/ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系）。
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．（新情景试题 实际应用）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊的巴台农神庙，我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
2．在 ABC中，都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件
5．如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
6．如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别是，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与 ABC成位似图形，且相似比为，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，是角平分线，的交点，若，，则的值是( )
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．若，则 ．
12．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象．
13．（新情景试题 实际应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号）
14．（新情景试题 实际应用）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s．
15．如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）．
16．如图，在 ABC中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分8分）计算：
(1)
(2)．
18．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平；
(2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由．
19．（本题满分8分）如图，是 ABC的边上的一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（本题满分8分）如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：）
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．
22．（本题满分10分）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
23．（本题满分10分）已知关于的函数可以写成关于的形式．例：关于的函数，令，当时，则．
(1)若函数，求的值；
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q．若的面积为且点为坐标原点，求的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，函数的图象上不同的两点，，若时，．函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上，求函数的解析式．
24．（本题满分12分）如图，在矩形中，，，动点以的速度沿着折线，运动到点时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为．
(1)当点落在对角线上时，________；
(2)当点在上运动时，点，，能否在同一条直线上？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由，并求出的面积的最小值；
(3)连接，若是直角三角形，请直接写出的值．/ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系）。
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．（新情景试题 实际应用）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊的巴台农神庙，我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
2．在 ABC中，都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件
5．如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
6．如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别是，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与 ABC成位似图形，且相似比为，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，是角平分线，的交点，若，，则的值是( )
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．若，则 ．
12．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象．
13．（新情景试题 实际应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号）
14．（新情景试题 实际应用）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s．
15．如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）．
16．如图，在 ABC中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分8分）计算：
(1)
(2)．
18．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平；
(2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由．
19．（本题满分8分）如图，是 ABC的边上的一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（本题满分8分）如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：）
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．
22．（本题满分10分）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
23．（本题满分10分）已知关于的函数可以写成关于的形式．例：关于的函数，令，当时，则．
(1)若函数，求的值；
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q．若的面积为且点为坐标原点，求的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，函数的图象上不同的两点，，若时，．函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上，求函数的解析式．
24．（本题满分12分）如图，在矩形中，，，动点以的速度沿着折线，运动到点时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为．
(1)当点落在对角线上时，________；
(2)当点在上运动时，点，，能否在同一条直线上？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由，并求出的面积的最小值；
(3)连接，若是直角三角形，请直接写出的值．/ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、 24题、/ 让教学更有效
18题、
【押题金卷】2024-2025 学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________ 条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
准考证号
缺考标记 注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
缺考标记！只 3、选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
迹的签字笔填 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一涂。
一、选择题（请用 2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
[B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B]
[C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C]
[D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D]
二、填空题 19题、
11. 、 12. 、 13. 、
14. 、 15. 、 16. 、
三、解答题
17题、
/ 让教学更有效
22题、
20题、
21题、 23题、
/ 让教学更有效
24题、【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、 24题、【押题金卷】2024-2025 学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________ 条 码 粘 贴 处
准考证号 （正面朝上贴在此虚线框内）
缺考标记 注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
缺考标记！只能 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
的签字笔填涂。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一、选择题（请用 2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
[B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B]
[C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C]
[D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D]
二、填空题
11. 、 12. 、 13. 、
14. 、 15. 、 16. 、
三、解答题
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、中小学教育资源及组卷应用平台
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系）。
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．（新情景试题 实际应用）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊的巴台农神庙，我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【答案】D
【分析】本题考查的是黄金分割比，根据黄金分割比为即可求解．
【详解】解：∵，
∴体现了数学中的黄金分割；
故选：D．
2．在 ABC中，都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键．
由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵都是锐角，
∴，
∴，
故选：D．
3．已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（1）直线和相交（如图）；（2）直线和相切（如图）；（3）直线和相离（如图）．
根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案．
【详解】解：圆心到直线的距离的半径，
直线与的位置关系是：相离，
故选：．
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键．
【详解】解：、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意；
故选：．
5．如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理．
根据，，得到，在直角中，由勾股定理得，根据垂径定理得出的长．
【详解】解：，，
，
，
为直角三角形，
为直径，，
根据垂径定理
故选：A．
6．如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，先求出中心角的度数，再根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】∵正六边形内接于，
∴，
在中，．
∵，
∴．
故选：C．
7．在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别是，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与 ABC成位似图形，且相似比为，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．利用相似三角形面积比等于相似比平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴,
∵与成位似图形，且相似比为
∴，
∴，
故选：C．
8．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点离对称轴最远，点在对称轴上，
∴．
故选：B．
9．如图，在 ABC中，是角平分线，的交点，若，，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
【详解】解：，， 平分，
，，
，
过点作，
平分，
，
，即：，解得：，
，
故选D．
10．二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴，
∴，
∴，，
∵抛物线交轴正半轴，
∴，
∴，故正确；
∵当时，，
∴，故正确；
∵图象和轴交于两点，
∴，故正确；
由图象可知，当时，，故正确；
所以正确的序号是，共5个．
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】解：∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
12．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律求解即可得．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数的表达式为，即为，
故答案为：．
13．（新情景试题 实际应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号）
【答案】/
【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即．
【详解】解：∵为的黄金分割点（），，
∴，
∴，
∴的长度为．
故答案为：．
14．（新情景试题 实际应用）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s．
【答案】或
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
根据题意可得，整理得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
整理，得：
，
分解因式，得：，
解得：或，
故答案为：或．
15．如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）．
【答案】/
【分析】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
又的半径为1，
的长度=，
又，
∴的长度=，
∴与的长度之和=，
故答案为：．
16．如图，在 ABC中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则 ．
【答案】/
【分析】解法一：根据题意可得是等腰直角三角形，可证，得到，在中，由直角三角形两锐角互余可得，根据对顶角相等可得，则有是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再根据即可求解；
解法二：根据证明得出证明得设由勾股定理求出，，过点F作于点M，则证明求出在中，由勾股定理得解方程即可．
【详解】解：解法一：∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，为的中点，，
∴，
∴；
解法二：∵
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
又
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设
∴
在中，
∴
∴，
在中，
在中，，
过点F作于点M，则
又∵
∴
∴
∴
∴
∵是的中点，且
∴
∴
在中，
即
整理得，，
∵
∴，
∴
∴（舍去）
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分8分）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
（1）代入特殊角的三角函数值进行化简，然后进行计算，即可得到答案；
（2）代入特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂、零次幂进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
．
18．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平；
(2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由．
【答案】(1)见解析，不公平
(2)见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，根据树状图计算甲、乙获胜的概率，比较作出判断即可；
（2）制定新游戏规则，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．
【详解】（1）解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，乙获胜的结果有4种，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵，
∴游戏不公平；
（2）解：游戏规则：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1的为甲胜，否则为乙胜．理由如下：
∵由（1）中树状图可知，两个球上的数字之差的绝对值为1的有6种情况，
∴，，
∴，
∴这种游戏规则对甲、乙双方公平．
19．（本题满分8分）如图，是 ABC的边上的一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
（1）根据，即可得出结论；
（2）设，，根据△和△相似得，将，，代入比例式整理得，由此解出即可得的长．
【详解】（1）证明：，，
；
（2）设，
，，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
．
20．（本题满分8分）如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）由角平分线的定义可得，即得，由垂径定理可得，得到，即得到，即可求证；
（）连接，由垂径定理得，设圆的半径为，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，，
∴
设圆的半径为，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∴圆的半径为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，等角对等边，勾股定理，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
21．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：）
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可；
（2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答．
【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H，
，
，
，
答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为．
（2）解：过点C作于点P，于点K，
，
，
，
，
，
，
答：棚顶边缘点E到地面的距离为．
22．（本题满分10分）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键；
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论；
(2)根据三角形的内角和定理得到，求得，得到，求得，根据三角形和形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积．
23．（本题满分10分）已知关于的函数可以写成关于的形式．例：关于的函数，令，当时，则．
(1)若函数，求的值；
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q．若的面积为且点为坐标原点，求的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，函数的图象上不同的两点，，若时，．函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上，求函数的解析式．
【答案】(1)4049
(2)
(3)
【分析】该题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的综合运用，解题的关键是掌握函数的图象和性质．
（1）将代入求解即可．
（2）根据与函数在第一象限内有两个交点和，设，，联立得出；再过作轴于，过作轴于，表示出即可；
（3）根据题意得出函数的对称轴为直线，，根据函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使，得出与有一个交点，求出，即可得，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：与函数在第一象限内有两个交点和，
联立函数得，，
即，
∵函数与函数在第一象限内有两个交点和，
设，，
∴，则；
∵由韦达定理得，，
∴过作轴于，过作轴于，
，
∵，，
∴；
（3）解：∵，在函数上，时，，
∴函数的对称轴为直线，即，，
∵函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使，
∴与有一个交点，
∴联立方程，得，
∴，
∴，
∴．
∵函数图象的顶点在函数上，
∴当时，，
∴，
∴．
24．（本题满分12分）如图，在矩形中，，，动点以的速度沿着折线，运动到点时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为．
(1)当点落在对角线上时，________；
(2)当点在上运动时，点，，能否在同一条直线上？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由，并求出的面积的最小值；
(3)连接，若是直角三角形，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)点在上运动时，点，，不能在同一条直线上，的最大值；
(3)的值为或或7．
【分析】（1）连接，利用勾股定理可得，由题意得，则，再运用勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）由对称得，，进而推出，当最小时，最小，为最大值，当时，最大，过点作于点，则为的中点，运用三角形面积公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用相似三角形的判定和性质即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，连接，
四边形是矩形，，，
，
在中，，
由题意得，
，
与△关于直线对称，且点落在对角线上，
，，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：；
（2）如图，设与交于，点F是的中点，
与关于直线对称，
，，，
，
∴点E在以为直径的半圆（矩形内部）上运动，
∴ ，
又∵若点在上运动时， ，即，
∴点P在外，故，
∴，
∴点在上运动时，点，，不可能在同一条直线上，
，
当最小时，最小，
，
为最大值，
，点E在以为直径的半圆（矩形内部）上运动，
当时，最大，
，
，
的最大值；
（3）连接，如图3，
当时，
则，
，
，
，
，
；
当时，如图4，
由题意得：，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：或（舍去）；
当时，如图5，
、关于对称，
点与点重合，
；
综上所述，当是直角三角形时，的值为或或7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：浙教版九年级上册全册+九年级下册1-2章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质+相似三角形+解直角三角形+直线与圆的位置关系）。
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．（新情景试题 实际应用）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊的巴台农神庙，我们把图中的虚线表示为矩形，并发现，这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
2．在 ABC中，都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件
B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件
C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件
5．如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
6．如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别是，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与 ABC成位似图形，且相似比为，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，是角平分线，的交点，若，，则的值是( )
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．若，则 ．
12．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象．
13．（新情景试题 实际应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号）
14．（新情景试题 实际应用）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s．
15．如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为 （结果保留π）．
16．如图，在 ABC中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分8分）计算：
(1)
(2)．
18．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平；
(2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由．
19．（本题满分8分）如图，是 ABC的边上的一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（本题满分8分）如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．（本题满分8分）（新情景试题 实际应用）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：）
(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；
(2)求棚顶边缘点E到地面的距离．
22．（本题满分10分）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
23．（本题满分10分）已知关于的函数可以写成关于的形式．例：关于的函数，令，当时，则．
(1)若函数，求的值；
(2)已知函数与函数的图象在第一象限内有两个交点P和Q．若的面积为且点为坐标原点，求的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，函数的图象上不同的两点，，若时，．函数的对称轴左侧图象上存在唯一一点使且该图象的顶点在函数上，求函数的解析式．
24．（本题满分12分）如图，在矩形中，，，动点以的速度沿着折线，运动到点时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为．
(1)当点落在对角线上时，________；
(2)当点在上运动时，点，，能否在同一条直线上？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由，并求出的面积的最小值；
(3)连接，若是直角三角形，请直接写出的值．
