中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项04一元一次不等式
题型01 不等式的基本性质
题型02 在数轴上表示不等式（组）的解集
题型03 解一元一次不等式（组）（常考）
题型04 一元一次不等式的整数解问题（难点）
题型05 一元一次不等式组的整数解问题（难点）
题型06 由一元一次不等式（组）解的问题求参数
题型07 根据实际问题列不等关系
题型08一元一次不等式的应用（重点）
题型09 一元一次不等式组的应用（重点）
题型01 不等式的基本性质
1．（2023秋 滨江区期末）已知，则下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
根据不等式的性质2，得；
根据不等式的性质3，得，即；
根据不等式的性质1和3，得；
根据不等式的性质3，得，
选项符合题意，选项，，不符合题意，
故选．
2．（2023秋 莲都区期末）若，，则下列不等式不成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．，，，故该选项正确，不符合题意；
．，，，故该选项正确，不符合题意；
．，，，故该选项不正确，符合题意；
．，，，故该选项正确，不符合题意．
故选．
3．（2023秋 东阳市期末）若表示正整数，且，则的值可以是
A． B．8 C． D．3
【答案】
【解析】，
，
故选．
4．（2023秋 江北区期末）由能得到，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
当时，，
故选．
5．（2023秋 上城区期末）下列四个不等式中，一定可以推出的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．，当时，，故本选项不符合题意；
．由可得，故本选项符合题意；
．不能推出，故本选项不符合题意；
．当时，，故本选项不符合题意．
故选．
6．（2023秋 北仑区期末）若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
选项不符合题意；
，
，
选项不符合题意；
，
，
选项不符合题意；
，
，
选项符合题意．
故选．
7．（2023秋 上虞区期末）若，则下列式子中一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
，
故符合题意；
、，
的符号不确定，
不一定成立，
故不符合题意；
故选．
8．（2023秋 海曙区校级期末）若，则下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
选项不符合题意；
，
，
选项不符合题意；
，
，
，
选项不符合题意；
，
时，；时，、均无意义；时，，
选项符合题意．
故选．
9．（2023秋 东阳市期末）若，则 0（填“”或“”或“” ．
【答案】．
【解析】不等式两边都减去，得．
故答案为：．
题型02 在数轴上表示不等式（组）的解集
1．（2023秋 新昌县期末）把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据数轴得：，
故选．
2．（2023秋 柯桥区期末）在数轴上表示不等式，正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
在数轴上表示为：
故选．
3．（2023秋 瓯海区校级期末）若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】这个不等式组可以是：．
故选．
4．（2023秋 浦江县期末）一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、解得，不符合题意；
、解得，符合题意；
、解得，不符合题意；
、解得，不符合题意；
故选．
5．（2022秋 拱墅区校级期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】不等式移项，得
，
系数化1，得
；
不包括3时，应用圈表示，不能用实心的原点表示3这一点答案；
故选．
6．（2023秋 长兴县期末）不等式组的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
表示在数轴上如下：
故选．
题型03 解一元一次不等式（组）
1．（2023秋 吴兴区期末）不等式的解为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
故选．
2．（2023秋 海曙区期末）关于的不等式的解为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】不等式的两边同时除以得，．
故选．
3．（2023秋 嵊州市期末）在下列解不等式的过程中，错误的一步是
A．去分母得 B．去括号得
C．移项得 D．系数化为1得
【答案】
【解析】去分母得，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，故错误．
故选．
4．（2023秋 南浔区期末）一元一次不等式的解集是 ．
【答案】．
【解析】，
系数化为1，得，
故答案为：．
5．（2023秋 金东区期末）如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】由题意可知，
解得，
故答案为：．
6．（2023秋 武义县期末）解不等式．
亮亮同学的解法如下：
解：去分母，得．①
移项，得．②
合并同类项，得．③
两边同除以，得．④
找出亮亮同学解答中错误的步骤，并写出正确的解答过程．
【解析】第①步错，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
两边同除以得，．
7．（2023秋 桐乡市期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．
【解析】，
，
，
，
，
．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
8．（2023秋 余姚市期末）解一元一次不等式组：．
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
9．（2023秋 莲都区期末）解不等式组，并把解在数轴上表示出来．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
10．（2023秋 镇海区校级期末）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
11．（2023秋 瓯海区校级期末）解不等式（组，并将解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
，
（2）由得，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
12．（2023秋 新昌县期末）解下列不等式或不等式组：
（1）．
（2）解不等式组．
【解析】（1），
．
（2），
由①得：；
由②得：；
则不等式组的解集为．
13．（2023秋 金东区期末）解不等式或不等式组：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为．
14．（2023秋 北仑区期末）解一元一次不等式（组
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
则，
；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
15．（2023秋 滨江区期末）解不等式（组
（1）；
（2）．
【解析】（1），
移项得，
合并得，
系数化为1得；
（2），
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
题型04 一元一次不等式的整数解问题
1．（2022秋 余姚市校级期末）已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
不等式只有2个负整数解，
不等式的负整数解为和，
则，
解得：．
故选．
2．（2023秋 奉化区期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
，
，
故选．
3．（2023秋 鄞州区期末）不等式的正整数解是 1，2，3 ．
【答案】1，2，3．
【解析】，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故其正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
4．（2023秋 义乌市期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数的最小值是 14 ．
【答案】14．
【解析】不等式的解集是：，
不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
，
的取值范围是．
整数的最小值是14．
故答案为：14．
5．（2023秋 嵊州市期末）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】由，得：，
因为不等式只有3个正整数解，
所以不等式的正整数解为1、2、3，
，
解得，
故答案为：．
6．（2022秋 鄞州区期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最大值是 13 ．
【答案】13．
【解析】解不等式，得．
关于的不等式的正整数解是1，2，3，
，
，
整数的最大值是13．
故答案为13．
题型05 一元一次不等式组的整数解问题
1．（2023秋 慈溪市期末）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则可以取的值为
A．1 B． C． D．2
【答案】
【解析】关于的不等式组有且仅有两个整数解，
整数解为3，4，
，
故选．
2．（2023秋 滨江区校级期末）不等式组有3个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】，
解不等式得：，
不等式组有3个整数解，一定是3，4，5．
则
解得：．
故选．
3．（2023秋 婺城区期末）已知关于的不等式组的整数解为1，2（其中，为整数），则满足条件的共有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】
【解析】解不等式得，
；
解不等式得，
；
因为不等式组的整数解为1，2，
所以，且，
则，．
又因为，为整数，
所以，，8，9，
所以满足条件的共有3对．
故选．
4．（2023秋 海曙区校级期末）若关于的不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
由题意可知，不等式组有解集，
该不等式组的解集是，
不等式组恰有3个整数解，
这三个整数解是5，6，7，
，
故选．
5．若数既使得关于、的二元一次方程组有正整数解，又使得关于的不等式组的解集为，那么所有满足条件的的值之和为 ．
【答案】．
【解析】，
解得：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，
二元一次方程组有正整数解，
是正整数且也是正整数，
，或，
所有满足条件的的值之和，
故答案为：．
题型06 由一元一次不等式（组）解的问题求参数
1．（2023秋 西湖区期末）若关于的不等式的解集为，则的值可以取
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】
【解析】关于的不等式的解集为，
，
则，
故选．
2．（2023秋 金东区期末）若关于的不等式组的解为，则下列各式正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】关于的不等式组的解为，
，
，
故选．
3．（2023秋 桐乡市期末）若不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】不等式组无解，
，
解得．
故答案为：．
4．（2023秋 镇海区校级期末）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
的范围是．
故答案为：．
5．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
关于的不等式组无解，
，
解得：，
故答案为：．
6．（2023秋 柯桥区期末）已知，且，，若，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】，
，
，，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
7．（2023秋 鄞州区校级期末）定义关于的一种运算：，如．
（1）若，且为正整数，求的值．
（2）若关于的不等式的解和的解相同，求的值．
【解析】（1），
，
解得，
为正整数，
；
（2）解不等式得，，
解不等式得，
关于的不等式的解和的解相同，
，
解得．
题型07 列一元一次不等式
1．（2023秋 鄞州区期末）减去2的差不大于0，用不等式表示为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意得：．
故选．
2．（2023秋 婺城区期末）根据数量关系“是正数”，可列出不等式： ．
【答案】．
【解析】根据题意得，
故答案为：．
3．（2023秋 瓯海区校级期末）“的3倍与4的差不小于2”用不等式可表示为 ．
【答案】．
【解析】由题意得：．
故答案为：．
4．（2023秋 上城区期末）与3的和的一半是负数，用不等式表示为
【答案】．
【解析】根据题意，得．
故答案为：．
5．（2023秋 北仑区期末）用不等式表示减去大于 ．
【答案】．
【解析】由题意得：．
故答案为：．
6．（2023秋 新昌县期末）“的3倍减去的差是正数”用不等式表示为 ．
【答案】．
【解析】“的3倍减去的差是正数”用不等式表示为，
故答案为：．
题型08一元一次不等式的应用
1．（2023秋 柯桥区期末）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
【答案】
【解析】由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够；
故选．
2．（2023秋 衢江区期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共30道抢答题，对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，选手小华想使得分不低于94分，则他至少答对多少道题
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】
【解析】设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题．
故选．
3．（2023秋 滨江区期末）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 2 题．
【答案】2．
【解析】设小滨答错了道题，则答对道题，
根据题意得：，
解得：，
又为自然数，
的最大值为2，
小滨至多答错了2道题．
故答案为：2．
4．（2023秋 舟山期末）小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高，枫树高．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高，枫树的平均生长速度是每年长高．请问小明现在的年龄应该超过 12 岁．
【答案】12．
【解析】设现在距离小明4岁那年已经过了年，
由题意得：，
解得，
则，
即小明现在的年龄应该超过12岁，
故答案为：12．
5．（2023秋 莲都区期末）小明欲购买、款糖果共50千克，已知款糖果的单价为10元千克，款糖果的单价为15元千克．为保证最终购买的平均单价不高于13元千克，小明至少购买款糖果 20 千克．
【答案】20．
【解析】设购买款糖果千克，则购买款糖果千克，根据题意得：
，
解得：，
小明至少购买款糖果20千克．
故答案为：20．
6．（2023秋 义乌市期末）小慧用80元钱到商店购买钢笔和笔记本共20件．已知该店钢笔为7元支，笔记本为2元本，则小慧最多能买 8 支钢笔．
【答案】8．
【解析】设小慧买了支钢笔，则买了本笔记本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为8，
即最多购买8支钢笔．
故答案为：8．
7．（2023秋 上虞区期末）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．假如现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有克糖；现在再向其中添加10克糖，据此我们可以提炼出一个关于糖水的不等式．小聪得到的不等式是“”；小敏得到的不等式是“”．聪明的你认为 小敏 所得到的不等式是正确的．
【答案】小敏．
【解析】，
，
，
，
，
不能确定的正负，
小聪得到的不等式不一定正确；
，
，
，
，
，
，
小敏得到的不等式正确；
故答案为：小敏．
8．（2023秋 开化县期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破．智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利．某连锁酒店计划向机器人公司购买型号和型号送餐机器人共40台，其中型号机器人不少于型号机器人的倍．
（1）该连锁酒店最多购买几台型号机器人？
（2）机器人公司报价型号机器人7万元台，型号机器人9万元台，要使总费用不超过313万元，则有哪几种购买方案？
【解析】（1）设该连锁酒店购买台型号机器人，则购买台型号机器人，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为25．
答：该连锁酒店最多购买25台型号机器人；
（2）根据题意得：，
解得：，
又，且为正整数，
可以为24，25，
共有2种购买方案，
方案1：购买24台型号机器人，16台型号机器人；
方案2：购买25台型号机器人，15台型号机器人．
9．（2023秋 衢州期末）在数字化校园建设工程中，学校计划购进一批笔记本电脑和台式电脑，经过市场调研得知：买10台台式电脑的钱等于买6台笔记本电脑的钱，买10台笔记本电脑的价格比买6台台式电脑的价格贵48000元．
（1）台式电脑和笔记本电脑的单价多少元？
（2）若学校计划总共购买22台电脑，但总支出不超过15万，则学校最少可以购买几台台式电脑？
【解析】（1）设台式电脑和笔记本电脑的单价分别为元和元，根据题意得：
，
解得：，
答：台式电脑和笔记本电脑的单价分别为4500元和7500元；
（2）设购买台台式电脑，则购买台笔记本电脑，根据题意得：
，
解得，
即学校最少可以购买5台台式电脑．
10．（2023秋 慈溪市期末）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为和，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
【解析】（1）设1个甲部件的质量是 ，1个甲部件的质量是 ，
根据题意得：，
解得：．
答：1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是；
（2）设货运电梯一次可装运套设备，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为7．
答：货运电梯一次最多可装运7套设备．
11．（2023秋 吴兴区期末）
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买、两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个款亚运盲盒、10个款亚运盲盒，共需230元；若买25个款亚运盲盒、25个款亚运盲盒，共需450元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求款亚运盲盒和款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个， 若在线下商店购买，共需要 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【解析】（任务设该商店在无促销活动时，款亚运盲盒的销售单价是元，款亚运盲盒的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时，款亚运盲盒的销售单价是10元，款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务根据题意得：在线下商店购买，共需要（元；
在线上淘宝店购买，共需要（元．
故答案为：，；
（任务根据题意得：，
解得：，
又，
．
答：当购买款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
题型09 一元一次不等式组的应用
1．（2023秋 西湖区期末）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为元，每个蛋糕的售价为120元，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：，
解得：，
故选．
2．（2023秋 衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
【答案】
【解析】根据题意，设一颗玻璃球的体积为 ，
则有：，
解得：，
一颗玻璃球的体积在以上，以下，
故选．
3．（2023秋 松阳县期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为40公斤，60公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则满足题意的不等式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得：，
解得：，
故选．
4．（2023秋 上城区期末）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
（1）求一个大玻璃球的体积；
（2）放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
【解析】（1）根据题意得：容器的底面积为，
一个大玻璃球的体积为．
答：一个大玻璃球的体积为；
（2）设一个小玻璃球的体积是 ，
根据题意得：，
解得：．
答：一个小玻璃球体积的大于且不大于．
5．（2023秋 瓯海区校级期末）为了抓住开学的商机，某商店决定购进，两种计算器，若购进种计算器8件，种计算器3件，需要625元；若购进种计算器6件，种计算器5件，需要675元．
（1）求购进，两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进种计算器的数量不少于种计算器数量的4倍，且不超过种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种计算器可获利润10元，每件种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）设该商店购进一件种计算器需要元，购进一件种计算器需要元．
则，
解得：，
购进一件种计算器需要50元，购进一件种计算器需要75元；
（2）设该商店购进种计算器个，购进种计算器个，可得：
，
解得，
为正整数，
共有3种进货方案，即：种计算器79个，种计算器14个；
种计算器76个，种计算器16个；种计算器73个，种计算器18个；
（3）设总利润为元．
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，
（元，
当购进种计算器79台，种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元．
6．（2023秋 慈溪市期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买，两种航天器模型作为奖品．已知购买1个模型和1个模型共需159元；购买3个模型和2个模型共需374元．
（1）求模型和模型的单价；
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买模型和模型共20个，但要求购买模型的数量多于12个，且不超过模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【解析】（1）设模型的单价是元，模型的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：模型的单价是56元，模型的单价是103元；
（2）设购买个模型，则购买个模型，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的值为13，14，15，
该学校共有3种购买方案，
方案1：购买13个模型，7个模型，所需费用为（元；
方案2：购买14个模型，6个模型，所需费用为（元；
方案3：购买15个模型，5个模型，所需费用为（元，
，
购买15个模型，5个模型费用最少，该方案所需的费用为1355元．
7．（2023秋 义乌市期末）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
【解析】（1）设租用甲种货车辆，租用乙种货车为辆，
根据题意得，
由①得，
由②得，
，
为正整数，
或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车辆，租用乙种货车为辆，设两种货车燃油总费用为元，
由题意得，
，
，
随值增大而增大，当时，有最小值，
元；
方法二：
当时，辆，
元；
当时，辆，
元；
当时，辆，
元．
答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是21200元．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项04 一元一次不等式
题型01 不等式的基本性质
题型02 在数轴上表示不等式（组）的解集
题型03 解一元一次不等式（组）（常考）
题型04 一元一次不等式的整数解问题（难点）
题型05 一元一次不等式组的整数解问题（难点）
题型06 由一元一次不等式（组）解的问题求参数
题型07 根据实际问题列不等关系
题型08一元一次不等式的应用（重点）
题型09 一元一次不等式组的应用（重点）
题型01 不等式的基本性质
1．（2023秋 滨江区期末）已知，则下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 莲都区期末）若，，则下列不等式不成立的是
A． B． C． D．
3．（2023秋 东阳市期末）若表示正整数，且，则的值可以是
A． B．8 C． D．3
4．（2023秋 江北区期末）由能得到，则
A． B． C． D．
5．（2023秋 上城区期末）下列四个不等式中，一定可以推出的是
A． B． C． D．
6．（2023秋 北仑区期末）若，则
A． B． C． D．
7．（2023秋 上虞区期末）若，则下列式子中一定成立的是
A． B．
C． D．
8．（2023秋 海曙区校级期末）若，则下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
9．（2023秋 东阳市期末）若，则 0（填“”或“”或“” ．
题型02 在数轴上表示不等式（组）的解集
1．（2023秋 新昌县期末）把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为
A． B． C． D．
2．（2023秋 柯桥区期末）在数轴上表示不等式，正确的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 瓯海区校级期末）若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是
A． B． C． D．
4．（2023秋 浦江县期末）一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为
A． B． C． D．
5．（2022秋 拱墅区校级期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
6．（2023秋 长兴县期末）不等式组的解集在数轴上表示为
A． B．
C． D．
题型03 解一元一次不等式（组）
1．（2023秋 吴兴区期末）不等式的解为
A． B． C． D．
2．（2023秋 海曙区期末）关于的不等式的解为
A． B． C． D．
3．（2023秋 嵊州市期末）在下列解不等式的过程中，错误的一步是
A．去分母得 B．去括号得
C．移项得 D．系数化为1得
4．（2023秋 南浔区期末）一元一次不等式的解集是 ．
5．（2023秋 金东区期末）如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．
6．（2023秋 武义县期末）解不等式．
亮亮同学的解法如下：
解：去分母，得．①
移项，得．②
合并同类项，得．③
两边同除以，得．④
找出亮亮同学解答中错误的步骤，并写出正确的解答过程．
7．（2023秋 桐乡市期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．
8．（2023秋 余姚市期末）解一元一次不等式组：．
9．（2023秋 莲都区期末）解不等式组，并把解在数轴上表示出来．
10．（2023秋 镇海区校级期末）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
11．（2023秋 瓯海区校级期末）解不等式（组，并将解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
12．（2023秋 新昌县期末）解下列不等式或不等式组：
（1）．
（2）解不等式组．
13．（2023秋 金东区期末）解不等式或不等式组：
（1）；
（2）．
14．（2023秋 北仑区期末）解一元一次不等式（组
（1）；
（2）．
15．（2023秋 滨江区期末）解不等式（组
（1）；
（2）．
题型04 一元一次不等式的整数解问题
1．（2022秋 余姚市校级期末）已知关于的不等式只有两个负整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023秋 奉化区期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2023秋 鄞州区期末）不等式的正整数解是 ．
4．（2023秋 义乌市期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数的最小值是 ．
5．（2023秋 嵊州市期末）已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为 ．
6．（2022秋 鄞州区期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最大值是 ．
题型05 一元一次不等式组的整数解问题
1．（2023秋 慈溪市期末）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则可以取的值为
A．1 B． C． D．2
2．（2023秋 滨江区校级期末）不等式组有3个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2023秋 婺城区期末）已知关于的不等式组的整数解为1，2（其中，为整数），则满足条件的共有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2023秋 海曙区校级期末）若关于的不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．若数既使得关于、的二元一次方程组有正整数解，又使得关于的不等式组的解集为，那么所有满足条件的的值之和为 ．
题型06 由一元一次不等式（组）解的问题求参数
1．（2023秋 西湖区期末）若关于的不等式的解集为，则的值可以取
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（2023秋 金东区期末）若关于的不等式组的解为，则下列各式正确的是
A． B． C． D．
3．（2023秋 桐乡市期末）若不等式组无解，则的取值范围为 ．
4．（2023秋 镇海区校级期末）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
5．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
6．（2023秋 柯桥区期末）已知，且，，若，则的取值范围是 ．
7．（2023秋 鄞州区校级期末）定义关于的一种运算：，如．
（1）若，且为正整数，求的值．
（2）若关于的不等式的解和的解相同，求的值．
题型07 列一元一次不等式
1．（2023秋 鄞州区期末）减去2的差不大于0，用不等式表示为
A． B． C． D．
2．（2023秋 婺城区期末）根据数量关系“是正数”，可列出不等式： ．
3．（2023秋 瓯海区校级期末）“的3倍与4的差不小于2”用不等式可表示为 ．
4．（2023秋 上城区期末）与3的和的一半是负数，用不等式表示为
5．（2023秋 北仑区期末）用不等式表示减去大于 ．
6．（2023秋 新昌县期末）“的3倍减去的差是正数”用不等式表示为 ．
题型08一元一次不等式的应用
1．（2023秋 柯桥区期末）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
2．（2023秋 衢江区期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共30道抢答题，对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，选手小华想使得分不低于94分，则他至少答对多少道题
A．15 B．18 C．20 D．22
3．（2023秋 滨江区期末）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题．
4．（2023秋 舟山期末）小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高，枫树高．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高，枫树的平均生长速度是每年长高．请问小明现在的年龄应该超过 岁．
5．（2023秋 莲都区期末）小明欲购买、款糖果共50千克，已知款糖果的单价为10元千克，款糖果的单价为15元千克．为保证最终购买的平均单价不高于13元千克，小明至少购买款糖果
千克．
6．（2023秋 义乌市期末）小慧用80元钱到商店购买钢笔和笔记本共20件．已知该店钢笔为7元支，笔记本为2元本，则小慧最多能买 支钢笔．
7．（2023秋 上虞区期末）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．假如现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有克糖；现在再向其中添加10克糖，据此我们可以提炼出一个关于糖水的不等式．小聪得到的不等式是“”；小敏得到的不等式是“”．聪明的你认为 所得到的不等式是正确的．
8．（2023秋 开化县期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破．智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利．某连锁酒店计划向机器人公司购买型号和型号送餐机器人共40台，其中型号机器人不少于型号机器人的倍．
（1）该连锁酒店最多购买几台型号机器人？
（2）机器人公司报价型号机器人7万元台，型号机器人9万元台，要使总费用不超过313万元，则有哪几种购买方案？
9．（2023秋 衢州期末）在数字化校园建设工程中，学校计划购进一批笔记本电脑和台式电脑，经过市场调研得知：买10台台式电脑的钱等于买6台笔记本电脑的钱，买10台笔记本电脑的价格比买6台台式电脑的价格贵48000元．
（1）台式电脑和笔记本电脑的单价多少元？
（2）若学校计划总共购买22台电脑，但总支出不超过15万，则学校最少可以购买几台台式电脑？
10．（2023秋 慈溪市期末）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为和，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
11．（2023秋 吴兴区期末）
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买、两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个款亚运盲盒、10个款亚运盲盒，共需230元；若买25个款亚运盲盒、25个款亚运盲盒，共需450元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求款亚运盲盒和款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买、两款盲盒共40个，其中款盲盒个， 若在线下商店购买，共需要 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
题型09 一元一次不等式组的应用
1．（2023秋 西湖区期末）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为元，每个蛋糕的售价为120元，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023秋 衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
3．（2023秋 松阳县期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为40公斤，60公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则满足题意的不等式是
A． B． C． D．
4．（2023秋 上城区期末）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
（1）求一个大玻璃球的体积；
（2）放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
5．（2023秋 瓯海区校级期末）为了抓住开学的商机，某商店决定购进，两种计算器，若购进种计算器8件，种计算器3件，需要625元；若购进种计算器6件，种计算器5件，需要675元．
（1）求购进，两种计算器每台需多少元？
（2）若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进种计算器的数量不少于种计算器数量的4倍，且不超过种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件种计算器可获利润10元，每件种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
6．（2023秋 慈溪市期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买，两种航天器模型作为奖品．已知购买1个模型和1个模型共需159元；购买3个模型和2个模型共需374元．
（1）求模型和模型的单价；
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买模型和模型共20个，但要求购买模型的数量多于12个，且不超过模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
7．（2023秋 义乌市期末）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
