湘教版（2024）七上3.8三元一次方程组学案

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3.8 三元一次方程组
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解三元一次方程，三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
2.经历解三元一次方程组的过程，进一步体会“消元”思想在解方程组中的应用。
3.通过对三元一次方程组的学习，激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生分析问题、解决问题的能力与探索精神。
学习重点：理解三元一次方程，三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组
学习难点：能解简单的三元一次方程组
预习自测
一、单选题
1．下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝
C．xy＝z D．x＋y－z＝2 015
2．下列不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 ．
概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元一次方程组的解．
4．通过“ ”或“ ”进行消元，把“三元”转化为“ ”，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 ．
教学过程
一、合作交流、新知探究
探究一：三元一次方程、三元一次方程组
教材第135页
说一说：类比一元一次方程和二元一次方程的概念，请你给出三元一次方程和三元一次方程组的概念。
探究二：解三元一次方程组
教材第135页
做一做：已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12. 设个位数字为 x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
思考：解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
下面我们以为例来探索三元一次方程组的解法.
例1：解三元一次方程组：
例2 解三元一次方程组：
做一做：自己动手求出本节开篇“做一做”栏目中的三位数，并将结果与同学进行对比.
二、自主检测
一、单选题
1．解方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
2．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
三、解答题
5．解方程组．
三、知识点总结
1.三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
2. 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程.
3.三元一次方程组的解：对于未知数为 x，y，z 的三元一次方程组，若 x，y，z 分别用数 ， ， 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ， ， ）叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
三元一次方程组的解法：解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解 . 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.
预习自测参考答案：
1．D
2．B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意．
C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
3． 三元一次方程组 公共解
4． 代入 加减 二元 二元一次方程组 一元一次方程
自主检测参考答案：
1．B
【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小，
本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组．
【详解】解：，
②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组，
故选：．
2．B
【分析】本题考查解三元一次方程组，根据方程组特点，将三个方程相加得到，进而求解代值即可．
【详解】解：
得：，即，
将①代入④，得，
将②代入④，得，
将③代入④，得，
∴方程组的解为，
故选：B
3．A
【分析】本题考查了三元一次方程组以及加减消元法，运用加减消元法消去c即可得到答案，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：，
②﹣①，得，即④
②×3+③，得，即⑤
由④⑤可知，A选项正确，
故选：A．
4．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解．
【详解】解：∵是三元一次方程组的解，
∴将代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
5．原方程组的解是
【分析】本题考查解三元一次方程组，先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题．
【详解】解：，
，得，
，得，
解得，
将代入②，得，
将，代入①，得．
故原方程组的解是．
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