；若 ( ) ≥ ，则称函数 ( )为有下界函数， 是 ( )的一个下界；若 ≤
( ) ≤ ，则称函数 ( )为有界函数；若函数 ( )有上界或有下界，则称函数 ( )具有有界性．
(1)判断下列函数是否具有有界性：① = 2 + 2 ；② = 2 ；③ = ；
4
(2)已知函数 ( ) = 2 定义域为[2, +∞)，若 为函数 ( )的上界，求 的取值范围． 1
13.(本小题12分)
( ), ( ) ≤ ( )
已知函数 = 1( )， = 2( )，定义函数 ( ) = {
1 1 2 ．
2( ), 1( ) > 2( )
1
(1)设函数 1( ) = √ ， 2( ) = ( )
1( ≥ 0)，求函数 = ( )的值域；
2
1 1 1 1
(2)设函数 1( ) = lg(| | + 1)(0 < ≤ , 为实常数)， 2( ) = lg (0 < ≤ )，当0 < ≤ 时，恒有2 2 2
( ) = 1( )，求实常数 的取值范围．
14.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + 9(9
+ 1)，( ∈ )是偶函数．
(Ⅰ)求 的值；
1
(Ⅱ)若 ( ) ( + ) > 0对于任意 恒成立，求 的取值范围；
2
第 2 页，共 7 页
1
(Ⅲ)若函数 ( ) = 9 ( )+ 2 + 2 3 + 1, ∈ [0, 98]，是否存在实数 使得 ( )的最小值为0？若存在，
求出 的值，若不存在，请说明理由．
15.(本小题12分)
已知函数 ( )和 ( )的定义域分别为 1和 2，若足对任意 0 ∈ 1，恰好存在 个不同的实数 1， 2 …， ∈ 2，
使得 ( ) = ( 0)(其中 = 1，2，…， ， ∈ )，则称 ( )为 ( )的“ 重覆盖函数.”
(1)判断 ( ) = | 1|( ∈ [0,4])是否为 ( ) = + 2( ∈ [0,1])的“ 重覆盖函数”，如果是，求出 的值；
如果不是，说明理由．
2 + (2 3) + 1, ≤ 1 2 1
(2)若 ( ) = { 为 ( ) = log1 的“2重覆盖函数”，求实数 的取值范围．
2 , > 1 2 +12
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = |2 | + 2 ， ∈ ．
(1)若 = 0，解不等式 ( ) > 3；
(2)若函数 ( )在 上是增函数，求实数 的取值范围．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】

9.【答案】{ | + ≤ < + , ∈ }
3 2
10.【答案】16
11 13
11.【答案】[ , ]， ∈
4 4
12.【答案】解：(1)对于① = 2 + 2 ，当 = 1时， = 2 + 2 取得最大值1，
所以 = 2 + 2 ≤ 1，故 = 2 + 2 有上界1；
对于② = 2 > 0，所以 = 2 有下界0；
对于③ = ∈ ，所以 = 没有上界也没有下界，故 = 不具有有界性，
故①②具有有界性，③不具有有界性．
4 4
(2)函数 ( ) = 2 是由 = log2 和 = 复合而成， 1 1
4 4( 1)+4 4
= = = 4 + 在[2, +∞)上单调递减，
1 1 1
4
而 = log2 在(0, +∞)上单调递增，所以 ( ) = 2 在[2, +∞)上单调递减， 1
4×2
故当 = 2时， ( )有最大值 (2) = 2 = 3， 2 1
所以 ( ) ≤ 3，若 为函数 ( )的上界，则 ∈ [3, +∞)．
1
13.【答案】解：(1)因为 1( ) = √ 在[0, +∞)单调递增， 2( ) = ( )
1在[0, +∞)单调递减，
2
√ , 0 ≤ ≤ 1
且 1(1) = 2(1) = 1，所以 ( ) = { 1 1 ， ( ) , > 1
2
因为0 ≤ ≤ 1时0 ≤ √ ≤ 1，
1
> 1时0 < ( ) 1 < 1，所以函数的值域为[0,1]
2
第 4 页，共 7 页
1 1
(2)由当0 < ≤ 时，恒有 ( ) = 1( )可得：当0 < ≤ 时， 2 2
1
1( ) = lg(| | + 1) ≤ 2( ) = lg ，
1 1
即当0 < ≤ 时lg(| | + 1) ≤ lg 恒成立．
2
1 1
即当0 < ≤ 时| | + 1 ≤ 恒成立．
2
1 1
即当0 < ≤ 时| | ≤ 1恒成立．
2
1 1 1
即当0 < ≤ 时1 ≤ ≤ 1恒成立．
2
1 1 1
即当0 < ≤ 时 + 1 ≤ ≤ + 1恒成立．
2
1 1 1 1 1
因为 = + 1在(0, ]单调递增，所以 = + 1在 = 时取得最大值 ，
2 2 2
1 1 1 1 3
因为 = + 1在(0, ]单调递减，所以 = + 1在 = 时取得最小值 ，
2 2 2
1 3
所以 ∈ [ , ]．
2 2
14.【答案】解：(Ⅰ)函数 ( ) = + 9(9 + 1)，( ∈ )是偶函数，
则满足 ( ) = ( )，
所以 + 9(9
+ 1) = + 9(9 + 1)，
9 +1 (1+9 )
即2 = 9 = 9 = 9
= ，
9 +1 9 (9 +1) 9
1
所以2 = 1，解得 = ；
2
1 1
(Ⅱ)由(1)可知， ( ) = + (9 + 1)， ( ) ( + ) > 0对于任意 恒成立，
2 9 2
代入可得 9(9
+ 1) > 0，所以 < 9(9
+ 1) 对于任意 恒成立．
9 +1 1
令 ( ) = 9(9
+ 1) = 9(9
+ 1) 9 9 = 9 = 9(1 + )， 9 9
1 1
因为1 + > 1，可得 9(1 + ) > 0， 9 9
第 5 页，共 7 页
所以 ≤ 0；
1 1
(Ⅲ) ( ) = 9 ( )+ 2 + 2 3 + 1， ∈ [0, log98]，且 ( ) = + (9

9 + 1)， 2
代入化简可得 ( ) = 9 + 2 3 + 2，
令 = 3 ，因为 ∈ [0, log98]，所以 ∈ [1,2√ 2]，
则 ( ) = 2 + 2 + 2 = ( + )2 + 2 2, ∈ [1,2√ 2]
①当 ≤ 1，即 ≥ 1时， ( )在[1,2√ 2]上为增函数，
3
所以 ( ) = (1) = 2 + 3 = 0，解得 = ，不合题意，舍去； 2
②当1 < < 2√ 2，即 2√ 2 < < 1时， ( )在[1, ]上为减函数， ( )在[ , 2√ 2]上为增函数，
所以 ( ) = ( ) = 2
2 = 0，解得 = ±√ 2，所以 = √ 2；
③当2√ 2 ≤ ，即 ≤ 2√ 2时， ( )在[1,2√ 2]上为减函数，
所以 ( ) = (2√ 2) = 10 + 4√ 2 = 0，
5√ 2
解得 = 不合题意，舍去，
4
综上可知，存在实数 = √ 2，使得 ( )的最小值为0．
15.【答案】解：(1)是， = 1，理由如下：
由定义可得，对任意 0 ∈ [0,1]，恰好存在 个不同的实数 1， 2，…， ∈ [0,4]，
使得 ( ) = ( 0)(其中 = 1，2，…， ， ∈
)，
即| 1| = 0 + 2 ∈ [2,3]，
1 , 0 ≤ ≤ 1
由 ( ) = | 1| = { ，
1,1 < ≤ 4
故当0 ≤ ≤ 1时， ( ) ∈ [0,1]，
此时不存在 使| 1| = 0 + 2 ∈ [2,3]成立，
当1 < ≤ 4时， ( ) ∈ [0,4]，
且 ( )在(1,4)上单调递增，
故对于任意 0 ∈ [0,1]，
都有唯一一个 ∈ (1,4]，使得| 1| = 0 + 2，
综上所述，对于任意 0 ∈ [0,1]，都有唯一一个 ∈ [0,4]，使得| 1| = 0 + 2，
所以 ( )是 ( )的“ 重覆盖函数”，且 = 1；
2 1
(2)由 ( ) = 1 ，可得2 1 > 0，故 > 0， 2 +1
2
所以函数 = ( )的定义域为(0, +∞)．
第 6 页，共 7 页
2 1 2 +1 2
( ) = 1 = 2 = 2(1 + )， 2 +1 2 1 2 1
2
即 0 ∈ (0, +∞)，存在2个不同的实数 1， 2 ∈ ，使得 ( ) = ( 0)，其中 = 1，2，
2
当 > 0时， > 0，
2 1
2 2
故1 + > 1，即 2(1 + ) > 0， 2 1 2 1
故 ( ) ∈ (0, +∞)，
故对任意 0 ∈ (0, +∞)， ( 0) ∈ (0, +∞)，
2
( ) = 2(1 + ) ∈ (0, +∞)， 2 1
即对任意 > 0， ( ) = 都有2个实根，
当 > 1时，log2 ∈ (0, +∞)，且 = log2 在(1, +∞)上单调递增，
故 > 1时， ( ) = log2 = 都有唯一确定的实根，
故当 ≤ 1时， ( ) = 2 + (2 3) + 1 = 也有且有一个实根，
当 = 0时， ( ) = 3 + 1 ∈ [ 2, +∞)，
且 ( )在( ∞, 1)上单调递减，符合题意；
当 < 0时， ( )为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去；
3 2
当 > 0时，则需对称轴 = ≥ 1，且 (1) = + 2 3 + 1 ≤ 0，
2
3 2 2
即0 < ≤ ，且 ≤ ，即0 < ≤ ，
4 3 3
2
综上，实数 的取值范围是[0, ].
3
16.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = | | + 2 ， ( ) > 3 | | + 2 > 3，
当 < 0时， 2 + 2 > 3即 2 2 + 3 < 0，此不等式无解，
当 ≥ 0时， 2 + 2 3 > 0，解得 > 1或 < 3，即 > 1，
故不等式 ( ) > 3的解集为{ | > 1}．
2 + (2 2 ) , ≥ 2 ,
(2) ( ) = {
2 + (2 + 2 ) , < 2 ,
当 ≥ 2 时， ( )的对称轴为： = 1；
当 < 2 时， = ( )的对称轴为： = + 1；
∴当 1 ≤ 2 ≤ + 1时， ( )在 上是增函数，
即 1 ≤ ≤ 1时，函数 ( )在 上是增函数．
第 7 页，共 7 页