湘教版（2024）七上3.7.1二元一次方程组的应用 学案

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3.7.1 二元一次方程组的应用
学习目标与重难点
学习目标：
1. 掌握用二元一次方程组解决简单实际问题的基本步骤，能用二元一次方程组解决实际问题。
2. 经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，发展学生逻辑思维和解决问题的能力
3. 感受数学建模的过程，体会数学知识在实际生活中的应用，发展用数学解决实际问题的意识
学习重点：掌握用二元一次方程组解决简单实际问题的基本步骤
学习难点：正确找出两个等量关系，列出二元一次方程组，能用二元一次方程组解决实际问题
预习自测
一、单选题
1．在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x与y所适合的方程组是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
（1） ：弄清题意和题目中的数量关系；
（2） ：用字母表示题目中的未知数；
（3） ：根据两个等量关系列出方程组；
（4） ：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
（5） ：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
4．桌子上堆了两堆碗，每个碗大小完全相同，如图是这两堆碗的主视图，两堆碗的高度分别是和，那么把这两堆碗堆在一起的高度是 ．

教学过程
一、问题提出、导入新课
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17. 小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？
本题的等量关系是：
尝试解这个问题：
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程组的应用
教材第111页
练一练：例1：某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练 . 某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5 km，共用时15 min. 求自行车路段和长跑路段的长度.
本题的等量关系是：
尝试解这个问题：
例2：甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%.求甲、乙两种商品原来的单价.
本题的等量关系：
尝试解这个问题：
做一做：用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，与同学交流.
三、自主检测
一、单选题
1．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．根据下列情境中的等量关系列出一个等式：
（1）比a的3倍大5的数是： ；
（2）练习本每本a元，笔记本每本b元，买5本练习本、3本笔记本总共付了元： ．
三、解答题
4．已知书店中文学类书籍的售价为20元/本，科技类书籍的售价为30元/本．若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本．
5．甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定将甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，这样，商店共获利114元．
(1)若甲玩具的成本为元，则甲玩具的标价是________元，甲玩具的售价是________元，若乙玩具的成本是元，则乙玩具的标价是________元，乙玩具的售价是________元；（用含的式子填空）
(2)在（1）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元；
(3)在（1）的条件下，商店老板决定投入1 000元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每种玩具至少购进1个，那么可以怎样安排进货？
知识点总结
用二元一次方程解决实际问题的基本步骤：
分析实际题目找出两个等量关系
列出二元一次方程组
解方程组
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
预习自测参考答案：
1．D
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，
由题意可得：，
故选：D．
2．D
【分析】此题的等量关系为：①1元的贺卡张数元的贺卡张数张； ②1元的贺卡钱数元的贺卡钱数元．根据这两个等量关系列出方程组即可．
【详解】解：根据1元的贺卡张数元的贺卡张数张，得方程；
根据1元的贺卡钱数元的贺卡钱数元，得方程为．
∴所列方程组为．
故选D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点，解答本题的关键是理解题意，找到关键描述语，进而找到等量关系是解决问题的关键．
3． 审题 设元 列方程组 解方程组 检验并答
【解析】略
4．
【分析】设每个碗的高度为 ，两个碗堆起来时上一个碗露出来的高度为 ，根据两堆碗的高度分别是和，列出方程组并解答．
【详解】解：设一个碗的高度为，,两个碗堆起来时上一个碗露出来的高度为，依题意得：
解得：
把这两堆碗堆在一起的高度是
（）．
故两堆碗堆在一起时的高度是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解二元一次方程组的应用的题目关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
自主检测参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题的关键．设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，根据甲种礼包的数量4乙种礼包的数量3，甲种礼包的数量1乙种礼包的数量2，列方程组即可．
【详解】解：设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件， 根据题意得
，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据“制作盒身和制作盒底的纸板共95张，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子（即制作的盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍）”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张，
∴；
∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
3．
【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
根据题意中的等量关系列方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
故答案为：．
4．书店销售60本文学类书籍，30本科技类书籍
【详解】解：设书店销售本文学类书籍，本科技类书籍，
根据题意得：解得
答：书店销售60本文学类书籍，30本科技类书籍．
5．(1)
(2)甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元
(3)共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）利用标价=成本价×（1+利润率）及售价=标价×折扣率，即可用含x，y的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价；
（2）根据“甲、乙两个玩具的成本共300元，两个玩具打折销售后共获利114元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购进m个甲玩具，n个乙玩具，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案．
【详解】（1）解：∵甲玩具的成本为x元，乙玩具的成本是y元，甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，
∴甲玩具的标价为 (元)，乙玩具的标价为 (元)．
又∵在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的九折出售，
∴甲玩具的售价为 (元)，乙玩具的售价为 (元)．
（2）解：依题意，得
解得
答：甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元．
（3）解：设购进m个甲玩具，n个乙玩具，
依题意，得，化简得．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或
∴共有4种进货方案，方案1：购进8个甲玩具，1个乙玩具；方案2：购进6个甲玩具，2个乙玩具；方案3：购进4个甲玩具，3个乙玩具；方案4：购进2个甲玩具，4个乙玩具．
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