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期末专项06函数的概念与表示
题型01 函数的有关概念
题型02 函数的自变量与函数值
题型03 函数的表示方法（图表、图象与解析式）
题型04 动点问题的函数图象问题（难点）
题型01 函数的有关概念
1．（2023秋 诸暨市期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
2．（2022秋 武义县期末）笔记本每本元，买3本笔记本共支出元，下列选项判断正确的有
A．是常量时，是变量
B．是变量时，是常量
C．是变量时，也是变量
D．无论是常量还是变量，都是变量
3．（2022秋 嵊州市期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断正确的是
A．2是变量 B．是变量 C．是变量 D．是常量
4．（2021秋 青田县期末）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为
A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积
5．（2023秋 舟山期末）下列四个等式中，是的函数的是
A． B． C． D．
6．（2022秋 金华期末）下列图形中，不能表示是函数的是
A． B．
C． D．
7．（2022秋 余姚市校级期末）如图图象中，表示是的函数的个数有
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021秋 莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数（人与月利润（元的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润月收入月支出费用）
（人 2500 2750 3000 3500 4000
（元 0 1000 2000
（1）根据函数的定义，是关于的函数吗？
（2）结合表格解答下列问题：
①公交车票的单价是多少元？
②当时，的值是多少？它的实际意义是什么？
题型02 函数的自变量与函数值
1．（2023秋 东阳市期末）函数中自变量的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2022秋 温州期末）函数中，自变量的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2023秋 舟山期末）根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间（时可用公式是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间
（时．
4．（2023秋 滨江区期末）函数的自变量的取值范围是 ．
5．（2023秋 长兴县期末）函数中自变量的取值范围是 ．
题型03 函数的表示方法（图表、图象与解析式）
1．（2023秋 鄞州区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D．物体质量每增加，弹簧长度增加
2．（2023秋 海曙区期末）小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 浦江县期末）科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上．现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．将过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）记为，铁块离开原位的距离（横坐标）为．则下列关于的函数图象正确的一项是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 上城区期末）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用长度为的篱笆围成，设长方形的长为 ，宽为 ，则下列函数图象能反映与关系的是
A． B．
C． D．
5．（2023秋 柯桥区期末）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度与注水时间之间关系的图象的是
A． B．
C． D．
6．（2023秋 温州期末）【情境】某快递车从公司出发，到达驿站，卸完包裹后立即前往驿站，再卸完包裹后按原路返回公司．快递车行驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样．快递车离公司的路程与时间的关系（部分数据）如图所示．
【问题】快递车在每个驿站卸包裹的时间为
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
7．（2022秋 上虞区期末）某校八年级科学兴趣小组利用自动测温仪记录气温变化情况，截取某日气温变化数据如图所示．结合所给图象，下列说法错误的是
A．这一过程中，，都是变量 B．是的函数
C．0时到14时气温持续上升 D．最高气温是
8．（2023秋 鄞州区期末）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油55升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米0.1升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量（升关于已行驶的里程的函数解析式为 ．
9．（2022秋 温州期末）某种气体的体积与气体的温度对应值如表，若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于 ．
0 1 2 3 10
100 100.3 100.6 100.9 103
10．（2023秋 海曙区期末）在全民健身环城越野赛中， 甲、 乙两选手的行（千 米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示 ．有下列说法：
①起跑后 1 小时内， 甲在乙的前面；
②第 1 小时两人都跑了 10 千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了 20 千米 ．
其中正确的说法的序号是 ．
11．（2022秋 嵊州市期末）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 （填序号）．
12．（2023秋 义乌市期末）如图，中，已知，点是内一点，连接，，使，，直线经过点，交线段或线段于点，交射线于点，同时点始终位于点与之间．设为，为．
（1）为探究与的等量关系，小聪同学取了几组的值，请你写出相应的的值并填入下表（单位：度）
80 60 35 23
（2）若，请求出的值．
（3）猜想：是否为的函数？若是，请求出关于的函数表达式；若不是，请说明理由．
题型04 动点问题的函数图象问题（难点）
1．（2023秋 衢江区期末）如图，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点停止，设点的运动路程为 ，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 开化县期末）如图1，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度运动，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的图象．若点是曲线的最低点，则点的纵坐标为
A． B．4 C． D．6
3．（2023秋 东阳市期末）如图①，一动点从的点出发，在三角形的内部（含边上）沿直线运动3次，第一次到点，第二次到点，第三次到点，设点运动路程为，，与的函数图象如图②所示，若，则的值为
A．1 B． C． D．
4．（2023秋 衢州期末）如图1，在中，，，点以的速度从点出发，到达点后再以的速度到达点停止，点的高度记为，点的运动时间记为，关于的函数图象如图2所示，经过时间秒在上，经过时间秒时在上，若这两个时刻点的高度恰好一样，则的值为
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2023秋 慈溪市期末）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项06函数的概念与表示
题型01 函数的有关概念
题型02 函数的自变量与函数值
题型03 函数的表示方法（图表、图象与解析式）
题型04 动点问题的函数图象问题（难点）
题型01 函数的有关概念
1．（2023秋 诸暨市期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】
【解析】常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选．
2．（2022秋 武义县期末）笔记本每本元，买3本笔记本共支出元，下列选项判断正确的有
A．是常量时，是变量
B．是变量时，是常量
C．是变量时，也是变量
D．无论是常量还是变量，都是变量
【答案】
【解析】根据题意，可知是变量时，也是变量，
故选．
3．（2022秋 嵊州市期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断正确的是
A．2是变量 B．是变量 C．是变量 D．是常量
【答案】
【解析】根据题意可得，
在中．2，为常量，是自变量，是因变量．
故选．
4．（2021秋 青田县期末）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为
A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积
【答案】
【解析】把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，常量为的长度，
故选．
5．（2023秋 舟山期末）下列四个等式中，是的函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、除外，对于每一个确定的值，都有两个的值与之对应，不符合题意，
、对于每一个确定的值，都有唯一确定的的值与之对应，符合题意，
、除外，对于每一个确定的值，都有两个的值与之对应，不符合题意，
、除外，对于每一个确定的值，都有两个的值与之对应，不符合题意，
故选．
6．（2022秋 金华期末）下列图形中，不能表示是函数的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】图形中，一个值对应唯一的值，符合函数的定义，故不符合题意；
图形中，一个值对应唯一的值，符合函数的定义，故不符合题意；
图形中，一个值对应多个值，不符合函数的定义，故符合题意；
图形中，一个值对应唯一的值，符合函数的定义，故不符合题意；
故选．
7．（2022秋 余姚市校级期末）如图图象中，表示是的函数的个数有
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】属于函数的有：
是的函数的个数有3个，故正确．
故选．
8．（2021秋 莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数（人与月利润（元的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润月收入月支出费用）
（人 2500 2750 3000 3500 4000
（元 0 1000 2000
（1）根据函数的定义，是关于的函数吗？
（2）结合表格解答下列问题：
①公交车票的单价是多少元？
②当时，的值是多少？它的实际意义是什么？
【解析】解；（1）由函数的定义可知，表格中“月利润”随着“月乘车人数的变化而变化，当月乘车人数每取一个固定值，月利润就有唯一值与之相对应”，
所月利润是月乘车人数的函数；
（2）①（元，
答：公交车的票价为每人2元；
②当时，，当月乘车人数为2750人时，月利润为元，即公司亏损500元．
题型02 函数的自变量与函数值
1．（2023秋 东阳市期末）函数中自变量的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】由题意得，，
解得．
故选．
2．（2022秋 温州期末）函数中，自变量的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】根据题意得，，
解得．
故选．
3．（2023秋 舟山期末）根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间（时可用公式是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间 9.7 （时．
【答案】9.7．
【解析】当时，
故答案为：9.7．
4．（2023秋 滨江区期末）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】由题意得：，
解得：．
故答案为：．
5．（2023秋 长兴县期末）函数中自变量的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】根据题意得：，解得：．
题型03 函数的表示方法（图表、图象与解析式）
1．（2023秋 鄞州区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D．物体质量每增加，弹簧长度增加
【答案】．
【解析】．与都是变量，且是自变量，是因变量，故正确；
．所挂物体质量为时，弹簧长度为，故正确；
．弹簧不挂重物时的长度为，故错误；
．物体质量每增加，弹簧长度增加，故正确．
故选．
2．（2023秋 海曙区期末）小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图象中，能反映这一过程的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，距离逐渐增大，当吃早餐时，距离不变，当返回学校时，距离变小，到达学校距离不再变化．
故选．
3．（2023秋 浦江县期末）科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上．现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．将过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）记为，铁块离开原位的距离（横坐标）为．则下列关于的函数图象正确的一项是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．
过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）先不变，再逐渐变小，最后再不变，
符合题意的图象是．
故选．
4．（2023秋 上城区期末）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用长度为的篱笆围成，设长方形的长为 ，宽为 ，则下列函数图象能反映与关系的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据题意得，菜园三边长度的和为，
即，
所以，
所以函数图象能反映与关系的是．
故选．
5．（2023秋 柯桥区期末）如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度与注水时间之间关系的图象的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先快后慢，
故选．
6．（2023秋 温州期末）【情境】某快递车从公司出发，到达驿站，卸完包裹后立即前往驿站，再卸完包裹后按原路返回公司．快递车行驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样．快递车离公司的路程与时间的关系（部分数据）如图所示．
【问题】快递车在每个驿站卸包裹的时间为
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
【答案】
【解析】由题意可知，快递车行驶米所需时间为分钟，
所以快递车行驶的总时间为（分钟），
所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（分钟），
故选．
7．（2022秋 上虞区期末）某校八年级科学兴趣小组利用自动测温仪记录气温变化情况，截取某日气温变化数据如图所示．结合所给图象，下列说法错误的是
A．这一过程中，，都是变量 B．是的函数
C．0时到14时气温持续上升 D．最高气温是
【答案】
【解析】、随的变化而变化，两者都是变量，故正确；
、从图表中可知对于每一个确定的，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故正确；
、0时到14时气温有下降有上升，故错误；
、最高气温为14时，气温为，故正确；
故选．
8．（2023秋 鄞州区期末）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油55升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米0.1升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量（升关于已行驶的里程的函数解析式为 ．
【答案】．
【解析】汽车耗油量为每千米0.1升，
行驶 耗油升，
加满油后，油箱中剩余的汽油量，
故答案为：．
9．（2022秋 温州期末）某种气体的体积与气体的温度对应值如表，若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于 20 ．
0 1 2 3 10
100 100.3 100.6 100.9 103
【答案】20
【解析】设，把，，代入得，
，
，
，
把代入得，
，
，
当气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于．
故答案为：20．
10．（2023秋 海曙区期末）在全民健身环城越野赛中， 甲、 乙两选手的行（千 米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示 ．有下列说法：
①起跑后 1 小时内， 甲在乙的前面；
②第 1 小时两人都跑了 10 千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了 20 千米 ．
其中正确的说法的序号是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【解析】①由图可知，时， 甲的函数图象在乙的上边，
所以， 起跑后 1 小时内， 甲在乙的前面， 故本小题正确；
②时， 甲、 乙都是千米， 第 1 小时两人都跑了 10 千米， 故本小题正确；
③由图可知，时， 乙到达终点， 甲没有到达终点， 所以， 乙比甲先到达终点， 故本小题错误；
④两人都跑了 20 千米正确；
综上所述， 正确的说法是①②④．
故答案为：①②④．
11．（2022秋 嵊州市期末）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 ①② （填序号）．
【答案】①②．
【解析】汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间，随增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故①符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间，随增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，矩形的长宽之间存在关系，可以用表示另一边长，根据面积公式得到的是二次函数，故③不符合题意；
故答案为：①②．
12．（2023秋 义乌市期末）如图，中，已知，点是内一点，连接，，使，，直线经过点，交线段或线段于点，交射线于点，同时点始终位于点与之间．设为，为．
（1）为探究与的等量关系，小聪同学取了几组的值，请你写出相应的的值并填入下表（单位：度）
80 60 35 23
（2）若，请求出的值．
（3）猜想：是否为的函数？若是，请求出关于的函数表达式；若不是，请说明理由．
【解析】（1），
，
，
当时，如图所示：
，
即，
当时，；
当时，如图所示：
，
即，
当时，；
当，，
当时，．
80 60 35 23
20 0 25 37
（2）当时，把代入得：，
解得：；
当时，把代入得：，
解得：；
综上分析可知，或45．
（3）是的函数，
根据解析（1）可知，．
题型04 动点问题的函数图象问题（难点）
1．（2023秋 衢江区期末）如图，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点停止，设点的运动路程为 ，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】当点由运动到点时，即，
，
当点由运动到点时，即，
，
符合题意的函数关系的图象，
故选．
2．（2023秋 开化县期末）如图1，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度运动，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的图象．若点是曲线的最低点，则点的纵坐标为
A． B．4 C． D．6
【答案】
【解析】由图2得三段函数的公共点为当和当时，
，，
在中，，
如图1，作于，
则为动点运动时的最小值，
由，得，
点的纵坐标为．
故选．
3．（2023秋 东阳市期末）如图①，一动点从的点出发，在三角形的内部（含边上）沿直线运动3次，第一次到点，第二次到点，第三次到点，设点运动路程为，，与的函数图象如图②所示，若，则的值为
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】由题意，当时，，
，
，
，
由图②可知，垂直平分，垂足为，如图：
从运动到的过程中，，即，不变，
，
，
故选．
4．（2023秋 衢州期末）如图1，在中，，，点以的速度从点出发，到达点后再以的速度到达点停止，点的高度记为，点的运动时间记为，关于的函数图象如图2所示，经过时间秒在上，经过时间秒时在上，若这两个时刻点的高度恰好一样，则的值为
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】
【解析】如图，
点以的速度从点出发，到达点，且运动时间为2秒，
，
作交与点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
经过时间秒在上，经过时间秒时在上，分别到达点，，则：
，
作，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
故选．
5．（2023秋 慈溪市期末）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为 48 ．
【答案】48．
【解析】当时，点与点重合，则，
当时，，
．
过点作于点，
则，，
在中，，
的面积．
故答案为：48．
