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期末专项03 直角三角形与勾股定理
题型01 直角三角形全等的判定
题型02 直角三角形的判定与性质
题型03 勾股定理（常考）
题型04 勾股定理的应用
题型05 勾股定理的逆定理
题型06 勾股定理的证明（重难点）
题型01 直角三角形全等的判定
1．（2022秋 台州期末）下列说法正确的是
A．面积相等的两个三角形全等
B．形状相同的两个三角形全等
C．三个角分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】
【解析】、面积相等的两个三角形不一定全等，如同底等高的2个三角形，不一定相似，不符合题意；
、形状相同的两个三角形不一定全等，相似三角形的形状相同，不符合题意；
、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，三个角相等的三角形可能是相似三角形，不符合题意；
、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合题意．
故选．
2．（2022秋 义乌市校级期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
【答案】．
【解析】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
根据三角形的判定方法可解决此题．
故答案为：．
3．（2022秋 鄞州区校级期末）如图，，，是上的一点，且，．
求证：．
【解析】证明：，
．
，，
．
和是直角三角形，
和中，
，
．
4．（2023秋 松阳县期末）已知：如图，在中，于点，是上一点，连结交点于点，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
【解析】（1）证明：，
，
在和中，
，
△．
（2）证明：，
，
，
，
．
（3）解：△，
，
，，
，，
，
．
5．（2023秋 舟山期末）如图，于点，于点，与交于点，，，并连接．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，
，是等腰三角形，
点是两条高，的交点，
根据“三线合一”可得平分；
（2）解：平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
解得：，
．
题型02 直角三角形的判定与性质
1．（2023秋 东阳市期末）在下列条件中不能判定△为直角三角形的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，
，
，
△是直角三角形，故选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
△是直角三角形，故选项不符合题意；
、，
设，
，，
，
，
解得，
△不是直角三角形，故选项符合题意；
、，
设，
，
，
，
解得，
，
△是直角三角形，故选项不符合题意．
故选．
2．（2022秋 宁波期末）在△中，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
故选．
3．（2022秋 嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】直角三角形中两锐角互余，
若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是．
故选．
4．（2022秋 金华期末）如图，在中，，平分，交于点，若点恰好在边的垂直平分线上，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点恰好在边的垂直平分线上，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选．
5．（2022秋 余姚市校级期末）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
由折叠的性质可知，，
，
故选．
6．（2023秋 义乌市期末）已知，若，，则 60 度．
【答案】60．
【解析】，若，
，
，
，
，
．
故答案为：60．
7．（2023秋 柯桥区期末）如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折得到．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】，，
，
由折叠可得，
．
故答案为：．
8．（2023秋 温岭市期末）如图，四边形，对角线，交于点，已知，（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
【解析】（1），，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）延长，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
题型03 勾股定理及其应用
1．（2024春 洪山区期末）如图，在△中，，若，，则的长是
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【解析】，，，
，
即的长是，
故选．
2．（2023秋 衢江区期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长是
A． B．4 C． D．
【答案】
【解析】由题知，，
，
，
，
，解得，
故选．
3．（2023秋 鄞州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为
A．4 B． C．4或 D．2或
【答案】
【解析】个直角三角形的两边长分别为3和5，
①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为，则由勾股定理得到：；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为，则由勾股定理得到：．
故选．
4．（2023秋 宁波期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出
A．直角三角形的面积
B．最大半圆形的面积
C．较小两个半圆形的面积和
D．最大半圆形与直角三角形的面积和
【答案】
【解析】以为直径的半圆的面积，
同理：以、为直径的半圆的面积分别是，，
两个月牙形的面积和以、为直径的半圆的面积的和直角三角形三角形的面积以为直径的半圆的面积，
两个月牙形的面积和直角三角形的面积直角三角形的面积，
由勾股定理得：，
两个月牙形的面积和直角三角形的面积．
故选．
5．（2023秋 衢州期末）如图，在中，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，，则的长度为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
根据作图可知，垂直平分，
，，
为直角三角形，
，
，
根据勾股定理得：，
，
设 ，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故选．
6．（2023秋 鄞州区期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为13，则的长为
A．5 B． C． D．
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得，
（舍去负值）．
故选．
7．（2023秋 武义县期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点作于点，延长交于点，则．④若，则．其中正确的结论个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，
，，
，故①正确；
如图所示，过点作交延长线于点，
又，
，
，故②正确；
如图所示，过点作交的延长线于点，过点作
，
又，
同理可证，
，
，故③正确；
同理可证，
，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．
故选．
8．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 5 ．
【答案】5
【解析】设，则，
，
，
，
即，
解得，
即，
故答案为：5．
9．（2023秋 衢江区期末）本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇项目作业”：如图，在中，，，，请回答下列问题：
（1）求线段的长；
（2）用尺规作图的方法作直线交边于，连接，求的面积．
【解析】（1）在中，，，，
；
（2）依题意，，设，则，
在中，，
，
解得：，
，
的面积为．
10．（2023秋 莲都区期末）如图，点为线段上一点，以为边向上作，且．以为底边向上作等腰三角形，且连结．
（1）求的度数；
（2）当时，求的值．
【解析】（1），
，
，，
，
；
（2）过点作，如图所示：则，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，（负值舍去），
，
，
．
11．（2023秋 慈溪市期末）如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，．
（1）当，时，求的度数；
（2）当时，，，求的长．
【解析】（1）是的平分线，
，
在是线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）是的平分线，
，
在是线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
．
12．（2023秋 武义县期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）设，交于点，求的长．
【解析】（1），理由如下，
连接，由图可得，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得，
，
，
．
13．（2023秋 海曙区期末）阅读：如图1，在中，，，，求的长．
小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长．
解决下列问题：
（1）图2中， 9 ， ；
（2）在中，，，的对边分别为、、．如图3，当时，用含，式子表示．
【解析】（1）如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
在直角和直角中，
由勾股定理得到：，即，
解得，，
故答案为：9；12；
（2）作于点，在的延长线上取点，使得，连接，
则是边的垂直平分线，
，．
，，
，
，
，
，
，，即，
，
由题意得，，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，．
题型04 勾股定理的应用
1．（2022秋 婺城区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 米．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】
【解析】两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选．
2．（2023秋 嵊州市期末）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为0.7米．如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点将向外移动多少米？
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．0.6米
【答案】
【解析】解；在直角中，已知，，
则，
，
在直角△中，，且为斜边，
，
故选．
3．（2023秋 路桥区期末）如图是小安在荡秋千的侧面示意图．小安在起始位置处时，与地面垂直，当小安在处时，她离，的距离分别为，；当小安在处时，若，且她离的距离为，则此时小安离地面的高度是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，过点作于，过点作于，延长交于点，
由题意可知，，，，，，，
，，
四边形、均为矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
即此时小安离地面的高度是．
故选．
4．（2023秋 嘉兴期末）一艘轮船从港出发向西航行，折向北航行，平均航速均为20千米时，则时该轮船离港的距离为 50千米 ．
【答案】50千米．
【解析】航线示意图如图所示：
，
由题意得：（千米），（千米），
（千米），
时该轮船离港的距离为50千米，
故答案为：50千米．
5．（2023秋 慈溪市期末）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙面下滑，那么点将向外移动 0.8 米．
【答案】0.8．
【解析】解；由题意可知，，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
故答案为：0.8．
6．（2023秋 开化县期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为 14.5 尺．
【答案】14.5．
【解析】设的长为尺，
尺，尺
尺
在中，尺，尺，尺，
由勾股定理得：，
解得：．
答：秋千绳索或的长度为14.5尺．
故答案为：14.5．
7．（2022秋 义乌市校级期末）气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，，，，，是固定钢架，垂直桌面，是位置可变的定长钢架．是两端固定的伸缩杆，其中，，，，是一个固定角为，当旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆的长度为 ．点的离地高度为，，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现，则桌面高度为 ．
【答案】，．
【解析】如图1，延长交于点，
由题意可知与水平面垂直，当旋转至水平位置时，则，
，
，
，
，，，
，，，
，
；
如图2，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，，，
作交的延长线于点，交的延长线于点，
，，
，，
，，
，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，交的延长线于点，
，，，
四边形、四边形都是矩形，
，
，
，
，
连结，延长交于点，延长交于点，则，
，，，
，
，
故答案为：，．
8．（2023秋 婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆的底部（点之间的距离为5米．
【问题解决】求旗杆的高度．
【解析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度是米，
在中，米，米，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：旗杆的高度为12米．
9．（2023秋 浦江县期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“”，杉树标记为点“”，洞穴标记为点“”．
（1）根据这段记载，应用数学知识描述点与线段之间的关系．
（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点、的坐标分别为、，点到线段之间的距离为5（单位长度），求出洞穴到赤石的距离．
【解析】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上；
（2）如图，设线段的垂直平分线与线段相交于点，连接，
则，
点、的坐标分别为、，
，
，，
，
答：洞穴到赤石的距离为．
10．（2022秋 婺城区期末）笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，、其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
【解析】（1）是直角三角形，
理由是：在中，
，
，
，
是直角三角形且；
（2）设千米，则千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
题型05 勾股定理的逆定理
1．（2023秋 余姚市期末）下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是
A．5，12，13 B． C．2，3，4 D．6，8，10
【答案】
【解析】、，故是直角三角形，故错误．
、，故是直角三角形，故错误；
、，故不是直角三角形，故正确；
、，故是直角三角形，故错误；
故选．
2．（2022秋 拱墅区校级期末）三边长为、、，则下列条件能判断是直角三角形的是
A．，， B．
C．，， D．，，
【答案】
【解析】、，不是直角三角形；
、，不是直角三角形；
、，是直角三角形；
、，不是直角三角形；
故选．
3．（2023秋 舟山期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设每个小正方形的边长为1，
、三边长为：，，3，
，
不是直角三角形，此选项不符合题意；
、三边长为：，，，
，
不是直角三角形，此选项不符合题意；
、三边长为：，，，
，
不是直角三角形，此选项不符合题意；
、三边长为：，，，
，
是直角三角形，此选项符合题意，
故选．
4．（2023秋 莲都区期末）如图，在中，，，，是边上的中线，则的长度是
A．5 B．6.5 C．6 D．13
【答案】
【解析】在中，，，，
，，
，
是直角三角形，，
又是斜边边上的中线，
，
故选．
5．（2023秋 衢江区期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是
A．2，2，2 B．1，1， C．1，2， D．3，4，5
【答案】
【解析】、2，2，2，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意；
、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意；
、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确；
、3，4，5，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误；
故选．
6．（2023秋 武义县期末）在中，，，，的对边分别为，，，下列条件不能判断为直角三角形的是
A． B．
C． D．，，
【答案】
【解析】当时，
，
，解得：，故能判断直角三角形，不符合题意，
当时，
，
，解得：，，，故不能判断直角三角形，符合题意，
当，
，故能判断直角三角形，不符合题意，
当，，时，
，
，故能判断直角三角形，不符合题意，
故选．
7．（2023秋 鄞州区期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为 直角 三角形．
【答案】直角．
【解析】三角形的三边之比为，
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
8．（2022秋 余姚市期末）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 5 ．
【答案】5.
【解析】三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理，
此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，
三角形斜边上的中线是斜边的一半，
三角形最长边上的中线为5．
故答案为：5．
9．（2023秋 诸暨市期末）已知三角形三条边长度为，，，其中，则这个三角形面积为 ．（化简结果）
【答案】．
【解析】，
，
，
，
这个三角形是直角三角形，直角边是，，
三角形的面积为，
故答案为：．
10．（2023秋 杭州期末）△的三边长分别是、、，且，，，△是直角三角形吗？证明你的结论．
【解析】△是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
△是直角三角形．
11．（2022秋 新昌县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1．
（1）写出，，三点坐标．
（2）判断的形状并说明理由．
【解析】（1），，；
（2）是直角三角形，理由如下：
网格中每个小正方形的边长都为1，
，，
在中，，，
，
是直角三角形．
12．（2023秋 玉环市期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，．
（1）求证：；
（2）求的长度．
【解析】（1）证明：在中，，，，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：，
是直角三角形，
，
即，
，
，
解得，
．
13．（2022秋 越城区校级期末）如图，在四边形中，，，，．求：
（1）的度数．
（2）四边形的面积．
【解析】（1）连接，
，，
，
在中，，
，，
，
，
；
（2）．
故四边形的面积是4．
题型06 勾股定理的证明
1．（2023秋 义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为
A．7 B．10 C．13 D．15
【答案】
【解析】设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
，
，
故选．
2．（2023秋 南浔区期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】如图，由直角三角形中，，正方形，正方形，正方形．
得，
得．
故选．
3．（2023秋 奉化区期末）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】
【解析】过作的垂线交于，
可证明，，
所以．
由可进一步证得：，
，
又可证得，
．
易证，
，
．
故选．
4．（2023秋 金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【解析】，四边形为正方形，
．
四边形为正方形，
．
由题可知：．
，
，
是中点，
即，
．
．
即．
故选．
5．（2023秋 浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可知，，
又的长是小长方形宽的2倍，
即，
，
，
（负值舍去），
，
最外围的大正方形的边长，
故选．
6．（2023秋 舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且，，在同一直线，则的长为
A． B． C．6 D．5
【答案】
【解析】由题意得：，，
，
点是的中点，
，，
，
故选．
7．（2023秋 镇海区校级期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形的边长为定值，四个小正方形的边长分别为，，，，且三个直角三角形中，当变化时，以下说法错误的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】连接，过点作于，如图所示：
依题意得：，，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
于，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
故选项正确，
，
又，
，
故选项正确；
正确，显然不正确，
故选项不正确：
在中，，，
由勾股定理得：，
即，
在中，，，
由勾股定理得：，
即，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
故选项正确．
故选．
8．（2023秋 鄞州区期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，，则的长为 ．
【答案】．
【解析】如图，
在中，由勾股定理得，
，
，
将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．
，，
，
，
，
故答案为：．
9．（2023秋 婺城区期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图．
（1）若的面积为5，小正方形的面积为9，则 ；
（2）如图2，若，则 （用含的代数式表示）．
【解析】（1）设，，
若的面积为5，小正方形的面积为9，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2），，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（2023秋 余姚市期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点．若，则的长为 ．
【答案】．
【解析】过点作于点，设与交于点，如图，
四边形是正方形，
，
，
，
由题意得：，
，．
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
，
故答案为：．
11．（2023秋 滨江区期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
【答案】．
【解析】由题知，
令，，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
即．
在和中，
，
，
．
又，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
又四边形和的面积和为5，
，
即，
，
则．
又四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，
将四部分的面积相加得，
，
，
则．
，
则（舍负），
即的值为．
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项03 直角三角形与勾股定理
题型01 直角三角形全等的判定
题型02 直角三角形的判定与性质
题型03 勾股定理（常考）
题型04 勾股定理的应用
题型05 勾股定理的逆定理
题型06 勾股定理的证明（重难点）
题型01 直角三角形全等的判定
1．（2022秋 台州期末）下列说法正确的是
A．面积相等的两个三角形全等
B．形状相同的两个三角形全等
C．三个角分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
2．（2022秋 义乌市校级期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
3．（2022秋 鄞州区校级期末）如图，，，是上的一点，且，．
求证：．
4．（2023秋 松阳县期末）已知：如图，在中，于点，是上一点，连结交点于点，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
5．（2023秋 舟山期末）如图，于点，于点，与交于点，，，并连接．
（1）求证：平分．
（2）若，，求的长．
题型02 直角三角形的判定与性质
1．（2023秋 东阳市期末）在下列条件中不能判定△为直角三角形的是
A． B． C． D．
2．（2022秋 宁波期末）在△中，，，则的度数为
A． B． C． D．
3．（2022秋 嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是
A． B． C． D．
4．（2022秋 金华期末）如图，在中，，平分，交于点，若点恰好在边的垂直平分线上，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2022秋 余姚市校级期末）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于
A． B． C． D．
6．（2023秋 义乌市期末）已知，若，，则 度．
7．（2023秋 柯桥区期末）如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折得到．若，则的度数为 ．
8．（2023秋 温岭市期末）如图，四边形，对角线，交于点，已知，（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
题型03 勾股定理及其应用
1．（2024春 洪山区期末）如图，在△中，，若，，则的长是
A．1 B． C．2 D．
2．（2023秋 衢江区期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长是
A． B．4 C． D．
3．（2023秋 鄞州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为
A．4 B． C．4或 D．2或
4．（2023秋 宁波期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出
A．直角三角形的面积
B．最大半圆形的面积
C．较小两个半圆形的面积和
D．最大半圆形与直角三角形的面积和
5．（2023秋 衢州期末）如图，在中，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，，则的长度为
A． B． C． D．
6．（2023秋 鄞州区期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为13，则的长为
A．5 B． C． D．
7．（2023秋 武义县期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点作于点，延长交于点，则．④若，则．其中正确的结论个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ．
9．（2023秋 衢江区期末）本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇项目作业”：如图，在中，，，，请回答下列问题：
（1）求线段的长；
（2）用尺规作图的方法作直线交边于，连接，求的面积．
10．（2023秋 莲都区期末）如图，点为线段上一点，以为边向上作，且．以为底边向上作等腰三角形，且连结．
（1）求的度数；
（2）当时，求的值．
11．（2023秋 慈溪市期末）如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，．
（1）当，时，求的度数；
（2）当时，，，求的长．
12．（2023秋 武义县期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）设，交于点，求的长．
13．（2023秋 海曙区期末）阅读：如图1，在中，，，，求的长．
小明的思路：如图2，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得，为等腰三角形，由和，易得，为等腰三角形，依据已知条件可得和的长．
解决下列问题：
（1）图2中， ， ；
（2）在中，，，的对边分别为、、．如图3，当时，用含，式子表示．
题型04 勾股定理的应用
1．（2022秋 婺城区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 米．
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2023秋 嵊州市期末）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为0.7米．如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点将向外移动多少米？
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．0.6米
3．（2023秋 路桥区期末）如图是小安在荡秋千的侧面示意图．小安在起始位置处时，与地面垂直，当小安在处时，她离，的距离分别为，；当小安在处时，若，且她离的距离为，则此时小安离地面的高度是
A． B． C． D．
4．（2023秋 嘉兴期末）一艘轮船从港出发向西航行，折向北航行，平均航速均为20千米时，则时该轮船离港的距离为 ．
5．（2023秋 慈溪市期末）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙面下滑，那么点将向外移动 米．
6．（2023秋 开化县期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为 尺．
7．（2022秋 义乌市校级期末）气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，，，，，是固定钢架，垂直桌面，是位置可变的定长钢架．是两端固定的伸缩杆，其中，，，，是一个固定角为，当旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆的长度为 ．点的离地高度为，，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现，则桌面高度为 ．
8．（2023秋 婺城区期末）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆的底部（点之间的距离为5米．
【问题解决】求旗杆的高度．
9．（2023秋 浦江县期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“”，杉树标记为点“”，洞穴标记为点“”．
（1）根据这段记载，应用数学知识描述点与线段之间的关系．
（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点、的坐标分别为、，点到线段之间的距离为5（单位长度），求出洞穴到赤石的距离．
10．（2022秋 婺城区期末）笔直的河流一侧有一营地，河边有两个漂流点，、其中，由于周边施工，由到的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
题型05 勾股定理的逆定理
1．（2023秋 余姚市期末）下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是
A．5，12，13 B． C．2，3，4 D．6，8，10
2．（2022秋 拱墅区校级期末）三边长为、、，则下列条件能判断是直角三角形的是
A．，， B．
C．，， D．，，
3．（2023秋 舟山期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 莲都区期末）如图，在中，，，，是边上的中线，则的长度是
A．5 B．6.5 C．6 D．13
5．（2023秋 衢江区期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是
A．2，2，2 B．1，1， C．1，2， D．3，4，5
6．（2023秋 武义县期末）在中，，，，的对边分别为，，，下列条件不能判断为直角三角形的是
A． B．
C． D．，，
7．（2023秋 鄞州区期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
8．（2022秋 余姚市期末）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ．
9．（2023秋 诸暨市期末）已知三角形三条边长度为，，，其中，则这个三角形面积为 ．（化简结果）
10．（2023秋 杭州期末）△的三边长分别是、、，且，，，△是直角三角形吗？证明你的结论．
11．（2022秋 新昌县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1．
（1）写出，，三点坐标．
（2）判断的形状并说明理由．
12．（2023秋 玉环市期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，．
（1）求证：；
（2）求的长度．
13．（2022秋 越城区校级期末）如图，在四边形中，，，，．求：
（1）的度数．
（2）四边形的面积．
题型06 勾股定理的证明
1．（2023秋 义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为
A．7 B．10 C．13 D．15
2．（2023秋 南浔区期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 奉化区期末）如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于
A．14 B．16 C．18 D．20
4．（2023秋 金东区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为
A．2 B． C．3 D．
5．（2023秋 浦江县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是
A． B． C． D．
6．（2023秋 舟山期末）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且，，在同一直线，则的长为
A． B． C．6 D．5
7．（2023秋 镇海区校级期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形的边长为定值，四个小正方形的边长分别为，，，，且三个直角三角形中，当变化时，以下说法错误的是
A． B．
C． D．
8．（2023秋 鄞州区期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，，则的长为 ．
9．（2023秋 婺城区期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图．
（1）若的面积为5，小正方形的面积为9，则 ；
（2）如图2，若，则 （用含的代数式表示）．
10．（2023秋 余姚市期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点．若，则的长为 ．
11．（2023秋 滨江区期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ．
