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【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版九年级上册全部+九年级下册全部
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
3．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，弦的长为，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，，1 B．2，3， C．2，， D．2，3，1
6．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABC中，，，将 ABC绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（新情景试题 实际应用）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
11．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
12．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法不正确的是（ ）
①；②；③；④的解集是
A．① B．② C．③ D．④
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（共6小题，满分12分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为8，则的值为 ．
15．（新情景试题 实际应用）如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米．
16．（新情景试题 实际应用）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为 ．
17．如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为 ．
18．如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
20．（6分）如图，在 ABC中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．
(1)判断与 ABC是否相似，并说明理由；
(2)若，，求的长．
21．（8分）如图， ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ．
(2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与 ABC位似，且相似比为，点的坐标是 ．
(3)的面积是 ．
22．（新情景试题 实际应用）（10分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（新情景试题 实际应用）（10分）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
(1)求小明从点到点的过程中上升的高度；
(2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
24．（新情景试题 实际应用）（10分）春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件．
(1)若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件；
(2)设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）；
(3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？
25．（10分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为2，求的长．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，若，求的面积．
(3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长．
(4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．/ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、 26题、中小学教育资源及组卷应用平台
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版九年级上册全部+九年级下册全部
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性质是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
3．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，再根据概率进行计算即可．
【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，
∴摸到黑球的概率为，
∴袋中黑球约有（个），
故选：C．
4．如图，在中，弦的长为，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【详解】解：过点O作于E，连接，如图，
，，
，
．
故选：C．
5．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，，1 B．2，3， C．2，， D．2，3，1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．先化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，，1，
故选：A．
6．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．据此求解即可，注意这一隐含条件．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
故选：B．
7．抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律：左加右减，上加下减即可得出答案．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，则抛物线变成，
再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是，
故选：A．
8．如图，在 ABC中，，，将 ABC绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角形的内角和定理求出，由旋转可得，，从而得到，即可解答．
本题考查旋转，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是正确观察图形．
【详解】解：∵，，
∴，
由绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
9．（新情景试题 实际应用）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为，
∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径长为米．
故选：D．
10．已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键．
根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集．
【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是和，
所以当或时，．
故选：C．
11．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】B
【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，
∴，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5，
∴长的最小值是2.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法不正确的是（ ）
①；②；③；④的解集是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数字母系数符号的确定，二函数与x轴交点，二次函数与不等式，根据函数图像的特点，利用二次函数的性质逐一计算判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，
∴①正确，
由图象可知抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴②正确，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴③正确，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线开口向下，
∴的解集是，
∴④错误，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（共6小题，满分12分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
根据二次函数的图象和性质可直接解答即可．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为8，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键．由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出．
【详解】解：由题意得：，
，
又反比例函数的图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
15．（新情景试题 实际应用）如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米．
【答案】8
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：如图：根据题意可得,
∵，
∴．
∴，
∴，
∴米，
即灯杆的高度为8米．
故答案为：8．
16．（新情景试题 实际应用）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为 ．
【答案】10米/
【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当时，，
∴，
解之得（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
故答案为：米．
17．如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．过点作的垂线交于点，连接，根据圆的性质得到，由平分线的性质得到，设的半径为，则，将用含的代数式表示出来，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：过点作的垂线交于点，交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
设的半径为，
则，
，
，
在中利用勾股定理，得，
，
，
的半径为，
故答案为：．
18．如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】1或
【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得，，设，从而可得，再根据直角三角形的定义分和两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．
【详解】解：四边形是矩形，，
由折叠的性质可知，
设，则
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，当时，为直角三角形
在和中，
，即
解得
，
在中，，即
解得
即
（2）如图2，当时，为直角三角形
，
，即
在和中，
，即
解得
，即
解得
即
综上，的长为或1
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，依据题意，正确画出图形，并分两种情况讨论是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
先把方程变形得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1），
，
，
所以，；
（2），
，
或，
所以，．
20．（6分）如图，在 ABC中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．
(1)判断与 ABC是否相似，并说明理由；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)相似，理由见解析
(2)4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质求出，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，，
即，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
又，
∴．
21．（8分）如图， ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ．
(2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与 ABC位似，且相似比为，点的坐标是 ．
(3)的面积是 ．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查作图-平移变换、位似变换、三角形的面积．
（1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案；
（2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示， ABC向下平移4个单位长度得到的，
∴是所求作三角形，
∴由图可知，
故答案为：；
（2）解：∵与 ABC位似，且相似比为，
∴延长，，使得，，如图所示，
，
∴是所求作三角形，
∴由图可知，
故答案为：；
（3）解：的面积，
故答案为：10．
22．（新情景试题 实际应用）（10分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)40，30，36
(2)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率：
（1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：获奖总人数为（人），
，即；
A所对的圆心角度数；
故答案为：40，30，36
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（新情景试题 实际应用）（10分）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
(1)求小明从点到点的过程中上升的高度；
(2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
【答案】(1)小明从点到点的过程中上升的高度为米；
(2)大树的高度是米．
【分析】（）过点作于点，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解；
（）过点作于点，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，
由题意知米，
∵斜面的坡比为，
∴，
设米，则米，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴小明从点到点的过程中上升的高度为米；
（2）解：过点作于点，设米，
由（）得：（米），
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，（米），
∵，
∴（米），
∴米，
∵，
在中，，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴（米），
答：大树的高度是米．
24．（新情景试题 实际应用）（10分）春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件．
(1)若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件；
(2)设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）；
(3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？
【答案】(1)590
(2)
(3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及列代数式，
（1）由题意列式计算即可；
（2）由题意列出代数式即可；
（3）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品的售价为元，每周的销售量是件，根据实现平均每周10000元的销售利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）由题意可知，（件），
即商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出590件，
故答案为：590；
（2）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品每周的销售量是件，
故答案为：；
（3）设该纪念品每件上涨x元，销售量减少个，则该纪念品的售价为元，每周的销售量是件，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴符合题意，不符合题意，舍去；
∴，
答：为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为50元．
25．（10分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为2，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案；
对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵所对的圆周角是，圆心角是，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，若，求的面积．
(3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长．
(4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)2；
(3)；
(4)存在，．
【分析】（1）根据对称轴求出a，再将点B的坐标代入关系式求出c即可；
（2）根据相似三角形的性质得出轴，再求出，即可得出答案；
（3）先求出直线的关系式，再设点P的坐标，即可表示点M的坐标，进而表示，然后作，则，并表示，再根据勾股定理求出m，可得答案；
（4）先求出点P，M的坐标，进而求出直线的关系式，即可表示出点Q，K，再说明只能是四边形为矩形，然后根据平移的性质求出点的坐标，并根据勾股定理验证即可.
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴轴．
∵，
∴．
将代入中，
得，
解得，，
∴，．
∴；
（3）解：设直线的表达式为，将点B代入，得，
∴直线的表达式为．
设，则，
∴．
由题意知．
如图，过点C作，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
∴；
（4）解：存在，．
理由如下：由（3）可知，，．
设直线的解析式为，将代入得，
∴．
设，，
若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形，
∴，，．
∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M，
∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
则四边形为矩形，满足题意，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，坐标与图形等，会用坐标的差表示线段的长是解题的关键．/ 让教学更有效
20题、
【押题金卷】2024-2025 学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________ 条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
准考证号
缺考标记 注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
缺考标记！只 3、选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
迹的签字笔填 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一涂。
一、选择题（请用 2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
[B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [B]
[C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C] [C]
[D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D] [D]
二、填空题
13. 、 14. 、 15. 、
16. 、 17. 、 18. 、
21题、
三、解答题
19题、
/ 让教学更有效
24题、
22题、
25题、
23题、
/ 让教学更有效
26题、【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、 26题、中小学教育资源及组卷应用平台
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校： 年级： 姓名： 考号：
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版九年级上册全部+九年级下册全部
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
3．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，弦的长为，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，，1 B．2，3， C．2，， D．2，3，1
6．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABC中，，，将 ABC绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（新情景试题 实际应用）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
11．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
12．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法不正确的是（ ）
①；②；③；④的解集是
A．① B．② C．③ D．④
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（共6小题，满分12分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为8，则的值为 ．
15．（新情景试题 实际应用）如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米．
16．（新情景试题 实际应用）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为 ．
17．如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为 ．
18．如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
20．（6分）如图，在 ABC中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．
(1)判断与 ABC是否相似，并说明理由；
(2)若，，求的长．
21．（8分）如图， ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ．
(2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与 ABC位似，且相似比为，点的坐标是 ．
(3)的面积是 ．
22．（新情景试题 实际应用）（10分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（新情景试题 实际应用）（10分）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
(1)求小明从点到点的过程中上升的高度；
(2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
24．（新情景试题 实际应用）（10分）春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件．
(1)若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件；
(2)设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）；
(3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？
25．（10分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为2，求的长．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，若，求的面积．
(3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长．
(4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【押题金卷】2024-2025 学年九年级上学期数学期末模拟卷
答题卡
姓名：______________班级：______________ 条 码 粘 贴 处
准考证号 （正面朝上贴在此虚线框内）
缺考标记 注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
缺考标记！只能 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
的签字笔填涂。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一、选择题（请用 2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A] [A]
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二、填空题
13. 、 14. 、 15. 、
16. 、 17. 、 18. 、
三、解答题
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、/ 让教学更有效
【押题金卷】2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.考试范围：人教版九年级上册全部+九年级下册全部
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
3．在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球约有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，弦的长为，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，，1 B．2，3， C．2，， D．2，3，1
6．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABC中，，，将 ABC绕点A顺时针旋转后顶点B，C旋转的对应点分别是和，点恰好落在边上，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（新情景试题 实际应用）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
11．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（ ）
A．2 B．2.5 C． D．
12．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法不正确的是（ ）
①；②；③；④的解集是
A．① B．② C．③ D．④
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（共6小题，满分12分，每小题2分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为8，则的值为 ．
15．（新情景试题 实际应用）如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米．
16．（新情景试题 实际应用）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：）与水平距离 x（单位：） 之间的关系是 ，则他将铅球推出的距离为 ．
17．如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为 ．
18．如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）解下列方程：
(1)；
(2)．
20．（6分）如图，在 ABC中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．
(1)判断与 ABC是否相似，并说明理由；
(2)若，，求的长．
21．（8分）如图， ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ．
(2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与 ABC位似，且相似比为，点的坐标是 ．
(3)的面积是 ．
22．（新情景试题 实际应用）（10分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（新情景试题 实际应用）（10分）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
(1)求小明从点到点的过程中上升的高度；
(2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
24．（新情景试题 实际应用）（10分）春节是中国最重要的传统节日，也是家人团聚的时刻．许多家庭都会选择春节长假外出旅游．2024年春节长假期间，某景区一商店老板将某种进货价为30元的纪念品以40元售出，平均每周能售出600件．经调查发现，售价在40元至60元范围内，这种纪念品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件．
(1)若商店老板将该纪念品的售价每件上涨1元，则该纪念品平均每周能售出_________件；
(2)设该纪念品每件上涨元，则该纪念品每周的销售量是_________件（用含的代数式表示）；
(3)为了实现平均每周10000元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少？
25．（10分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为2，求的长．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，若，求的面积．
(3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长．
(4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
