2024-2025学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程( )
A. B.
C. 或 D.
2.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆：关于直线：对称，则实数( )
A. B. C. D. 或
4.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知动点在椭圆上，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：和圆：，，则圆和圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆有三个交点
C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于
D. 过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则
8.在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角
D. 若空间向量，则在上的投影向量为
10.已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 椭圆离心率为
B.
C. 若，则的面积为
D. 最大值为
11.如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当是靠近的三等分点时，，，共面
C. 当时，
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过两点，的直线的倾斜角为，则 ______．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上一点，，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______．
14.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为．
求边的高所在直线的一般式方程；
求边的中线所在直线的斜率．
16.本小题分
已知直线与椭圆相交于不同的两点，．
求实数的取值范围；
若，其中为坐标原点，求实数的值．
17.本小题分
已知直线：，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，且，，，分别为，，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆已知点到的距离是点到的距离的倍．
求点的轨迹的方程；
过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上．
过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程．
参考答案
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15.解：由题意联立，解得，，
即垂心，
可得，
所以边上的高的方程为，
即；
因为边上的高为，
所以设直线的方程，
将点代入直线的方程，可得：，
解得，
即直线的方程为，
联立，解得，，
即点，
因为上的高所在直线的方程，
设所在的直线方程为，将点代入直线的方程为，
可得，
所以直线的方程为，
联立，解得，，
即，
所以的中点，
所以．
16.解：联立，消得到，
则，整理得到，解得或，
所以实数的取值范围为．
设，，
由可得，
所以，
又，所以，得到，
又，
所以，
整理得到，解得或，
所以实数的值为或．

17.解：Ⅰ设圆心，，则，解得或舍，
圆：；
Ⅱ由题意可知圆心到直线 的距离为，
若直线 斜率不存在，则直线：，圆心到直线的距离为；
若直线斜率存在，设直线：，即，
则，解得，直线：．
综上直线 的方程为或．
18.Ⅰ证明：由题意知，是边长为的等边三角形，
因为是的中点，所以，且，
因为底面是边长为的菱形，且，所以，，
又，所以，即，
因为，，平面，
所以平面．
Ⅱ解：由Ⅰ知，，两两垂直，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，，解得舍负，
所以平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ存在点，使，理由如下：
因为，所以，即点在以线段的中点为球心，为半径的球面上，
由Ⅱ知，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以点到平面的距离为，
记，
则在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的圆，
故H点的轨迹长度为．
19.解：设点，由题意可得，
即，化简得，
所以点的轨迹的方程为；
由题易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线的斜率不存在，
易得，，则；
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当即时，取等号，
又，所以的最大值为；
证明：由题，，设，，
联立，消得，，
则，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，
则，
所以，
所以点在定直线上．
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