湘教版（2024）七上3.7.2二元一次方程的应用学案

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3.7.2 二元一次方程组的应用
学习目标与重难点
学习目标：
1. 掌握二元一次方程组在实际问题中的应用。
2.经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体验从实际问题中抽象出数学模型的过程，感受数学在实际生活中的应用价值，提高数学的应用意识。
3.培养学生对二元一次方程组的应用的兴趣，提升学生的问题解决能力。
学习重点：掌握二元一次方程组在实际问题中的应用。
学习难点：寻找实际问题中的等量关系，以及利用方程组表示问题中的数量关系。
预习自测
一、单选题
1．两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米？若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则所列方程组应该是（ ）．
A． B． C． D．
2．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6相遇一次，已知甲比乙跑得快，则甲每分跑（ ）
A．圈 B．圈 C．圈 D．圈
二、填空题
3．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小强跑了．此后两人分别以/和/匀速跑，又过时小强追上小明，时小强到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为 ．
三、解答题
4．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下面是小明每隔1 h看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
12：00时，是一个两位数，它的两个数字之和为7
13：00时，十位与个位数字与12：00时所看到的正好互换了．
14：00时，比12：00时看到的两位数中间多了个0
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
(1)12：00时小明看到的数可表示为 ，
根据两个数字和是7，可列出方程 ；
(2)13：00时小明看到的数可表示为 ，
12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；
(3)14：00时小明看到的数可表示为 ，
13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；
(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
教学过程
一、问题提出、导入新课
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路 . 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家里需 10min. 试问：小华家离学校多远？
本题中的等量关系有：
尝试解这个问题：
二、合作交流、新知探究
探究一：二元一次方程组的应用
教材第131页
练一练：例3某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车数/辆
乙种货车数/辆
累计运货量/t
该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元？
本题的等量关系是：
尝试解这个问题：
例4：对于多项式 kx+b（其中 k，b 为常数），若 x 分别用 1，-1 代入时，kx+b的值分别为-1，3，求k和b的值.
三、自主检测
一、单选题
1．某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．甲、乙两地相距千米，小轿车从甲地出发，小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行千米．设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分．
三、解答题
4．A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度．
5．小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
知识点总结
用二元一次方程解决实际问题的基本步骤：
分析实际题目找出两个等量关系
列出二元一次方程组
解方程组
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解
预习自测参考答案：
1．D
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据题意列出方程组即可．
【详解】解：若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，
根据题意得出：，
故选D．
2．B
【分析】设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得，计算求解即可．
【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，
由题意得，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程组．
3．2500
【分析】根据两人的全程的距离相同可得出，再由当小明跑了时，小强跑了．此后两人分别以/和/匀速跑，又过时小强追上小明，可以得到，解方程求出、的值，由此求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：
所以
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
4．(1)10x＋y，x＋y＝7
(2)10y＋x， (10y＋x)－(10x＋y)
(3)100x＋y， (100x＋y)－(10y＋x)
(4)相等，(10y＋x)－(10x＋y)＝(100x＋y)－(10y＋x)
【详解】（1）10x＋y，x＋y＝7；
（2）10y＋x， (10y＋x)－(10x＋y)；
（3）100x＋y， (100x＋y)－(10y＋x)；
（4）解：相等，可列方程(10y＋x)－(10x＋y)＝(100x＋y)－(10y＋x)．
在解决具体问题时，不一定直接设未知数，间接设未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段．
自主检测参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设水流的速度为，船在静水中的速度为，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果．
【详解】解：设水流的速度为，船在静水中的速度为，
根据同意有：，
解得：，
故水流的速度为，船在静水中的速度为，
故选：A．
2．B
【分析】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，据此即可求得答案．
【详解】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程大客车行驶的路程千米，小轿车的速度大客车的速度千米，设大客车每小时行千米，小轿车每小时行千米，可得
故选：B．
【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程组，能根据题目中的等量关系得到二元一次方程组是解题的关键．
3．50
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可．
【详解】解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分，
依题意，得，解得，
故风速是50里/分，
故答案为：50．
4．甲的骑行速度为，乙的骑行速度为．
【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，
依题意得
解得
答：甲的骑行速度为，乙的骑行速度为．
5．(1)2倍
(2)20圈
【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得
∴．
答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．
（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得
，解得．
答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．
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