/ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
学校: 年级: 姓名: 考号:
注意事项:
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁,不折叠、不破损。
5.考试范围:浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章(二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系)。
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分,每题均有四个选项,其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1.(新情景试题 实际应用)神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊的巴台农神庙,我们把图中的虚线表示为矩形,并发现,这体现了数学中的( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
2.在 ABC中,都是锐角,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为2,圆心到直线的距离,则直线与的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.无法判断
4.下列说法正确的是( )
A.两个负数相乘,积是正数是不可能事件
B.“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C.射击运动员射击一次,命中十环是必然事件
D.“掷一次骰子,向上一面的点数是”是随机事件
5.如图,的直径垂直弦于点E,且,则的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.2
6.如图,六边形为的内接正六边形,直线l与,分别交于点G,H,则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中, ABC的顶点坐标分别是,以原点为位似中心,在原点的同侧画,使与 ABC成位似图形,且相似比为,则的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8.若是抛物线上的三点,则为的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.如图,在 ABC中,是角平分线,的交点,若,,则的值是( )
A. B. C. D.
10.二次函数的图象如图所示,给出下列说法中:①;②;③;④;⑤当时,.其中正确的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,满分18分,每小题3分,请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。)
11.若,则 .
12.将二次函数的图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,可以得到二次函数 的图象.
13.(新情景试题 实际应用)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,为的黄金分割点,已知,则 .(答案保留根号)
14.(新情景试题 实际应用)学校科学社团成员制作了一个物体发射器,可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体,已知发射出的物体离地面的高度(单位:)满足关系式,其中(单位:)是物体运动的时间,(单位:)是物体被发射时的初始速度.若发射小球时的初始速度,当小球离地面的高度为时,的值为 s.
15.如图,在半径为1的上顺次取点,,,,,连接,,,,,.若,,则与的长度之和为 (结果保留π).
16.如图,在 ABC中,,过点作于点,在上取点,使得,连接并延长交于点,为的中点,连接,若,,则 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分8分)计算:
(1)
(2).
18.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)在一只不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字1,2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏,规则为:两人同时从袋中随机各摸出1个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平;
(2)在不增减小球数量的前提下,请你制定一个对甲乙双方都公平的规则,并简要说明理由.
19.(本题满分8分)如图,是 ABC的边上的一点,连接,已知.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
20.(本题满分8分)如图,为的直径,弦于,为圆上一点,平分,交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
21.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)如图1是公交车的站台,主要由顶棚、站牌、底座构成.图2是其截面示意图,站牌截面是矩形,边平行于地面,边垂直于地面,顶棚与站牌上端的夹角,底座与地面的夹角.经测量.(结果精确到;参考数据:)
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离;
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离.
22.(本题满分10分)如图,是的直径,是的弦,半径,交于点F,点D在的延长线上,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
23.(本题满分10分)已知关于的函数可以写成关于的形式.例:关于的函数,令,当时,则.
(1)若函数,求的值;
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q.若的面积为且点为坐标原点,求的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,函数的图象上不同的两点,,若时,.函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上,求函数的解析式.
24.(本题满分12分)如图,在矩形中,,,动点以的速度沿着折线,运动到点时停止.已知与关于直线对称,连接.设运动时间为.
(1)当点落在对角线上时,________;
(2)当点在上运动时,点,,能否在同一条直线上?如果能,请求出的值;如果不能,请说明理由,并求出的面积的最小值;
(3)连接,若是直角三角形,请直接写出的值./ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
学校: 年级: 姓名: 考号:
注意事项:
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁,不折叠、不破损。
5.考试范围:浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章(二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系)。
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分,每题均有四个选项,其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1.(新情景试题 实际应用)神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊的巴台农神庙,我们把图中的虚线表示为矩形,并发现,这体现了数学中的( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
2.在 ABC中,都是锐角,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为2,圆心到直线的距离,则直线与的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.无法判断
4.下列说法正确的是( )
A.两个负数相乘,积是正数是不可能事件
B.“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C.射击运动员射击一次,命中十环是必然事件
D.“掷一次骰子,向上一面的点数是”是随机事件
5.如图,的直径垂直弦于点E,且,则的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.2
6.如图,六边形为的内接正六边形,直线l与,分别交于点G,H,则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中, ABC的顶点坐标分别是,以原点为位似中心,在原点的同侧画,使与 ABC成位似图形,且相似比为,则的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8.若是抛物线上的三点,则为的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.如图,在 ABC中,是角平分线,的交点,若,,则的值是( )
A. B. C. D.
10.二次函数的图象如图所示,给出下列说法中:①;②;③;④;⑤当时,.其中正确的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,满分18分,每小题3分,请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。)
11.若,则 .
12.将二次函数的图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,可以得到二次函数 的图象.
13.(新情景试题 实际应用)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,为的黄金分割点,已知,则 .(答案保留根号)
14.(新情景试题 实际应用)学校科学社团成员制作了一个物体发射器,可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体,已知发射出的物体离地面的高度(单位:)满足关系式,其中(单位:)是物体运动的时间,(单位:)是物体被发射时的初始速度.若发射小球时的初始速度,当小球离地面的高度为时,的值为 s.
15.如图,在半径为1的上顺次取点,,,,,连接,,,,,.若,,则与的长度之和为 (结果保留π).
16.如图,在 ABC中,,过点作于点,在上取点,使得,连接并延长交于点,为的中点,连接,若,,则 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分8分)计算:
(1)
(2).
18.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)在一只不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字1,2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏,规则为:两人同时从袋中随机各摸出1个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平;
(2)在不增减小球数量的前提下,请你制定一个对甲乙双方都公平的规则,并简要说明理由.
19.(本题满分8分)如图,是 ABC的边上的一点,连接,已知.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
20.(本题满分8分)如图,为的直径,弦于,为圆上一点,平分,交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
21.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)如图1是公交车的站台,主要由顶棚、站牌、底座构成.图2是其截面示意图,站牌截面是矩形,边平行于地面,边垂直于地面,顶棚与站牌上端的夹角,底座与地面的夹角.经测量.(结果精确到;参考数据:)
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离;
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离.
22.(本题满分10分)如图,是的直径,是的弦,半径,交于点F,点D在的延长线上,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
23.(本题满分10分)已知关于的函数可以写成关于的形式.例:关于的函数,令,当时,则.
(1)若函数,求的值;
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q.若的面积为且点为坐标原点,求的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,函数的图象上不同的两点,,若时,.函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上,求函数的解析式.
24.(本题满分12分)如图,在矩形中,,,动点以的速度沿着折线,运动到点时停止.已知与关于直线对称,连接.设运动时间为.
(1)当点落在对角线上时,________;
(2)当点在上运动时,点,,能否在同一条直线上?如果能,请求出的值;如果不能,请说明理由,并求出的面积的最小值;
(3)连接,若是直角三角形,请直接写出的值./ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名:______________班级:______________
准考证号
一
一、选择题(请用2B铅笔填涂)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、 24题、/ 让教学更有效
18题、
【押题金卷】2024-2025 学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名:______________班级:______________ 条 码 粘 贴 处
(正面朝上贴在此虚线框内)
准考证号
缺考标记 注意事项
1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
缺考标记!只 3、选择题必须使用 2B铅笔填涂;非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工整
能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。
负责用黑色字 5、保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。
迹的签字笔填 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一涂。
一、选择题(请用 2B铅笔填涂)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
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[C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C]
[D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D]
二、填空题 19题、
11. 、 12. 、 13. 、
14. 、 15. 、 16. 、
三、解答题
17题、
/ 让教学更有效
22题、
20题、
21题、 23题、
/ 让教学更有效
24题、【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名:______________班级:______________
准考证号
一、选择题(请用2B铅笔填涂)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、 24题、【押题金卷】2024-2025 学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名:______________班级:______________ 条 码 粘 贴 处
准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内)
缺考标记 注意事项
1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
缺考标记!只能 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工整
由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。
责用黑色字迹 5、保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。
的签字笔填涂。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一、选择题(请用 2B铅笔填涂)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
[B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B]
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[D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D]
二、填空题
11. 、 12. 、 13. 、
14. 、 15. 、 16. 、
三、解答题
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、中小学教育资源及组卷应用平台
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
学校: 年级: 姓名: 考号:
注意事项:
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁,不折叠、不破损。
5.考试范围:浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章(二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系)。
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分,每题均有四个选项,其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1.(新情景试题 实际应用)神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊的巴台农神庙,我们把图中的虚线表示为矩形,并发现,这体现了数学中的( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
【答案】D
【分析】本题考查的是黄金分割比,根据黄金分割比为即可求解.
【详解】解:∵,
∴体现了数学中的黄金分割;
故选:D.
2.在 ABC中,都是锐角,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,绝对值的非负性,三角形内角和定理等知识.熟练掌握特殊角的三角函数值,绝对值的非负性,三角形内角和定理是解题的关键.
由题意得,,即,由都是锐角,可得,然后利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:∵,
∴,
解得,,
∵都是锐角,
∴,
∴,
故选:D.
3.已知的半径为2,圆心到直线的距离,则直线与的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系,熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键:如果的半径为,圆心到直线的距离为,那么:(1)直线和相交(如图);(2)直线和相切(如图);(3)直线和相离(如图).
根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案.
【详解】解:圆心到直线的距离的半径,
直线与的位置关系是:相离,
故选:.
4.下列说法正确的是( )
A.两个负数相乘,积是正数是不可能事件
B.“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C.射击运动员射击一次,命中十环是必然事件
D.“掷一次骰子,向上一面的点数是”是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件,根据事件发生的可能性大小判断即可求解,掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键.
【详解】解:、两个负数相乘,积是正数是必然事件,故本选项说法错误,不符合题意;
、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件,故本选项说法错误,不符合题意;
、射击运动员射击一次,命中十环是随机事件,故本选项说法错误,不符合题意;
、“掷一次骰子,向上一面的点数是”是随机事件,说法正确,符合题意;
故选:.
5.如图,的直径垂直弦于点E,且,则的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理.
根据,,得到,在直角中,由勾股定理得,根据垂径定理得出的长.
【详解】解:,,
,
,
为直角三角形,
为直径,,
根据垂径定理
故选:A.
6.如图,六边形为的内接正六边形,直线l与,分别交于点G,H,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆内接正多边形,先求出中心角的度数,再根据三角形内角和定理得出答案.
【详解】∵正六边形内接于,
∴,
在中,.
∵,
∴.
故选:C.
7.在平面直角坐标系中, ABC的顶点坐标分别是,以原点为位似中心,在原点的同侧画,使与 ABC成位似图形,且相似比为,则的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质,熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.利用相似三角形面积比等于相似比平方即可求解.
【详解】解:∵,
∴,
∵与成位似图形,且相似比为
∴,
∴,
故选:C.
8.若是抛物线上的三点,则为的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质.先确定抛物线的对称轴,再确定抛物线开口向上,此时离对称轴越远,函数值越大,据此即可解答.
【详解】解:∵,
∴抛物线的对称轴为直线,开口向上,
∴离对称轴越远,函数值越大,
∵点离对称轴最远,点在对称轴上,
∴.
故选:B.
9.如图,在 ABC中,是角平分线,的交点,若,,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质,角平分线的性质,锐角三角函数的定义;根据等腰三角形的性质,可得,,再根据角平分线的性质及三角的面积公式得,进而即可求解.
【详解】解:,, 平分,
,,
,
过点作,
平分,
,
,即:,解得:,
,
故选D.
10.二次函数的图象如图所示,给出下列说法中:①;②;③;④;⑤当时,.其中正确的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系,根据图象的开口可确定,再结合对称轴,可确定,根据图象与轴的交点位置,可确定,根据图象与轴的交点个数可确定,解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点.
【详解】解:∵图象开口向下,
∴ ,
∵抛物线对称轴,
∴,
∴,,
∵抛物线交轴正半轴,
∴,
∴,故正确;
∵当时,,
∴,故正确;
∵图象和轴交于两点,
∴,故正确;
由图象可知,当时,,故正确;
所以正确的序号是,共5个.
故选:D
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,满分18分,每小题3分,请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。)
11.若,则 .
【答案】
【分析】此题考查了比例的性质,根据比例性质即可求解,解题的关键是正确理解比例的性质.
【详解】解:∵,
∴设,(),
∴,
故答案为:.
12.将二次函数的图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,可以得到二次函数 的图象.
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”,熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键.根据二次函数图象的平移规律求解即可得.
【详解】解:将二次函数的图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,可以得到二次函数的表达式为,即为,
故答案为:.
13.(新情景试题 实际应用)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,为的黄金分割点,已知,则 .(答案保留根号)
【答案】/
【分析】本题考查黄金分割,直接利用黄金分割的定义计算即可.解题的关键是掌握黄金分割:把线段分成两条线段和,且使是和的比例中项(即),叫做把线段黄金分割,点叫做线段的黄金分割点,黄金分割的比值是,即.
【详解】解:∵为的黄金分割点(),,
∴,
∴,
∴的长度为.
故答案为:.
14.(新情景试题 实际应用)学校科学社团成员制作了一个物体发射器,可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体,已知发射出的物体离地面的高度(单位:)满足关系式,其中(单位:)是物体运动的时间,(单位:)是物体被发射时的初始速度.若发射小球时的初始速度,当小球离地面的高度为时,的值为 s.
【答案】或
【分析】本题考查了实际问题与二次函数,因式分解法解一元二次方程等知识点,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
根据题意可得,整理得,然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案.
【详解】解:根据题意可得:
,
整理,得:
,
分解因式,得:,
解得:或,
故答案为:或.
15.如图,在半径为1的上顺次取点,,,,,连接,,,,,.若,,则与的长度之和为 (结果保留π).
【答案】/
【分析】本题主要考查了计算弧长,圆周角定理,熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键.由圆周角定理得,根据弧长公式分别计算出与的长度,相减即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴
又的半径为1,
的长度=,
又,
∴的长度=,
∴与的长度之和=,
故答案为:.
16.如图,在 ABC中,,过点作于点,在上取点,使得,连接并延长交于点,为的中点,连接,若,,则 .
【答案】/
【分析】解法一:根据题意可得是等腰直角三角形,可证,得到,在中,由直角三角形两锐角互余可得,根据对顶角相等可得,则有是直角三角形,由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得,再根据即可求解;
解法二:根据证明得出证明得设由勾股定理求出,,过点F作于点M,则证明求出在中,由勾股定理得解方程即可.
【详解】解:解法一:∵,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴在中,,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
在中,为的中点,,
∴,
∴;
解法二:∵
∵
∴是等腰直角三角形,
∴
又
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设
∴
在中,
∴
∴,
在中,
在中,,
过点F作于点M,则
又∵
∴
∴
∴
∴
∵是的中点,且
∴
∴
在中,
即
整理得,,
∵
∴,
∴
∴(舍去)
经检验,是原方程的解,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形两锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理以及相似三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分8分)计算:
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,实数的加减乘除混合运算,解题的关键是熟练掌握运算法则,正确的进行解题.
(1)代入特殊角的三角函数值进行化简,然后进行计算,即可得到答案;
(2)代入特殊角的三角函数值,根据负整数指数幂、零次幂进行化简,然后进行计算,即可得到答案.
【详解】(1)解:原式
(2)原式
.
18.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)在一只不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字1,2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏,规则为:两人同时从袋中随机各摸出1个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平;
(2)在不增减小球数量的前提下,请你制定一个对甲乙双方都公平的规则,并简要说明理由.
【答案】(1)见解析,不公平
(2)见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果,根据树状图计算甲、乙获胜的概率,比较作出判断即可;
(2)制定新游戏规则,分别求得甲胜与乙胜的概率,比较概率,即可得出结论.
【详解】(1)解:画树状图得:
共有12种等可能的结果,其中甲获胜的结果有8种,乙获胜的结果有4种,
∴甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,
∵,
∴游戏不公平;
(2)解:游戏规则:从中任取两球,两个球上的数字之差的绝对值为1的为甲胜,否则为乙胜.理由如下:
∵由(1)中树状图可知,两个球上的数字之差的绝对值为1的有6种情况,
∴,,
∴,
∴这种游戏规则对甲、乙双方公平.
19.(本题满分8分)如图,是 ABC的边上的一点,连接,已知.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定方法,理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键.
(1)根据,即可得出结论;
(2)设,,根据△和△相似得,将,,代入比例式整理得,由此解出即可得的长.
【详解】(1)证明:,,
;
(2)设,
,,
,
,
,
,
,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去),
.
20.(本题满分8分)如图,为的直径,弦于,为圆上一点,平分,交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】()由角平分线的定义可得,即得,由垂径定理可得,得到,即得到,即可求证;
()连接,由垂径定理得,设圆的半径为,则,在中,由勾股定理得,解方程即可求解.
【详解】(1)证明:∵平分,
∴,
∴,
∵为直径,,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)解:如图所示,连接,
∵,,
∴
设圆的半径为,则,
在中,由勾股定理得,,
∴,
解得,
∴圆的半径为.
【点睛】本题考查了角平分线的定义,圆周角定理,垂径定理,等角对等边,勾股定理,掌握圆的有关性质定理是解题的关键.
21.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)如图1是公交车的站台,主要由顶棚、站牌、底座构成.图2是其截面示意图,站牌截面是矩形,边平行于地面,边垂直于地面,顶棚与站牌上端的夹角,底座与地面的夹角.经测量.(结果精确到;参考数据:)
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离;
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形,解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.
(1)过点E作于点G,过点D作于点H,在中求出,进而求出即可;
(2)过点C作于点P,于点K,由题意得,在中求出,在中求出,即可解答.
【详解】(1)解:过点E作于点G,过点D作于点H,
,
,
,
答:站牌边缘,点D与棚顶边缘点E的水平距离为.
(2)解:过点C作于点P,于点K,
,
,
,
,
,
,
答:棚顶边缘点E到地面的距离为.
22.(本题满分10分)如图,是的直径,是的弦,半径,交于点F,点D在的延长线上,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,扇形面积的计算,正确地作出辅助线是解题的关键;
(1)连接,根据等腰三角形的性质得到,求得,得到,根据切线的判定定理得到结论;
(2)根据三角形的内角和定理得到,求得,得到,求得,根据三角形和形的面积公式即可得到结论.
【详解】(1)证明:连接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是的半径,
∴是的切线;
(2)∵,,
∴,
∴
∴,
∵,
∴,
∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积.
23.(本题满分10分)已知关于的函数可以写成关于的形式.例:关于的函数,令,当时,则.
(1)若函数,求的值;
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q.若的面积为且点为坐标原点,求的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,函数的图象上不同的两点,,若时,.函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上,求函数的解析式.
【答案】(1)4049
(2)
(3)
【分析】该题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的综合运用,解题的关键是掌握函数的图象和性质.
(1)将代入求解即可.
(2)根据与函数在第一象限内有两个交点和,设,,联立得出;再过作轴于,过作轴于,表示出即可;
(3)根据题意得出函数的对称轴为直线,,根据函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使,得出与有一个交点,求出,即可得,即可求解.
【详解】(1)解:;
(2)解:与函数在第一象限内有两个交点和,
联立函数得,,
即,
∵函数与函数在第一象限内有两个交点和,
设,,
∴,则;
∵由韦达定理得,,
∴过作轴于,过作轴于,
,
∵,,
∴;
(3)解:∵,在函数上,时,,
∴函数的对称轴为直线,即,,
∵函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使,
∴与有一个交点,
∴联立方程,得,
∴,
∴,
∴.
∵函数图象的顶点在函数上,
∴当时,,
∴,
∴.
24.(本题满分12分)如图,在矩形中,,,动点以的速度沿着折线,运动到点时停止.已知与关于直线对称,连接.设运动时间为.
(1)当点落在对角线上时,________;
(2)当点在上运动时,点,,能否在同一条直线上?如果能,请求出的值;如果不能,请说明理由,并求出的面积的最小值;
(3)连接,若是直角三角形,请直接写出的值.
【答案】(1)
(2)点在上运动时,点,,不能在同一条直线上,的最大值;
(3)的值为或或7.
【分析】(1)连接,利用勾股定理可得,由题意得,则,再运用勾股定理建立方程求解即可得出答案;
(2)由对称得,,进而推出,当最小时,最小,为最大值,当时,最大,过点作于点,则为的中点,运用三角形面积公式即可求得答案;
(3)分三种情况:当时,当时,当时,分别利用相似三角形的判定和性质即可求得答案.
【详解】(1)解:如图1,连接,
四边形是矩形,,,
,
在中,,
由题意得,
,
与△关于直线对称,且点落在对角线上,
,,,
,
,
,即,
解得:,
故答案为:;
(2)如图,设与交于,点F是的中点,
与关于直线对称,
,,,
,
∴点E在以为直径的半圆(矩形内部)上运动,
∴ ,
又∵若点在上运动时, ,即,
∴点P在外,故,
∴,
∴点在上运动时,点,,不可能在同一条直线上,
,
当最小时,最小,
,
为最大值,
,点E在以为直径的半圆(矩形内部)上运动,
当时,最大,
,
,
的最大值;
(3)连接,如图3,
当时,
则,
,
,
,
,
;
当时,如图4,
由题意得:,,
,
,
,
,
,即,
,
,
,
解得:或(舍去);
当时,如图5,
、关于对称,
点与点重合,
;
综上所述,当是直角三角形时,的值为或或7.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,轴对称的性质,三角形面积,直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质等,运用分类讨论的思想解决问题是解题关键.中小学教育资源及组卷应用平台
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
学校: 年级: 姓名: 考号:
注意事项:
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁,不折叠、不破损。
5.考试范围:浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章(二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系)。
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分,每题均有四个选项,其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1.(新情景试题 实际应用)神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊的巴台农神庙,我们把图中的虚线表示为矩形,并发现,这体现了数学中的( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
2.在 ABC中,都是锐角,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为2,圆心到直线的距离,则直线与的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.无法判断
4.下列说法正确的是( )
A.两个负数相乘,积是正数是不可能事件
B.“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C.射击运动员射击一次,命中十环是必然事件
D.“掷一次骰子,向上一面的点数是”是随机事件
5.如图,的直径垂直弦于点E,且,则的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.2
6.如图,六边形为的内接正六边形,直线l与,分别交于点G,H,则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中, ABC的顶点坐标分别是,以原点为位似中心,在原点的同侧画,使与 ABC成位似图形,且相似比为,则的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8.若是抛物线上的三点,则为的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.如图,在 ABC中,是角平分线,的交点,若,,则的值是( )
A. B. C. D.
10.二次函数的图象如图所示,给出下列说法中:①;②;③;④;⑤当时,.其中正确的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,满分18分,每小题3分,请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。)
11.若,则 .
12.将二次函数的图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,可以得到二次函数 的图象.
13.(新情景试题 实际应用)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,为的黄金分割点,已知,则 .(答案保留根号)
14.(新情景试题 实际应用)学校科学社团成员制作了一个物体发射器,可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体,已知发射出的物体离地面的高度(单位:)满足关系式,其中(单位:)是物体运动的时间,(单位:)是物体被发射时的初始速度.若发射小球时的初始速度,当小球离地面的高度为时,的值为 s.
15.如图,在半径为1的上顺次取点,,,,,连接,,,,,.若,,则与的长度之和为 (结果保留π).
16.如图,在 ABC中,,过点作于点,在上取点,使得,连接并延长交于点,为的中点,连接,若,,则 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分8分)计算:
(1)
(2).
18.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)在一只不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上分别标有数字1,2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏,规则为:两人同时从袋中随机各摸出1个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙胜.
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平;
(2)在不增减小球数量的前提下,请你制定一个对甲乙双方都公平的规则,并简要说明理由.
19.(本题满分8分)如图,是 ABC的边上的一点,连接,已知.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
20.(本题满分8分)如图,为的直径,弦于,为圆上一点,平分,交于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
21.(本题满分8分)(新情景试题 实际应用)如图1是公交车的站台,主要由顶棚、站牌、底座构成.图2是其截面示意图,站牌截面是矩形,边平行于地面,边垂直于地面,顶棚与站牌上端的夹角,底座与地面的夹角.经测量.(结果精确到;参考数据:)
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离;
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离.
22.(本题满分10分)如图,是的直径,是的弦,半径,交于点F,点D在的延长线上,且.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求图中阴影部分的面积.
23.(本题满分10分)已知关于的函数可以写成关于的形式.例:关于的函数,令,当时,则.
(1)若函数,求的值;
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q.若的面积为且点为坐标原点,求的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,函数的图象上不同的两点,,若时,.函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上,求函数的解析式.
24.(本题满分12分)如图,在矩形中,,,动点以的速度沿着折线,运动到点时停止.已知与关于直线对称,连接.设运动时间为.
(1)当点落在对角线上时,________;
(2)当点在上运动时,点,,能否在同一条直线上?如果能,请求出的值;如果不能,请说明理由,并求出的面积的最小值;
(3)连接,若是直角三角形,请直接写出的值.