广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

广东省六校联考2025届高三上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知等边的边长为，点分别为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.将曲线为自然对数的底数绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在已知正方体中，是棱上的点，且平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若有两个零点，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数、对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. 当，最大 B. 使得成立的最小自然数
C. D. 中最小项为
11.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与所成角的正切值的最小值是
C. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与垂直，则等于__________．
13.已知数列的前项和为，且，，则数列的前项和______________．
14.若存在，，互不相等，满足，则的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，对应的三边分别是，，，且．
求角的值；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上
求椭圆的标准方程和离心率；
已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．
17.本小题分
一如图所示，已知四棱锥中，，．
求证：平面；
当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
二已知函数．
若，求函数的极值；
讨论的单调性；
若是的两个极值点，证明：．
18.本小题分
给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度数列中项的个数叫做数列的长度，表示以为首项的递减子列的最大长度．我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，例如数列：，，，，则，，，，，．
若，，，，，求，和；
求证：，；
求的最值．
参考答案
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15.解：因为，所以，
则，
所以，，，
故，又，所以．
若，，
解得，舍去，
则，所以，，由，得，
所以，
所以的面积为．
16.解：设椭圆的方程为，
依题意：解得
椭圆的方程为．
椭圆的离心率为．
当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为，
设其方程为，
由，
消去得，
则，
直线，
同理，
则的面积
，
令，
则
当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，
则，
所以面积的取值范围是．

17.一
证明：因为，，，所以，所以，
设，连接，则，点为的中点，又，所以，
又，且，所以，又，，平面
所以平面
解：由可知，平面，平面，所以平面平面，取的中点为，连接，则，又平面平面，平面，所以平面，过点作，垂足为，连接，则，所以为二面角的平面角，
因为四棱锥的体积为：
，当且仅当，即时体积最大，
此时，，
在中，，所以，所以二面角的大小为，
所以二面角的正弦值为．
．
二
解：若，，定义域为，
所以，解得：．
当变化，，变化情况如下表所示：
故有极小值，极小值为，无极大值．
解：，
当时，在单调递增，单调递减
当时，，有两根，设，，
则，在单调递减，单调递增
当时，，即时，，所以在单调递减，
即时，由韦达定理得，
所以在和单调递减，在单调递增．
综上所示：当时，在单调递减，单调递增
当时，在单调递增，单调递减
当时，在和单调递减，在单调递增
当时，在单调递减．
证明：由可知，，是方程的两根，且，解得，
所以，，
要证，
即证，
只需证，
需证，
令，则需证，
设，则，
所以函数在上单调递减，所以，
因此，由得，，所以，
故，得证，
18.解：以为首项的最长递增子列是，，，
以为首项的最长递减子列是，和，．
所以，．
．
对，由于，，，是，，，的一个排列，故．
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，
得到一个以为首项的更长的递增子列，所以
而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以．
这意味着
若，同理有，，故．
总之有，从而和不能同时为零，
故
以为首项的递增子列最大长度不大于以为首项子列最大长度，即，
以为首项的递减子列最大长度不大于以为首项子列最大长度，即，
，，所以，
，
考虑这样一个数列，，，，，，，，
此时，
结合以上两方面，知的最大值是．
根据小问的证明过程知和不能同时为零，
故
按照定义当，，，，，时，
情况一：当为偶数时，设，则一方面有
另一方面，考虑这样一个数列，，，．
则对，，，，有．
故此时．
结合以上两方面，知的最小值是．
情况二：当为奇数时，设，则一方面有
另一方面，考虑这样一个数列，，．
则对，，，，有．
故此时．
结合以上两方面，知的最小值是．
综上，最大值为当为偶数时，的最小值是
当为奇数时，的最小值是．
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