2023-2024学年江西省宜春市丰城市第九中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024 学年江西省丰城市第九中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
3+
1.已知 为虚数单位，若复数 = 对应的点在复平面的虚轴上，则实数 =( )
2+
3 3
A. B. C. 6 D. 6
2 2
2 2
2.“2 < | | < √ 6”是“方程 2 + = 1表示的曲线为椭圆”的( ) 4 6 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记 为等比数列{ }的前 项和，若 3 = 3， 6 = 9，则 15 =( )
A. 48 B. 81 C. 93 D. 243
4.已知抛物线 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点 ( 在第一象限)，
⊥ ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，则| | =( )
A. 2 B. √ 3 C. 4 D. 2√ 3
5.过直线 = 0上一点 作⊙ ：( 2)2 + ( 3)2 = 1的两条切线，切点分别为 ， ，若使得 =
= √ 7的点 有两个，则实数 的取值范围为( )
A. 3 < < 5 B. 5 < < 3
C. < 5或 > 3 D. < 3或 > 5
6.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽
取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
7.已知函数 ( ) = 1 1 + 3 3 2 + 3 ，若实数 ， 满足 ( 2) + (2 2 1) = 2，则 √ 1 + 2的
最大值为( )
3√ 2 3√ 2 5√ 2 5√ 3
A. B. C. D.
2 4 4 4
8.如图，在直三棱柱 1 1 1中， ， 分别为线段 1 1， 1的中点， 1 =
2 = 2, = 2√ 2，平面 ⊥平面 1 1 ，则四面体 的外接球的体积为
( )
5√ 10
A.
3
B. 10
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C. 5√ 10
D. 30
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
+1
9.函数 ( ) = 2 的大致图象可能是( ) +
A. B. C. D.
10.已知函数 ( ) = ln(2+ ) ln(4 )，则下列四个命题正确的是( )
A. 函数 = ( )在( 2,4)上是增函数
B. 函数 = ( )的图象关于(1,0)中心对称
2
C. 不存在斜率小于 且与数 = ( )的图象相切的直线
3
D. 函数 = ( )的导函数 = ′( )不存在极小值
11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在 上的函数 ( ) =
0, 是无理数
{ .后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命
1, 是有理数
题的有( )
A. ( + ) ≤ ( ) + ( )
B. ( )的图象关于 轴对称
C. 2( ) = ( ( ))的图象关于 轴对称
D. 存在一个正三角形，其顶点均在 ( )的图象上
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.等差数列{ }中的 1， 2023是函数 ( ) =
3 6 2 +4 1的极值点，则 1 1012 = ______．
4
2 2
13.若 1， 2是双曲线 ： = 1的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且| | = | 1 2 |，4 16

设四边形 1 2的面积为
1
1，四边形 1 2的外接圆的面积为 2，则 = ______． 2
14.已知正项数列{ }的前 项和 满足( + 1)
2
+ = 0( 为正整数)，则 = ______；记 ( ) =
∑ =1( | |)，若函数 = 2024( ) + 的值域为 ，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
公差不为0的等差数列{ }中，前 项和记为 .若 1 = 1，且 1，2 2，4 4成等比数列．
(1)求{ }的通项公式；

(2)求数列{ +1 }的前 项和 ．


+1
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， = = 2， ⊥ ， ， 分别是 ， 的中点， 1 = 1 = 2．
(1)若平面 1 1 ⊥平面 1 1，求点 1到平面 的距离；
(2)若 1 = √ 2，求平面 1 1与平面 1 1夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图所示，一只蚂蚁从正方体 1 1 1 1的顶点 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点
1
为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为 ，沿正方体的侧棱
6
2
爬行的概率为 ．
3
(1)若蚂蚁爬行 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；
(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点 出现的次数为 ，求 的分布列与数学期望．
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18.(本小题17分)
如图，一张圆形纸片的圆心为点 ， 是圆内的一个定点， 是圆 上任意一点，把纸片折叠使得点 与 重
合，折痕与直线 相交于点 ，当点 在圆上运动时，得到点 的轨迹，记为曲线 .建立适当坐标系，点 (1,0)，
纸片圆方程为( + 1)2 + 2 = 2，点 (0,1)在 上．
(1)求 的方程；
(2)若点 ′坐标为( 1,0)，过 且不与 轴重合的直线交 于 ， 两点，设直线 ′， ′与 的另一个交点分
别为 ， ，记直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，当 取得最大值时，求直线 的方程．
19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 2 + 有两个零点 1， 2
( 1 < 2).
(1)求实数 的取值范围；
1
(2)求证： ( 1)> ( )； 2
(3)求证： 2 1 < √ 2 4 <
2
2
2
1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
8
13.【答案】
5
2024 2024
14.【答案】 ( ∞, ) ∪ ( ,+∞)
+1 2025 2025
15.【答案】解：(1)设公差 不为0的等差数列{ }中，前 项和记为 ．
若 1 = 1，且 1，2 2，4 4成等比数列，
则4 22 = 4 1 4，
即有(2 1 + )
2 = 1(4 1 + 6 )，
由 1 = 1，解得 = 2，
则 = 1 + 2( 1) = 2 1；
1
(2)由(1)可得 = (1 + 2 1) =
2，
2
+1 2 +1 1 1= = ，
2 2 2 +1 ( +1) 2 ( +1)
1 1 1 1 1
则 = 1 2 + 2 2 + +2 2 3 2
2
( +1)
1
= 1 2．
( +1)
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16.【答案】解：(1)以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， (0,2,0)， (0,1,0)， (1,0,0)，设 1( , , )，
因为 2 = 2 + ( 1)2 + 2， 2 = ( 1)21 1 +
2 + 2， 1 = 1 ，所以 = ，
则 1( , , )， = (2,0,0)， = (0,2,0)， 1 = ( , , )．
2 = 0
设平面 1 1的一个法向量 = ( 1, 1 , )
= 0
1 ，则{ 即{
1 ，
+ + = 01 = 0 1 1 1
令 1 = ，则 1 = 0， 1 = ，所以 = ( , 0, )，
2 = 0
设平面 1 1的一个法向量 = ( , , ) {
= 0
2 2 2 ，则 即{
2 ，
1 = 0 2 + 2 + 2 = 0
令 2 = ，则 2 = 0， 2 = ，所以 = (0, , )．
因为平面 ⊥平面 21 1 1 1，所以 ⊥ ，所以 = 0，即( ) = 0，所以 = 0，
所以 1(0,0, )，所以点 1在 轴上，即 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，又 1 = 2， = 1，所以 1 = √
2 21 = √ 3，
故 C 1到平面 的距离为√ 3．
(2)由(1)知 1( , , )，由 1 = √ 2，则√
2 + 2 + 2 = √ 2，因为 1 = 2，所以√ ( 1)
2 + 2 + 2 = 2，
1 √ 6 1 1 √ 6
所以 = ， = ，所以 1( , , )， 2 2 2 2 2
由(1)
√ 6 1 √ 6 1
知平面 1 1的一个法向量 = ( , 0, )，平面 1 1的一个法向量 = (0, , )， 2 2 2 2
1
| | 1
设平面 与平面 的夹角为 ，则 = |cos < , > | = =
4 =
1 1 1 1 | || | ， √ 7 √ 7 7
4 4
1
即平面 1 1与平面 1 1的夹角的余弦值为 ． 7
17.【答案】解：(1)记蚂蚁爬行 次在底面 的概率为 ，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上
底面，
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2 1 2
结合题意易得， 1 = , 3 +1 = + (1 )， 3 3
1 1 1 1 1 1
+1 = ( 2 3
), {
2
}是等比数列，首项为 ，公比为 ，
2 6 3
1 1 1 1 1 1
= ( )
1 , = + ( )
1；
2 6 3 2 6 3
(2)结合题意易得： = 0，1，2，
当 = 2时，蚂蚁第3次、第5次都在 处，
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1
( = 2) = ( × × 2 × + × × 2 × + × × 2 × ) × ( × + × + × ) = ，
6 6 3 6 3 6 6 3 6 3 3 6 6 6 6 18
当 = 1时，蚂蚁第3次在 处或第5次在 处，
设蚂蚁第3次在 处的概率为 1，
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 5 1 5 2 1 1
1 = ( × × 2 × + × × 2 × + × × 2 × ) × ( × + × + × ) = ， 6 6 3 6 3 6 6 3 6 6 6 6 6 3 3 18
设蚂蚁第5次在 处的概率为 2，
设蚂蚁不过点 且第3次在 1的概率为 3，设蚂蚁不过点 且第3次在 1的概率为 4，
设蚂蚁不过点 且第3次在 的概率为 5，由对称性知， 3 = 4，
1 1 1 2 1 2 13 1 2 1 2 2 2 11
3 = × × × 4 + × × × 3 = ，又 5 = × × × 6 + × × = ， 6 6 6 3 6 3 54 6 3 6 3 3 3 27
1 2 1 1 7
得 2 = 2 3 × × × 2 + 5 × × × 2 = ， 6 3 6 6 54
5
∴ ( = 1) = 1 + 2 = ， 27
41
( = 0) = 1 ( = 1) ( = 2) = ，
54
的分布列为：
0 1 2
41 5 1

5427 18
8
的数学期望 ( ) = 0 × ( = 0) + 1× ( = 1) + 2 × ( = 2) = ．
27
18.【答案】解：(1)由题意知，以 中点为原点 ，以 所在直线为 轴，以 的中垂线为 轴建立平面直
角坐标系，
是圆内的一个定点，故圆的半径 > | |，
则| | = | |，| | + | = ，所以| | + | | = | | + | | = | |，
2 2
故点 的轨迹为以 ， 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 + = 1( > > 0)，
2 2
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则其焦距为2 = | | = 2，所以 = 1，
又点 (0,1)在 上，则 = 1，所以 2 = 2 + 2 = 2，
2
故 C的方程为 + 2 = 1；
2

(2)当 = 2时，由椭圆对称性得 = , = 02 ；

当 ≠ 2时，设直线 的方程为 = ( 1)，( ≠ 0)， = ，
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
2 2 2 2
则 1 + 2

1 = 1,
2 + 22 = 1,
3 + 23 = 1,
4 + 2
2 2 2 2 4
= 1，
1
当 1 ≠ 1时，设直线 ′的方程为 = 1( + 1)，则 1 = 1+1，
= 1( + 1)
联立{ 2 2 2 2 2
+ 2
，则(1+ 2 ) + 4 + 2 2 = 0，
= 1 1 1 1
2
2 2
2 2
= 1
2 2 2( 1+1)
由于直线 ′过椭圆焦点，则必有 > 0，故 1 3 2 =
1
2
1+2 1 ( 1+1) +2 21
2
2 21 2( 1+1) 3
2
1 4 = 12 = ，
( 1+1) +2
2 2 1+31
3 1 4 3 1 4
则 3 = ,
1
3 = ( + 1) =
1
，
2 1+3 1+1 2 1+3 2 1+3
2
同理当 2 ≠ 1时，设直线 ′的方程为 = 2( + 1)，则 2 = ， 2+1
3 2 4
则 4 = , =
2
，
2 2+3
4 2 2+3
1 2
4

3 2 1+3 2 2+3 ( 1 1)(2 2+3) ( 2 1)(2 1+3)
故 = = 3 +4 3 +4 =4 3 1 2 (3 1+4)(2 2+3) (3 2+4)(2 1+3)
2 1+3 2 2+3
5 ( 1 2)
= = 5 = 5 ，
1 2
当 1 = 1时，
√ 2 √ 2
1 = ± ，根据椭圆的对称性，不妨设 ( 1, )， 2 2
√ 2
则 0 = 2
√ 2 √ 2 7 √ 2
= , = , ( , )，
1 1 4 4 5 10
√ 2 41 √ 2 5√ 2
( 1, ), ( , ), =
2 29 58
= ，满足 = 5 ，
4
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同理当 2 = 1时，也满足 = 5 ，
4 4
故tan( ) = = =1+tan tan 2 11+5 5 + ，


当 > 0时， , ∈ (0, ), tan( ) < 0, < 02 ，

当 < 0时， , ∈ ( , ), ∈ ( , ), tan( ) > 02 2 2
4 4 2√ 5
且tan( ) = 1 = 1 ≤ ，
5 + 5 +( ) 5

1 √ 5
当且仅当 5 = ( )，即 = 时取得等号，此时 取得最大值，
5
综上 取得最大值时， √ 5 √ 5 √ 5 = ，直线 的方程为 = + ．
5 5 5
2+ 2( 3 1)+
19.【答案】解：(1) ′( ) = 2 + 2 = 2 ，
又因为函数 ( ) = 2( 3 1) + 单调递增，且 (1) = 0，
所以 ′( ) > 0 > 1， ′( ) < 0 0 < < 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，
当 (1) = 2 < 0，即 > 2时，
1 1 1
( ) = 2 + (1 + ) = 2 + > 0，
2
2 1 2 1 ( 1) 1 ( 1) ( +1) ( ) = + > + > 2 = > 0，

1
所以 ( )在( , 1)和(1, )上各有一个零点，

当 ≤ 2时， ( )的最小值为 (1)，且 (1) = 2 ≥ 0，
所以 ( )在(0,+∞)内至多只有一个零点，
综上，实数 的取值范围是 > 2；
1
(2)证明：设 ( ) = ( ) ( )， > 1，

1 1 2( 1) 1 2
′( ) = ′( ) + 2 ′( ) = 2( 1) + ， 3 2
2 +1 1
= ( 1)[2 3 2 ] = 3 [2
3 2 ( + 1) ]，

当 > 1时， < 1，
2 3 2 ( + 1)( 1) = 3 + 2 = ( 1)( 2 + + 2) > 0，
所以2 3 2 > ( + 1)( 1) > ( + 1) ，
所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，
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当 > 1时， ( ) > (1) = 0，
1
即当 > 1时， ( ) > ( )，

又因为函数 ( )有两个零点 1， 2( 1 < 2)，
1
由(1)知，0 < 1 < 1 < 2，0 < < 1， 2
1
所以 ( 1) = ( 2) > ( )， 2
1
(3)证明：设 1( ) = ( ) ( + ) =
2 ，

1 2 3 2 1+ ( 1)(2 2+ +1)+
′1( ) = 2 2
1 =
2
= 2 ，
( 1)
′1(1)= 0，当 ≠ 1时， ′1( ) = 2 [(2
2 + + 1) + ]
1
2 1 7因为2 + + 1 = 2( + )2 + > 0，
4 8
1 1
( 1) 1
令 ( ) = ， ′( ) = =
1 2 2
，
( 1) ( 1)
1 1 1 +1
设 2( ) = 1 ， ′2( ) = + 2 = ， 2
令 ′2( ) > 0，解得：0 < < 1，令 ′2( ) < 0，解得： > 1，
所以 2( )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以 2( ) ≤ 2(1) = 1 0 1 = 0，

所以 2( ) ≤ 0恒成立，显然(2
2 + + 1)+ > 0，
1
令 ′1( ) > 0，解得： > 1，令 ′2( ) < 0，解得：0 < < 1，
所以 1( )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 1( ) ≥ 1(1) = 0，
1
即 ( ) > + = 1( )，
设 1( )的零点为 3， 4( 3 < 4)， = √ 24 3 4，
易知 3 < 1 < 2 < 4，
所以 2 1 < √ 2 4，
2 1 1 1 1 1设 ( ) ( + 2 ) = 2 = (1 )，
1 1 1 +1
设 2( ) = 1 ， ′2( ) = + = ， 2 2
令 ′2( ) > 0，解得：0 < < 1，令 ′2( ) < 0，解得： > 1，
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所以 2( )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以 2( ) ≤ 2(1) = 1 0 1 = 0，
1
所以 2( ) ≤ 0恒成立，即 ( ) <
2 + 2 = 2( )，
设 2( )的零点为 5， 6( 5 < 6)，
2 2 2
6 5 = √ 4，
易知， 1 < 5 < 6 < 2，
所以 2 2 2 21 < 5 < 6 < 2，
所以 2 22 1 > √
2 4，
所以 2 1 < √ 2 4 <
2 22 1．
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