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期末专项08 一次函数的综合压轴问题（真题精选）
1．（2023秋 江北区期末）已知两个一次函数，的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表：
0 2
12 3
9
则的值是
A． B． C． D．5
【答案】．
【解析】两个一次函数，的图象互相平行，
，
设，则，，
将、代入，
得，整理得①；
将、、代入，
得，整理得：②，③，
①代入②，得，
把代入③，得，
把代入①，得．
故选：．
2．（2023秋 长兴县期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连结，则的周长的最小值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设点的坐标为，，
点在直线图象上，
，
的周长，
当最小时，垂直于直线，
此时，
的周长的最小值为．
故选：．
3．（2023秋 上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，，所对应的函数表达式分别为，，，若直线与轴交于点，直线与直线，分别交于点，，则的面积为
A．8 B． C． D．10
【答案】
【解析】如图，设直线，，分别与轴交于点，，过点作于点，
直线，所对应的函数表达式分别为、，
，
，即，
对于，
当时，，当时，，
点，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
对于，当时，，
点，
，
，
，即，
即直线，的距离为，
联立，
解得：，
点的坐标为，
，
的面积为．
故选：．
4．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，若点是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．
【答案】．
【解析】由得，
，
由一次函数，令，解得，
，
，，
当时，最小，
此时，
，
为，
故答案为：．
5．（2023秋 东阳市期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，在直线上找一点，使得，请写出所有满足条件的点的坐标 或 ．
【答案】或．
【解析】设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
①点在左侧时，设与轴交于点，，
，
，
，
，
，
，解得：，
，
设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线得，
解得，
；
②点在左侧时，
，，
，
点的横坐标为1，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
．
故答案为：或．
6．（2023秋 上虞区期末）直线与轴和轴的交点分别为、，则线段上（包括端点、横坐标和纵坐标都是整数的点有 5 个．
【答案】5
【解析】令，则；令，则，
此直线与轴、轴的交点分别为：、
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意
当时，，不符合题意
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
故横坐标和纵坐标都是整数的点有，，，，，共5个．
故答案为：5．
7．如图，直线交轴于点，以为直角边长作等腰，再过点作等腰△交直线于点，再过点再作等腰△交直线于点，以此类推，继续作等腰△，，△，其中点都在直线上，点都在轴上，且，，都为直角．则点的坐标为 ， ．
【答案】，．
【解析】直线交轴于点，
．
是等腰直角三角形，
，
．
同理可得，，
，．
故答案为：，．
8．（2023秋 莲都区期末）已知直线和直线．若直线、与轴所围成的三角形面积记作．
（1）当时，的值是 1 ；
（2）当时，的取值范围是 ．
【解析】（1）当时，，，
如图所示，设、交于点，与轴交于点，与轴交于点，则，
，解得：，则，
当时，，
，
，
．
故答案为：1；
（2），，
过定点，则点到轴的距离为1，
设与轴交于点，则，则，
，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或，
，
或，
故答案为：或．
9．（2023秋 嵊州市期末）如图，已知直线的函数表达式为，直线与相交于点，点的横坐标为，直线，分别交轴于点，．
（1）求直线的函数表达式．
（2）点是轴的一点，若的面积与面积相等，求点的坐标．
【解析】（1）直线与相交于点，点的横坐标为，直线的函数表达式为，
当时，，
的坐标为，
设直线的函数表达式为，把和代入得到
，
解得，
的函数表达式为；
（2）直线的函数表达式为与轴交点为，
当时，，
点的坐标为，
，
，
又由，可得，
设点的坐标为，
令与轴的交点为，
当时，，解得，
点的坐标为，
则，
解得或，
的坐标为或．
10．（2023秋 松阳县期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线交于点．
（1）当点时，的值是 1 ．
（2）当两直线相交所成的锐角是时，的值是 ．
【解析】（1）将点代入直线，得：，
解得：；
故答案为：1；
（2）令，则，解得；
则，
设点坐标为，
当两直线相交所成的锐角是时，过作直线交直线于点，过点作，过点作，
则，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
代入，得，
解得，
，，
将，分别代入，
解得：或，
故答案为：或．
11．（2023秋 金东区期末）定义：我们把形如的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
（1）如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数” 的图象．
（2）写出一次函数与“相反函数” 之间的性质（至少两条）．
（3）在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
【解析】（1）由题意，设一次函数的解析式为，
，
．
一次函数的解析式为．
该一次函数的“相反函数” 为．
作图如下．
（2）由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数” 之间的性质：
①两个函数的图象关于轴对称；
②两个函数的图象都过点，．（答案不唯一）
（3）由题意，作图如下．
由题意，是等腰三角形．
平分．
此时角平分线与对边的交点坐标为．
当平分时，作于，
又，
．
．
．
．
设，
．
又在中，，
．
．
，．
直线为：．
又为，
，．
过的角平分线与对边交点坐标为，．
又根据对称性，
过的角平分线与对边交点坐标为，．
12．（2023秋 鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）若点是轴上一点，且，求点的坐标．
【解析】（1）将点代入，
，
，
，
将，代入一次函数的解析式为得：
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
，即，
，
点的坐标为或．
13．（2023秋 镇海区校级期末）如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点．直线经过点、，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标．
【解析】（1）把代入，得
，
解得，
所以点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
把、代入得
，
解得，
所以直线的解析式为；
（3）解方程组，得
，
即，
因为点与点到的距离相等，
所以点的纵坐标为3，
当时，，
解得，
所以点坐标为．
14．（2023秋 浦江县期末）本学期，我们已经学面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
（1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转，轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为 ．
（2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于、，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为、、．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）．
【解析】【初步探究】（1）如图1，根据题意，过点作铅垂线、水平线，交轴于点，交旋转后的轴于点，
，
可得，
根据勾股定理可得，
，
轴绕原点顺时针旋转，
点在旋转后的轴上，
，
，
将轴绕原点顺时针旋转，轴绕点顺时针旋转，
仍为，
设，则，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得，舍去负值，
，，
点的动感坐标为，
故答案为：；
（2）将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴，
轴与轴的夹角为，轴与轴的夹角为，
轴与轴的夹角为，
当轴时，点到点之间的距离最小
如图，轴，过点作水平线，铅垂线，交，轴于点，，交轴于点，
可得，，
点与在同一条水平线，
，
，
，
，
，
，，，
，
又，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点的动感坐标为；
；
【类比猜想】根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得“动感坐标”；
【深入探索】如图3所示，当在上时，
直线与直线两条直线关于轴成轴对称，
，，
，
令，则，
，
，
，
是等边三角形，则，
设三角平分线与对边的交点为、、．
则，
又，
是等边三角形，则，
，
过点作轴的平行线交轴于点，
将轴绕点逆时针旋转，得到轴，
，
又，
，
又轴，
，则，
在中，，
的动感坐标为；
当点在上时，如图3所示，
则，
，
，
同理可得，
的动感坐标为，
综上所述，时，的动感坐标为；时，的动感坐标为．
15．（2023秋 义乌市期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图，直线与轴交于点．
（1）求新函数的图象的解析式；
（2）在射线上一动点，连接，试求的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图2，过点画平行于轴的直线，
①求证：是等腰直角三角形；
②将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得△是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【解析】（1）解：，
当时，，当时，，
，，
将直线沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图，直线与轴交于点，
与关于轴对称，过点，
，
设，将，代入得：，
；
（2）解：，，，
，，
，
①当点在线段上，如图1.1：即：时，
；
②当点在线段的延长线上，如图1.2，即：时，
，
综上：；
（3）①证明：，，，
，，
，，
是等腰直角三角形；
②存在，理由如下：
当点为直角顶点时，设，如图
由平移的性质，设直线的解析式为，
当时，，当时，，
，，
过点作，设交轴于点，
△为等腰直角三角形，轴，
，，，
，
△△，
，，
，，
当时，或，当时，或；
或；
当点为直角顶点时，如图
过点作轴，则，
同上法可得：△，
，，
或（舍去）；
直线向上平移了4个单位，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
；
当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上，
设平移后的解析式为：，
当时，，当时，，
，，
当在的右侧时，如图
同法可得：△，
，，
，
解得：，
，
；
当在的左侧时，如图
同法可得：△，
，，
，
，
（不合题意，舍去）；
综上：或或．
16．（2023秋 义乌市期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线与直线相交于点．
（1）求点，的坐标．
（2）现有一动点沿折线以2个单位长度秒的速度运动，运动时间为秒．
①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的的值．
②如图2，已知轴正半轴上有一动点，当点在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交轴于点．当时，是否存在的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）把代入得：
，
解得：，
；
联立，
解得：，
．
（2）把代入得：，
，
，
，
；
①当点运动到点时，如图1.1所示：
此时，为等腰三角形，
；
当点在上运动，时，如图1.2所示：
此时为等腰三角形，
；
当点在上运动，时，过点作于点，如图1.3所示：
此时为等腰三角形，
根据勾股定理得：，
，
，
根据勾股定理得：，
，，
，
；
当点在上运动，时，如图1.4所示：
此时为等腰三角形，
；
综上分析可知，或6或7.2或12．
②存在的值，使恰好是直角三角形；理由如下：
当时，如图2所示：
设交轴于点，交轴于点，
根据折叠可知，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
设，则，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
；
当时，如图3所示：
，
轴，
，点在轴上，
此时点在轴上，
关于直线的对称图形，
此时轴，
，
；
根据折叠可知：，
，
；
综上分析可知，或14．
17．（2023秋 莲都区期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线，交于点．
（1）求点，点的坐标．
（2）点是轴上的一个动点，求的最小值．
（3）点，分别是直线，上的两点，且不与点，重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标．
【解析】（1）直线的函数表达式为，与轴交于点，
令，可得，解得，
，
设直线的解析式为，
直线经过点和点，
，解得，
直线的解析式为，
联立得，解得，
点的坐标为；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
，，
，此时最小，最小，
点的坐标为，，，
，，
的最小值为；
（3）点的坐标为，，点的坐标为；
，，，
设，，
当时，，，
，，
解得或，或，
点和点的坐标分别为、或、或、或、．
18．（2023秋 开化县期末）如图1，直线分别与轴，轴交于点，两点，为线段上的动点，点，关于直线成轴对称，连结，．
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标．
（3）如图3，点是的中点，连结．当与中的一条边平行时，直接写出的长．
【解析】（1）设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为；
（2）过点作于，
，
（对称轴垂直平分对称点的连线），
，
，
在和中，
，
，
，即，
当时，，
，；
（3），，点是的中点，
，，，，
分三种情况：
①当时，延长交轴于点，过点作轴于，
，，轴，
，
四边形是矩形，
，轴，，，
，
设，则，
点，关于直线成轴对称，
，，
，
，
在中，，
，解得，
；
②当时，延长交轴于点，过点作于，
同理得四边形是矩形，
，，，
，
设，
点，关于直线成轴对称，
，，
，
，
在中，，
，解得，
；
③当时，延长交轴于点，
设，则，
点，关于直线成轴对称，
，，
，
，，
，
，
在中，，点是的中点，
，
，
；
综上，的长为或或．
19．（2023秋 新昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，，与直线相交于点．
（1）求点的坐标及的面积．
（2）在线段上有一动点，过点作平行于轴的直线与直线交于点，问在轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点作轴的垂线，垂足为，在轴上找点，使，请直接写出点的坐标．
【解析】解（1）解方程组，得．
点的坐标为．
把代入得，
解得：，
点的坐标为，
，
；
（2）存在．
如图，
设，则．
．
轴．
．
是以为直角顶点的等腰直角三角形．
．
．
．
．
（3）或．
分两种情况：
①若点在点的下方，
如图，过点作与的延长线交于点．
，轴，
，，
，
．
．
，
，
，
，
．
过点作轴于点，过点作轴于点．
，
，
，
，
，
，
．
，．
，．
，．
．
．
设直线解析式为，
直线经过点，，
，解得：，
直线解析式为，
令，得．
点的坐标为．
②若点在点的上方，
如图，
由对称性可知．
综上所述：或．
20．（2023秋 东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线，垂足为点，为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．
（1）求线段的长；
（2）当时，求点的坐标；
（3）若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值．
【解析】（1）直线分别交轴，轴于点，，
当，则，故；
当，则，故；
，
，
，
即，
，
；
（2）依题意，设点的坐标为，
过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且，
当，则，解得，
，即；
过点作，
由（1）知，
根据等面积法，
得，
，
则，
设直线的解析式为，
把代入，
解得，
直线的解析式为，
则点，
，
，
，
解得，
；
（3）如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，，
，，，
，，
，，，
，
，
由对称的性质可知，
，
则点，，三点共线时，则有最小值，
此时最小值．
21．（2023秋 东阳市期末）如图，已知长方形的边长，，，分别在边，上，且，点是长方形边上的一个动点，点从点出发，沿着折线运动，运动到点停止．记点走过的路程为，四边形的面积为．
（1）求出关于的函数表达式；
（2）在所给的坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质．
【解析】（1）当点在上运动时，即，则
；
当点在上运动时，即，如图：
则
，
即；
（2）当时，，当时，，当时，，
将上述三点描点、连线绘制图象如下
（3）从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）．
22．（2023秋 衢江区期末）如图1，已知直线交轴、轴于点，点．直线交直线于点．点为轴上一点，过点作轴的垂线交直线，于，两点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）如图1，若点到轴距离与到直线的距离相等，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，如图2，点为轴正半轴上一个动点，设点的坐标，连结，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，若点在运动过程中始终在的内部（包括边界），求的取值范围．
【解析】（1）设直线的函数解析式为，
将点，点代入得：，
解得：，
直线的函数解析式为；
（2）直线交直线于点，
联立两个函数得：，
解得：，
，
点到轴距离为1，
点到轴距离与到直线的距离相等，轴，
；
（3）由（2）得，
过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，，
设，
，
，
当落在直线上时，
，
解得：，
此时，
，
点在线段上，
点为轴正半轴上一个动点，
，
．
23．（2023秋 柯桥区期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点的坐标是．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若直线上有一点，且，求点的坐标；
（3）直线上方是否存在一点，使得、、三点构成的三角形与△全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
，
又
设直线的函数表达式为：，
把代入，
解得：，
直线的函数表达式为：．
（2）一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
，
设上有一点使得，
如图，
，得，解得，则点；
，得，解得，则点；
综上所述，点或．
（3）①当△△，则点即为点，此时点
②当△△，
设过点与直线平行的直线，
代入，
解得，
设点，
，，，
，（舍去），
则点，
故点或．
24．（2023秋 衢州期末）如图，直线与和与轴分别交于、两点，两直线交于点，是与轴的交点，点为的中点，点是线段上一个动点（不与点和重合），连接，并过点作交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请求出点的坐标；
（3）当是等腰三角形时，求点的坐标．
【解析】（1）为等腰直角三角形；理由如下：
在上，
，
，
把代入得：
，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
，
则，
，
，
则，且，
为等腰直角三角形．
（2）由题意知，即，连接，过点作于，于，过点作于点，过点作于点，如图1所示：
，
，
，
，，
，平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
要使周长最小，即只需时最小，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图2，
，
，
两点之间线段最短，
最小，
设的解析式为，把、代入得：
，
解得：，
的解析式为，令，，
．
（3）连接，过点作于，于，过点作于点，过点作于点，如图3所示：
根据解析（2）可知，，，
设点的坐标为，，
，
，
点的坐标为：，
点的坐标为：，
把代入代入得：，
，
，
，
，
当时，，
解得：，
；
当时，，
解得：或（舍去）；
；
当时，，
解得：（舍去）或，
；
综上分析可知，点的坐标为：或或．
25．（2023秋 金东区期末）在直角坐标系中，有一个动点的坐标为．
请回答下列问题：
（1）小聪说“该动点不可能在第四象限上”，判断这句话正确与否，并说明理由．
（2）设该动点落在轴、轴上时，分别记为点和点，求出点和点的坐标．
（3）求出该动点到直角坐标系原点的最小距离．
【解析】（1）该动点不可能在第四象限上，这句话正确，
理由：当时，，
该动点不可能在第四象限上；
（2）当该动点落在轴上时，，
解得，
，
当该动点落在轴上时，，
，
；
（3）设到直角坐标系原点的距离为，
，
，
有最小值，
当时，的最小值，
即该动点到直角坐标系原点的最小距离为．
26．（2023秋 海曙区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且△△．
（1）的坐标为 ，线段的长为 ．
（2）求直线的解析式和点的坐标．
（3）如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．
①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②连结，当△面积最大时，求的长度和△的面积．
【解析】（1）解：对于，当时，，
令，则，
即点、的坐标分别为：、，
故答案为：，4；
（2）解：过点作交于点，交轴于点且△△，
，，，
点，
，
点的坐标为，
设过点，点的直线解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，即直线的解析式为，
由，得，
即点的坐标为；
（3）①线段与线段数量关系是，
证明：△△，
，，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，即线段与线段数量关系保持不变；
②解：△△，
，
，
，
，
即，
，
由上题可知，
在△和△中，，
△△，
，
，，，，
，，
，
四边形面积为定值，
，
要使△面积最大，求△面积最小即可，
，
当取最小值时，△面积最小，
，，，
，
当时，取最小值，
，
即，
△面积最小为，
则面积，
即△面积最大为．
27．（2023秋 长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与轴、轴、直线分别交于点、、，求面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交轴于点．当为直角三角形时，求点的坐标．
【解析】（1）把代入得，，
，
直线；
（2）直线，
点的坐标为，
直线与轴、轴、直线分别交于点、、，
当时，，当时，，解得，
、，
联立与得，解得，
，
，
，
的面积为；
（3）如图2，当时，过点作轴于，
由翻折得，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折得，
点的坐标为；
如图3，当时，
由翻折得，
，，
，，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
28．（2023秋 吴兴区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连结．
（1）求点、点的坐标；
（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）现有一动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时，为等腰三角形．
【解析】（1）过、分别做、垂直于轴于，，如图：
将线段绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
，
，
，，
，
将点向左平移5个单位长度至点，
，
；
（2）设交轴于，交轴于，如图：
，，
，
将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，轴，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
（3）①当时，如图：
，
解得；
②当时，如图：
，
，
，
，
解得；
③当时，如图：
在的垂直平分线上，
，，
，
在中，令得，
，，
，
，
解得；
综上所述，当等于秒或秒或秒时，为等腰三角形．
29．（2023秋 东阳市期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，过点作交于，交轴于点．且．
（1）求点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点坐标；
（3）如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接．
①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点的坐标和面积．
【解析】（1）直线交坐标轴于、两点，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
；
故答案为：，3；
（2）过点作交于，交轴于点．且（已知），
，，，
点，
，
，
点的坐标为，
设过点，点的直线解析式为，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
即直线的解析式为，
由，得，
即点的坐标为，；
（3）①线段与数量关系是保持不变，
证明：，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即线段与数量关系是保持不变；
②由①知，
，
面积是：，
当取得最小值时，面积取得最小值，
，，，
，
当时，取得最小值，
，
，
解得，，
面积取得最小值是：，
当取得最小值时，设此时点的坐标为，
解得，，
，
点的坐标为，，
由上可得，当面积最小时，点的坐标是，和面积是．
30．（2023秋 桐乡市期末）如图，，，，已知点和点的坐标分别为和，过点、的直线关系式为．
（1）点的坐标为： ．
（2）求、的值．
（3）直线与有公共点，求的取值范围．
【解析】（1）过作轴于，如图：
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
故答案为：；
（2）将，的坐标代入一次函数解析式：
，
解得：，；
（3）平移直线，如图：
当直线过点时，，
当直线过点时，，
，
的取值范围为：．
31．（2023秋 江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，把线段绕点顺时针旋转后得到线段，连结，．
（1）当时，求点的坐标；
（2）当值发生变化时，的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
（3）当时，在轴上找一点，使得是等腰三角形，求满足条件的所有点的坐标．
【解析】（1）如图1，
当时，，
当时，，
，
当时，，
，
，
作于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）的面积不变，理由如下：
由（1）知：，，
；
（3），
，
，
，
，
，
当时，
或，
，或，，
如图2，
当时，
，
，
点；
如图3，
当时，
，
，
，
综上所述：点，或，或或．
32．（2023秋 鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
（3）过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由直线与直线交于点，
联立，
解得，
点的坐标为；
（2）①轴，
点、、的横坐标相等，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
；
②若点是线段的中点，
，，，
，，
点是的中点，
，
即，
解得，；
若点时线段的中点，
，，，
，，
点时线段的中点，
，
即，
解得；
综上所述，或6；
（3）存在最小值，
在上取点，使得，连接，
由直线与直线，
得，，，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
是线段的垂直平分线，
，轴，
，轴，
，
轴，
，
，
，，
，
，
，
得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，
，
的最小值为．
33．（2023秋 宁波期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结．
（1）求出，两点的坐标；
（2）求证：；
（3）在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【解析】（1）把代入，得，
点的坐标为，
把代入，得，
点的坐标为；
（2），，
，
，
，
，，
，
，，
；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，
由（2）得，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，，
①若，则，得，
与点为轴正半轴上的动点矛盾，此情况不成立；
②若，则，得，
解得，
，
，
点的坐标为；
③若，则，得，
解得，
，
，
，
设，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，即，
得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
34．（2023秋 鄞州区校级期末）已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接．
（1）直接写出直线、的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标．
【解析】（1）直线与轴交于，
，
直线的解析式，
直线分别与轴交于点，
，
，
直线的解析式；
（2）由（1）知，直线的解析式①，直线的解析式②，
联立①②解得，，，
，，
对于直线的解析式，
令，，
，
；
（3）设，
，，
，，，
是等腰三角形，
①当时，
，
，
，
②当时，
，
（舍或，
，
③当时，，
，
，或，，
即：点的坐标为，或或，或．
35．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
（1）求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（2）如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
【解析】（1）①设直线的解析式为：，
，
解得，，
直线的解析式为：；
②联立直线和直线的解析式，
令，
解得，
，
；
③取的中点为，则，作线段的垂直平分线，
直线的解析式为：，
令，则；
令，则，
若是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为，．
（2）连接，
点的坐标为，垂直于轴，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入，坐标得：，
解得：，
直线和直线的解析式值相等，
两直线平行，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项08 一次函数的综合压轴问题（真题精选）
1．（2023秋 江北区期末）已知两个一次函数，的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表：
0 2
12 3
9
则的值是
A． B． C． D．5
2．（2023秋 长兴县期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连结，则的周长的最小值是
A． B． C． D．
3．（2023秋 上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，，所对应的函数表达式分别为，，，若直线与轴交于点，直线与直线，分别交于点，，则的面积为
A．8 B． C． D．10
4．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，若点是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．
5．（2023秋 东阳市期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，在直线上找一点，使得，请写出所有满足条件的点的坐标 ．
6．（2023秋 上虞区期末）直线与轴和轴的交点分别为、，则线段上（包括端点、横坐标和纵坐标都是整数的点有 个．
7．如图，直线交轴于点，以为直角边长作等腰，再过点作等腰△交直线于点，再过点再作等腰△交直线于点，以此类推，继续作等腰△，，△，其中点都在直线上，点都在轴上，且，，都为直角．则点的坐标为 ．
8．（2023秋 莲都区期末）已知直线和直线．若直线、与轴所围成的三角形面积记作．
（1）当时，的值是 ；
（2）当时，的取值范围是 ．
9．（2023秋 嵊州市期末）如图，已知直线的函数表达式为，直线与相交于点，点的横坐标为，直线，分别交轴于点，．
（1）求直线的函数表达式．
（2）点是轴的一点，若的面积与面积相等，求点的坐标．
10．（2023秋 松阳县期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线交于点．
（1）当点时，的值是 ．
（2）当两直线相交所成的锐角是时，的值是 ．
11．（2023秋 金东区期末）定义：我们把形如的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
（1）如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数” 的图象．
（2）写出一次函数与“相反函数” 之间的性质（至少两条）．
（3）在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
12．（2023秋 鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）若点是轴上一点，且，求点的坐标．
13．（2023秋 镇海区校级期末）如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点．直线经过点、，直线，交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）在直线上存在异于点的另一个点，使得与的面积相等，求点的坐标．
14．（2023秋 浦江县期末）本学期，我们已经学面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
（1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转，轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为 ．
（2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于、，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为、、．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）．
15．（2023秋 义乌市期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图，直线与轴交于点．
（1）求新函数的图象的解析式；
（2）在射线上一动点，连接，试求的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图2，过点画平行于轴的直线，
①求证：是等腰直角三角形；
②将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得△是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
16．（2023秋 义乌市期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线与直线相交于点．
（1）求点，的坐标．
（2）现有一动点沿折线以2个单位长度秒的速度运动，运动时间为秒．
①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的的值．
②如图2，已知轴正半轴上有一动点，当点在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交轴于点．当时，是否存在的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
17．（2023秋 莲都区期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线，交于点．
（1）求点，点的坐标．
（2）点是轴上的一个动点，求的最小值．
（3）点，分别是直线，上的两点，且不与点，重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标．
18．（2023秋 开化县期末）如图1，直线分别与轴，轴交于点，两点，为线段上的动点，点，关于直线成轴对称，连结，．
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标．
（3）如图3，点是的中点，连结．当与中的一条边平行时，直接写出的长．
19．（2023秋 新昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，，与直线相交于点．
（1）求点的坐标及的面积．
（2）在线段上有一动点，过点作平行于轴的直线与直线交于点，问在轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点作轴的垂线，垂足为，在轴上找点，使，请直接写出点的坐标．
20．（2023秋 东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线，垂足为点，为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．
（1）求线段的长；
（2）当时，求点的坐标；
（3）若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值．
21．（2023秋 东阳市期末）如图，已知长方形的边长，，，分别在边，上，且，点是长方形边上的一个动点，点从点出发，沿着折线运动，运动到点停止．记点走过的路程为，四边形的面积为．
（1）求出关于的函数表达式；
（2）在所给的坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质．
22．（2023秋 衢江区期末）如图1，已知直线交轴、轴于点，点．直线交直线于点．点为轴上一点，过点作轴的垂线交直线，于，两点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）如图1，若点到轴距离与到直线的距离相等，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，如图2，点为轴正半轴上一个动点，设点的坐标，连结，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，若点在运动过程中始终在的内部（包括边界），求的取值范围．
23．（2023秋 柯桥区期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点的坐标是．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若直线上有一点，且，求点的坐标；
（3）直线上方是否存在一点，使得、、三点构成的三角形与△全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023秋 衢州期末）如图，直线与和与轴分别交于、两点，两直线交于点，是与轴的交点，点为的中点，点是线段上一个动点（不与点和重合），连接，并过点作交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）当点的横坐标为时，在轴上找到一点使得的周长最小，请求出点的坐标；
（3）当是等腰三角形时，求点的坐标．
25．（2023秋 金东区期末）在直角坐标系中，有一个动点的坐标为．
请回答下列问题：
（1）小聪说“该动点不可能在第四象限上”，判断这句话正确与否，并说明理由．
（2）设该动点落在轴、轴上时，分别记为点和点，求出点和点的坐标．
（3）求出该动点到直角坐标系原点的最小距离．
26．（2023秋 海曙区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且△△．
（1）的坐标为 ，线段的长为 ．
（2）求直线的解析式和点的坐标．
（3）如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．
①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；
②连结，当△面积最大时，求的长度和△的面积．
27．（2023秋 长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与轴、轴、直线分别交于点、、，求面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交轴于点．当为直角三角形时，求点的坐标．
28．（2023秋 吴兴区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连结．
（1）求点、点的坐标；
（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）现有一动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时，为等腰三角形．
29．（2023秋 东阳市期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，过点作交于，交轴于点．且．
（1）求点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点坐标；
（3）如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接．
①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点的坐标和面积．
30．（2023秋 桐乡市期末）如图，，，，已知点和点的坐标分别为和，过点、的直线关系式为．
（1）点的坐标为： ．
（2）求、的值．
（3）直线与有公共点，求的取值范围．
31．（2023秋 江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，把线段绕点顺时针旋转后得到线段，连结，．
（1）当时，求点的坐标；
（2）当值发生变化时，的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
（3）当时，在轴上找一点，使得是等腰三角形，求满足条件的所有点的坐标．
32．（2023秋 鄞州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值；
（3）过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
33．（2023秋 宁波期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结．
（1）求出，两点的坐标；
（2）求证：；
（3）在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
34．（2023秋 鄞州区校级期末）已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接．
（1）直接写出直线、的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标．
35．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
（1）求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（2）如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
