2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第六次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第六次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，且为实数，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为( )
A. B.
C. D.
5.函数的图象如图所示，则如图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为( )
A. B. C. D.
7.若为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
8.记为数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有个交点，则
10.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面的夹角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
11.已知曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 直线：与曲线无交点
C. 设直线：，当时，直线与曲线恰有三个公共点
D. 直线：与曲线所围成的图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若某等腰直角三角形的两个顶点恰为椭圆的两个焦点，另一个顶点在上，则的离心率为______．
13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如列联表已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为______参考公式：，其中．
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性
女性
合计
14.已知关于的方程在内有个不同的解，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记中角，，所对的边分别为，，已知．
求；
记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
试确定函数的极大值与的大小关系，并说明理由；
若函数有个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为钝角三角形且，，是的中点．
证明：；
若直线与底面所成的角为，求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
求动点的轨迹的方程．
过点的直线与交于点在第一象限，过点的直线与交于点在第三象限，记直线，的斜率分别为，，且．
求证：直线过定点；
试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
19.本小题分
已知为正整数，数列：，，，，记，对于数列，总有，，，，，则称数列为项数列．
若数列：，，，，：，，，，均为项数列，定义数列：，，，，其中，，，，．
Ⅰ已知数列：，，，：，，，直接写出和的值；
Ⅱ若数列，均为项数列，证明：；
Ⅲ对于任意给定的正整数，是否存在项数列，，，使得，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，即，
因为，
可得，可得；
由正弦定理可得，
可得，
由余弦定理可得：，而，
即，即，
由三角形等面积法可得：，
即，
由正弦定理可得，
所以，，
所以
，
在中，，
所以，所以，
所以，可得，
所以
16.解：的极大值大于，理由如下：
根据题设导函数，令导函数，解得，
当时，导函数，函数单调递减，
当或时，导函数，函数单调递增，
因此时函数取得极大值，根据单调性知，
因此的极大值大于．
根据第一问知，当时，函数有极大值，且极大值为，
由于，，，且当时，函数有极小值，
要使有个零点，应满足，即，解得，
因此实数的取值范围为．
17.解：证明：由，得，，
则，
所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
则为在底面内的射影，
所以为直线与底面所成的角，即，
设，得，
中．，
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以，
如图，过点作，则底面，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，
则，，
则，
令，，则，
所以，
则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的正弦值为．
18.解：设，又，，
且直线的斜率与直线的斜率之积为，
所以，
整理得，
所以动点的轨迹方程为；
证明：因为，且，
所以，
显然直线的斜率不为，
所以设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，，且，，
所以，
整理可得，
所以，又，则，
所以，
整理可得，
所以直线方程为，即直线过定点，
由可得，
此时，，
所以为定值．
19.解：，；
证明：对于两个数列：，，，，：，，，，
记数列：，，，，则对于，
若，则此时，，
若，则此时，，
故对于数列：，，，，考虑的值：
若，则，若，则，
故与是同一数列．
所以；
若是奇数，则不存在满足条件的项数列，，，使得，证明如下：
对于个项数列，，，记：
则，
当时，；
当，，中有一个不同于另外两个时，，
是奇数，为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为，
若是偶数，即，可构造：：，：，：，，
此时数列为，数列，相同，都是：，，
所以有，
综上所述，当为偶数时，可能为，当为奇数时，不可能成立．
第1页，共1页